线性二次型最优控制

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,线性二次型最优控制,(1/12),线性二次型最优控制,对于最优控制问题,极大值原理很好地描述了动态系统的最优控制解的存在性。,但对于复杂的控制问题,如非线性系统的控制问题、系统模型与性能指标函数对控制量,u,(,t,),不为连续可微的控制问题,在确定最优控制规律时存在不少困难,如,非线性常微分方程求解、,最优控制的非平凡性问题,而且带来闭环控制系统工程实现时困难性,难以得到统一、简洁的最优控制规律的表达式。,线性二次型最优控制,(2/12),对于线性系统,若取状态变量,x,(,t,),和控制变量,u,(,t,),的二次型函数的积分作为性能指标泛函,这种动态系统的最优控制问题称为线性系统的最优二次型性能指标的最优控制问题,简称为线性二次型问题。,该类问题的优点是能得到最优控制解,u,*(,t,),的统一解析表达形式和一个简单的且易于工程实现的最优状态反馈律。,因此,线性二次型问题对于从事自动控制研究的理论工作者和工程技术人员都具有很大吸引力。,近,40,年来,人们对各种最优状态反馈控制系统的结构、性质以及设计方法进行了多方面的研究,并且有许多成功的应用。,线性二次型最优控制,(3/12),线性二次型问题是最优控制理论中发展最为成熟、最有系统性、应用最为广泛和深入的分支。,本节将陆续介绍线性二次型问题及其解的存在性、唯一性和最优控制解的充分必要条件。,线性系统的二次型性能指标的最优控制问题可表述如下。,线性二次型最优控制,(4/12),线性二次型最优控制问题 设线性时变系统的状态方程和输出量测方程为,式中,x,(,t,),是,n,维状态向量,u,(,t,),是,r,维控制向量,y,(,t,),是,m,维输出向量。,A,(,t,),、,B,(,t,),和,C,(,t,),分别是,n,n,、,n,r,和,m,n,维的分段连续的时变矩阵。,假定系统的维数满足,0,m,r,n,且,u,(,t,),不受约束。,用,z,(,t,),表示预期的输出,它为,m,维向量,则定义输出误差向量如下,e,(,t,)=,z,(,t,)-,y,(,t,),线性二次型最优控制,(5/12),控制的目标是寻找最优控制函数,u,*,(,t,),使下列二次型性能指标泛函为最小,式中,F,为,m,m,维非负定的常数矩阵,;,Q,(,t,),为,m,m,维时变的分段连续的非负定矩阵,;,R,(,t,),为,r,r,维时变的分段连续的正定矩阵,且其逆矩阵存在并有界,;,末态时刻,t,f,是固定的。,线性二次型最优控制,(6/12),下面对上述性能指标泛函作细致的讨论,:,1),性能指标泛函,J,u,(),中的第,1,项,e,(,t,f,),Fe,(,t,f,),是为了突出对末端目标的控制误差的要求和限制而引进的,称为末端代价函数。,非负定的常数矩阵,F,为加权矩阵,其各行各列元素的值的不同,体现了对误差向量,e,(,t,),在末态时刻,t,f,各分量的要求不同、重要性不同。,若矩阵,F,的第,i,行第,i,列元素值较大,代表二次项的重要性较大,对其精度要求较高。,线性二次型最优控制,(7/12),2),性能指标泛函,J,u,(),中的被积函数中的第,1,项,e,(,t,),Q,(,t,),e,(,t,),表示在系统工作过程中对控制误差向量,e,(,t,),的要求和限制。,由于时变的加权矩阵,Q,(,t,),为非负定的,故该项函数值总是为非负的。,一般情况下,e,(,t,),越大,该项函数值越大,其在整个性能指标泛函所占的份量就越大。,因此,对性能指标泛函求极小化体现了对误差向量,e,(,t,),的大小的约束和限制。,在,e,(,t,),为标量函数时,该项,可取为,e,2,(,t,),于是该项与经典控制理论中判别系统性能的误差平方积分指标一致。