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,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,总纲目录,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,教材研读,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,考点突破,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,总纲目录教材研读考点突破,栏目索引,*,*,第四节二次函数与幂函数,1,总纲目录,教材研读,1.,二次函数,考点突破,2.,幂函数,考点二二次函数的图象与性质,考点一求二次函数的解析式,考点三三个,“,二次,”,间的转化,考点四幂函数的图象与性质,2,1.二次函数,(1)二次函数的定义,形如,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0),的函数叫做二次函数.,(2)二次函数的三种表示形式,(i)一般式:,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0);,(ii)顶点式:,f,(,x,)=,a,(,x,-,m,),2,+,n,(,a,0);,(iii)两根式:,f,(,x,)=,a,(,x,-,x,1,)(,x,-,x,2,)(,a,0).,教材研读,3,(3)二次函数,y,=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0)的图象和性质,a,0,a,0时,幂函数,y,=,x,有下列性质:,a.图象都通过点,(0,0),、,(1,1),.,b.在第一象限内,函数值随,x,的增大而增大.,(ii)当,0时,幂函数,y,=,x,有下列性质:,a.图象都通过点,(1,1),.,b.在第一象限内,函数值随,x,的增大而减小.,6,函数,特征,性质,y,=,x,y,=,x,2,y,=,x,3,y,=,y,=,x,-1,定义域,R,R,R,0, +,),x,|,x,R且,x,0,值域,R,0, +,),R,0,+,),y,|,y,R且,y,0,奇偶性,奇,偶,奇,非奇非偶,奇,单调性,增,x,0,+,)时,增,x,(-,0时,减,增,增,x,(0,+,)时,减,x,(-,0)时,减,定点,(0,0),(1,1),(1,1),(4)五种常见幂函数的性质,7,1.,y,=,x,2,-6,x,+5的单调减区间为,(),A.(-,-3B.(-,3,C.-3,+,)D.3,+,),答案,B,y,=,x,2,-6,x,+5=(,x,-3),2,-4,表示开口向上,对称轴为直线,x,=3的抛物,线,其单调减区间为(-,3,故选B.,B,8,2.函数,g,(,x,)=,x,2,-2,x,(,x,0,3)的值域是,(),A.0,3B.-1,3,C.-1,0D.1,3,B,答案,B由,g,(,x,)=,x,2,-2,x,=(,x,-1),2,-1,x,0,3,得,g,(,x,)在0,1上是减函数,在1,3上是增函数.,所以,g,(,x,),min,=,g,(1)=-1,而,g,(0)=0,g,(3)=3.,所以,g,(,x,)在,x,0,3上的值域为-1,3,故选B.,9,3.函数,y,=,x,2,+,ax,+6在,上是增函数,则,a,的取值范围为,(),A.,a,-5B.,a,5,C.,a,-5D.,a,5,C,答案,C,y,=,x,2,+,ax,+6在,上是增函数,由题意得-,a,-5,故选C.,10,4.下图是,y,=,x,a,;,y,=,x,b,;,y,=,x,c,在第一象限内的图象,则,a,b,c,的大小关系,为,(),A.,c,b,a,B.,a,b,c,C.,b,c,a,D.,a,c,b,c,且,a,+,b,+,c,=,0,则它的图象可能是,(),命题方向一二次函数图象的识别,D,20,答案,D,解析,由,a,b,c,且,a,+,b,+,c,=0,得,a,0,c,0,所以函数图象开口向上,排除A,C.,又,f,(0)=,c,0,所以排除B,故选D.,21,典例3,已知函数,f,(,x,)=,x,2,+2,ax,+3,x,-4,6.,(1)求使,y,=,f,(,x,)在区间-4,6上是单调函数的实数,a,的取值范围;,(2)当,a,=-1时,求,f,(|,x,|)的单调区间.,命题方向二二次函数的单调性问题,解析,(1)函数,f,(,x,)=,x,2,+2,ax,+3的图象的对称轴为直线,x,=-,=-,a,要使,f,(,x,)在-