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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1.4.2,正弦函数、余弦函数的性质,问题提出,问题,1.,根据正弦函数和余弦函数的图象，你能说出它们具有哪些性质？,y,-,1,x,O,1,2,3,4,5,6,-2,-3,-4,-5,-6,-,y=,sinx,x,y,O,1,-,1,y=,cosx,注意：,求函数定义域首先应考察函数的定义域是否关于原点,对称这一必要条件,.,周期函数的概念,思考,1,：,观察上图,正弦曲线每相隔,个单位重复出现,.,.,y,-,1,x,O,1,2,3,4,5,6,-2,-3,-4,-5,-6,-,y=,sinx,2,诱导公式,其理论依据是什么？,当自变量,x,的值增加,2,的整数倍时，函数值重复出现,.,数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种,“,周而复始,”,的变化规律,思考,2,：,设,f(x,)=,sinx,，则,可以怎样表示？,f(x+2k)=,f(x,),这就是说：当自变量,x,的值增加到,x+2k,时，函数值重复出现,.,为了突出函数的这个特性，我们把函数,f(x,)=,sinx,称为,周期函数,，,2k,为这个函数的周期,(,其中,kz,且,k0),.,思考,3,：,把函数,f(x,)=,sinx,称为,周期函数,.,那么，一般地，如何定义周期函数呢？,【,周期函数的定义,】,对于函数,f(x,),，如果存在一个,非零常数,T,，使得当,x,取定义域内的每一个值,时，都有,f(x+T,)=,f(x,),那么函数,f(x,),就叫做周期函数，非零常数,T,就叫做这个函数的周期,.,思考,4,：,周期函数的周期是否唯一？正弦函数,y=,sinx,的周期有哪些？,答：,周期函数的周期不止一个,.,2,，,4,，,6,，,都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数,2k(kz,且,k0),都是它的周期,.,【,周期函数的定义,】,对于函数,f(x,),，如果存在一个,非零常数,T,，使得当,x,取定义域内的每一个值,时，都有,f(x+T,)=,f(x,),那么函数,f(x,),就叫做周期函数，非零常数,T,就叫做这个函数的周期,.,【,最小正周期,】,如果在周期函数,f(x,),的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做,f(x,),的,最小正周期,.,今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期,.,【,周期函数的定义,】,对于函数,f(x,),，如果存在一个,非零常数,T,，使得当,x,取定义域内的每一个值,时，都有,f(x+T,)=,f(x,),那么函数,f(x,),就叫做周期函数，非零常数,T,就叫做这个函数的周期,.,【,最小正周期,】,如果在周期函数,f(x,),的所有周期中存在一个最小的正数,则这个,最小正数,叫做,f(x,),的,最小正周期,.,答：,正弦函数,y=,sinx,有最小正周期，且,最小正周期,T=2,思考,5,：我们知道,2,，,4,，,6,，,都是,y=,sinx,的周期,那么,函数,y=,sinx,有最小正周期吗？若有，那么最小正周期,T,等于多少？,正弦函数,y=,sinx,是周期函数，,2k,（,kZ,且,k0,）,都是它的周期，最小正周期,T=,2,余弦函数,y=,cosx,是周期函数，,2k,（,kZ,且,k0,）,都是周期，最小正周期,T=,2,思考,6,：,就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？,y,-,1,x,O,1,2,3,4,5,6,-2,-3,-4,-5,-6,-,y=,sinx,x,y,O,1,-,1,y=,cosx,二：,周期概念的拓展,思考,1,：判断下列说法是否正确,思考,2,：,周期函数的定义域有什么特点？,函数,f(x,)=,sinx,（,x0,）是周期函数,( ),函数,f(x,)=,sinx,（,x,0,）是周期函数,( ),函数,f(x,)=,sinx,（,x3k,）,是周期函数,( ),函数,f(x,)=,sinx,，,x0,，,10,是周期函数,(,),例,1,求下列函数的周期：,y=3cosx,xR;,y=sin2x,xR;,y=2sin( - ),xR,;,3cos(x+2)=,由周期函数的定义可知，原函数的周期为,2,【,解,】,3cosx,y=sin2x,xR;,sin2(x+)=,由周期函数的定义可知，原函数的周期为,sin2x,sin(2x+2),=,解：,y=2sin( - ),xR,;,由周期函数的定义可知，原函数的周期为,4,解：,一般地，函数,y=,Asin(x+,),(A,0,，,0,),的最小正周期是多少,?,由上例知函数,y=3cosx,的周期,T= 2,；,函数,y=sin2x,的周期,T=,；,函数,y=2sin( - ),的周期,T=4,想一想：以上这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？,例,2,已知定义在,R,上的函数,f(x,),满足,f(x,2),f(x,)=0,，试判断,f(x,),是否为周期函数？,分析,由已知有：,f(x,2)= -,f(x,),f(x+4)=,即,f(x,4)=,f(x,),由周期函数的定义知，,f(x,),是周期函数,.,f(x,),=-,f(x,)=,-,f(x,2),f(x,2)+2=,如果在周期函数,f(x,),的所有周期中,存在,一个最小的正数,则这个最小正数叫做,f(x,),的最小正周期,对于函数,f(x,),，如果存在一个非零常数,T,，使得当,x,取定义域内的每一个值时，都有,f(x+T,)=,f(x,),那么函数,f(x,),就叫做周期函数，非零常数,T,就叫做这个函数的周期,.,归 纳 整 理,1.,说说周期函数的定义,.,3.,什么叫周期函数的最小正周期？,2.,函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，检验它,是否,存在,非零常数,T,，对定义域内任一实数,x,，,f(x,T)=,f(x,),恒成立,.,4.,函数,y=,Asin(x+,),和,y=,Acos(x+,) (A,0),的最小,正周期,T=,这个公式，解题时可以直接应用,练习：,1,，,2,，,3.,
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