,线性二次型最优控制,(8/12),非负定的时变矩阵,Q,(,t,),为加权矩阵,其各行各列元素的值的不同,体现了对相应的误差向量,e,(,t,),的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。,时变矩阵,Q,(,t,),的不同选择,对闭环最优控制系统的性能的影响较大。,线性二次型最优控制,(9/12),3),性能指标泛函,J,u,(),中的被积函数的第,2,项,u,(,t,),R,(,t,),u,(,t,),表示在系统工作过程中对控制向量,u,(,t,),的大小的要求和限制。,由于时变的加权矩阵,R,(,t,),为正定的,故该项函数值在,u,(,t,),为非零向量时总是为正的。,而且,u,(,t,),越大,该项函数值越大,其在整个性能指标泛函所占的分量就越大。,因此,对性能指标泛函求极小化体现了对控制向量,u,(,t,),的大小的约束和限制。,如,u,(,t,),为与电压或电流成正比的标量函数时,该项为,u,2,(,t,),并,与功率成正比,而,u,2,(,t,)d,t,则与在,t,0,t,f,区间内,u,(,t,),所做的功或所消耗的能量成正比。,线性二次型最优控制,(10/12),因此,该项,L,u,是用来衡量控制功率大小的代价函数。,正定的时变矩阵,R,(,t,),亦为加权矩阵,其各行各列元素的值的不同,体现了对相应的控制向量,u,(,t,),的分量在各时刻的要求不同、重要性不同。,时变矩阵,R,(,t,),的不同选择,对闭环最优控制系统的性能的影响较大。,综上所述,可见线性系统的二次型性能指标泛函的最优控制问题的实质在于用不大的控制量,来保持较小的控制误差,以达到所耗费的能量和控制误差的综合最优。,线性二次型最优控制,(11/12),现在讨论上述线性二次型问题的几种特殊情况,。,1),若令,C,(,t,)=,I,z,(,t,)=0,则,y,(,t,)=,x,(,t,)=-,e,(,t,),。这时,线性二次型问题的性能指标泛函变为,该问题转化成,:,用不大的控制能量,使状态,x,(,t,),保持在零值附近,称为状态调节器问题。,2),若令,z,(,t,)=0,则,y,(,t,)=-,e,(,t,),。这时,线性二次型问题的性能指标泛函变为,该问题转化成,:,用不大的控制能量,使输出值,y,(,t,),保持在零值附近,称为输出调节器问题。,线性二次型最优控制,(12/12),3),若,z,(,t,)0,则,e,(,t,)=,z,(,t,)-,y,(,t,),。,这时,线性二次型问题为,:,用不大的控制能量,使输出,y,(,t,),跟踪期望信号,z,(,t,),的变化,称为输出跟踪问题。,下面将陆续介绍状态调节器、输出调节器和最优跟踪问题的求解方法、解的性质以及最优状态反馈实现,具体内容为：,时变状态调节器,定常状态调节器,时变状态调节器,(1/3),7.5.1,时变状态调节器,前面已经指出,状态调节器问题为,:,用不大的控制能量,使状态,x,(,t,),保持在零值附近的二次型最优控制问题。,该问题的描述如下。,时变状态调节器,(2/3),有限时间,LQ,调节器问题,设线性时变系统的状态方程和初始条件为,式中,控制量,u,(,t,),不受约束。,寻找最优控制函数,u,*(,t,),使下列二次型性能指标泛函为最小,式中,F,和,Q,(,t,),为非负定矩阵,;,R,(,t,),为正定矩阵,;,末态时刻,t,f,是固定的。,时变状态调节器,(3/3),由于所讨论的系统为线性系统,给定的性能指标泛函对状态变量,x,(,t,),和控制量,u,(,t,),均连续可微,因此,状态调节器问题可用变分法、极大值原理和动态规划方法中的任一种求解。,本节采用变分法给出最优控制解存在的充分必要条件及最优控制问题解的表达式,讨论最优控制解的存在性、唯一性等性质及解的计算方法。,内容为：,最优控制的充分必要条件,矩阵,P,(,t,),的若干性质,最优控制的存在性与唯一性,最优控制的充分必要条件,(1/10),定理,7-14,1.,最优控制的充分必要条件,定理7-14(,有限时间,LQ,调节器,),对于有限时间,LQ,调节器问题,为其最优控制的充分必要条件是,最优轨线为下述状态方程,的解,而最优性能值为,式中,P,(,t,),为下述矩阵,黎卡提,微分方程的正定或半正定解,。,最优控制的充分必要条件,(2/10),最优控制的充分必要条件,(10/10),上述具有充分必要的最优控制实际上是一个线性状态反馈,因此,可以将线性系统最优状态调节器的最优控制表示成如图,7-6,所示的状态反馈形式,其闭环系统的状态方程为,图,7-6,线性系统最优状态调节器,上述结论是线性时变系统的结论,当系统是线性定常的时候,上述结论仍然成立,而且计算还要简单。,矩阵,P,(,t,),的若干性质,(1/3),2.,矩阵,P(t),的若干性质,对黎卡提微分方程的解,P,(,t,),有如下性质,。,1),P,(,t,),是黎卡提微分方程末值问题的解,与初始状态无关。,当在区间,t,0,t,f,内,A,(,t,),、,B,(,t,),、,R,(,t,),和,Q,(,t,),为分段连续的时间函数,R,(,t,),为正定且其逆矩阵有界,Q,(,t,),矩阵为非负定时,则根据微分方程解的存在性和唯一性理论,P,(,t,),的解在区间,t,0,t,f,内唯一存在。,矩阵,P,(,t,),的若干性质,(2/3),2),对于任意,t,t,0,t,f,P,(,t,),是对称矩阵。,事实上,将黎卡提微分方程和边界条件的两边作转置,并考虑到,R,(,t,),Q,(,t,),和,F,都为对称矩阵,则有,因此,矩阵,P,(,t,),和它的转置,P,(,t,),满足同一个矩阵微分方程和边界条件。,根据微分方程解的存在性和唯一性理论,则对任意,t,t,0,t,f,有,P,(,t,)=,P,(,t,),即,P,(,t,),是对称的。,矩阵,P,(,t,),的若干性质,(3/3),3),于矩阵,P,(,t,),的对称性,则,n,n,维,的黎卡提矩阵微分方程实质上是一个由,n,(,n,+1)/2,个非线性标量微分方程组成的微分方程组。,因此,求解,P,(,t,),只要求解,n,(,n,+1)/2,个非线性微分方程即可。,最优控制的存在性与唯一性,(1/13),定理,7-15,3.,最优控制的存在性与唯一性,对于一般的最优控制问题,论证最优控制解的存在性是很困难的,但对于最优状态调节器问题,可以证明最优控制解的存在性和唯一性。,对此,有如下定理。,定理,7-15,对线性时变系统的最优状态调节器问题,当,t,f,0,。,试求其最优控制和最优状态轨线。,解 根据定理,7-14,可以求出该问题的最优控制为,式中,p,(,t,),是如下黎卡提微分方程及边界条件的解,最优控制的存在性与唯一性,(6/13),由上述微分方程可知,p,(,t,),的解满足,积分上式,可得,其中,最优控制的存在性与唯一性,(7/13),最优状态轨线为下列一阶时变微分方程的解,于是得,最优状态轨线为,对上述线性定常系统的最优状态调节器问题,其最优状态反馈律和闭环系统状态方程都呈现时变的性质。,最优控制的存在性与唯一性,(8/13),图,7-7,状态最优调节器结构图,这是最优状态调节器在,t,f,的一个重要性质。,图,7-,7,是例,7-,11,的最优状态调节器的结构图。,图中信号,p,(,t,),是对黎卡提微分方程进行电子电路模拟的结果,其初始信号,p,(0),是对黎卡提微分方程的解在,t,=0,时,的值。,定常状态调节器,(1/12),7.5.2,定常状态调节器,前面已经指出,即使被控系统是线性定常的,性能指标泛函中的矩阵,Q,(,t,),和,R,(,t,),也为定常的,在末态时刻为有限时间,(,t,f,0,。,试求其最优控制和最优状态轨线。,解 根据定理,7-16,可以求出该问题的最优控制为,式中,p,是如下黎卡提代数方程的解,定常状态调节器,(12/12),解之得,因此,最优状态反馈律为,相应的最优状态调节器的闭环系统状态方程为,于是得,