4,6上为单调函数,只需-,a,-4或-,a,6,解得,a,4或,a,-6.,故,a,的取值范围是(-,-6,4,+,).,22,(2)当,a,=-1时,f,(|,x,|)=,x,2,-2|,x,|+3,=,其图象如图所示.,x,-4,6,f,(|,x,|)在区间-4,-1)和0,1)上为减函数,在区间-1,0)和1,6,上为增函数.,23,探究1,若函数,f,(,x,)=,x,2,+2,ax,+3在-4,+,)上为增函数,求,a,的取值范围.,解析,f,(,x,)=,x,2,+2,ax,+3在-4,+,)上为增函数,-,a,-4,即,a,4.,探究2,若函数,f,(,x,)=,x,2,+2,ax,+3的单调增区间为-4,+,),则,a,为何值?,解析,f,(,x,)=,x,2,+2,ax,+3的单调增区间为-4,+,),-,a,=-4,即,a,=4.,24,典例4,已知函数,f,(,x,)=-,x,2,+2,ax,+1-,a,在区间0,1上的最大值为2,则,a,的值,为,(),A.2B.-1或-3,C.2或-3D.-1或2,命题方向三二次函数的最值问题,D,25,答案,D,解析,函数,f,(,x,)=-(,x,-,a,),2,+,a,2,-,a,+1图象的对称轴为直线,x,=,a,且图象开口向,下,分三种情况讨论如下:,当,a,0时,函数,f,(,x,)=-,x,2,+2,ax,+1-,a,在区间0,1上是减函数,f,(,x,),max,=,f,(0)=,1-,a,由1-,a,=2,得,a,=-1.,当0,a,1时,函数,f,(,x,)=-,x,2,+2,ax,+1-,a,在区间0,a,上是增函数,在(,a,1上是,减函数,f,(,x,),max,=,f,(,a,)=-,a,2,+2,a,2,+1-,a,=,a,2,-,a,+1,由,a,2,-,a,+1=2,解得,a,=,或,a,=,01时,函数,f,(,x,)=-,x,2,+2,ax,+1-,a,在区间0,1上是增函数,f,(,x,),max,=,f,(1)=,-1+2,a,+1-,a,=2,a,=2.,综上可知,a,=-1或,a,=2.,26,规律总结,1.确定二次函数图象应关注的三个要点,一是看二次项系数的符号,它确定二次函数图象的开口方向;,二是看对称轴和最值,它确定二次函数图象的具体位置;,三是看函数图象上的一些特殊点,如函数图象与,y,轴的交点、与,x,轴的交,点,函数图象的最高点或最低点等.,从这三个方向入手,能准确地判断出二次函数的图象.反之,也可以从图,象中得到如上信息.,27,2.二次函数最值的求法,二次函数的区间最值问题一般有三种情况:(1)对称轴和区间都是给定,的;(2)对称轴动,区间固定;(3)对称轴定,区间变动.解决这类问题的思路,是抓住“三点一轴”进行数形结合,三点指的是区间两个端点和中点,一轴指的是对称轴.具体方法是利用函数的单调性及分类讨论的思想求,解.,对于(2)、(3),通常要分对称轴在区间内、区间外两大类情况进行讨论.,28,2-1,已知,abc,0,则二次函数,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,的图象可能是(),D,29,答案,DA项,a,0,-,0,b,0,c,0,而,f,(0)=,c,0,故A错.,B项,a,0,b,0.,又,abc,0,c,0,故B错.,C项,a,0,-,0.又,abc,0,c,0,而,f,(0)=,c,0,-,0,b,0,c,0,而,f,(0)=,c,0,故选D.,30,2-2,已知函数,f,(,x,)=,x,2,-2,x,若,x,-2,a,求,f,(,x,)的最小值.,解析,函数,f,(,x,)=,x,2,-2,x,=(,x,-1),2,-1,函数图象的对称轴为直线,x,=1,x,=1不一定在区间-2,a,内,应进行讨论,当-21时,函数在-2,1上单调递减,在1,a,上单调递增,则当,x,=1时,f,(,x,)取,得最小值,即,f,(,x,),min,=-1.,综上,当-21时,f,(,x,),min,=-1.,31,典例5,若二次函数,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+,c,(,a,0)满足,f,(,x,+1)-,f,(,x,)=2,x,且,f,(0)=1.,(1)求,f,(,x,)的解析式;,(2)若在区间-1,1上,不等式,f,(,x,)2,x,+,m,恒成立,求实数,m,的取值范围.,考点三三个“二次”间的转化,解析,(1)由,f,(0)=1得,c,=1.,f,(,x,)=,ax,2,+,bx,+1.,又,f,(,x,+1)-,f,(,x,)=2,x,a,(,x,+1),2,+,b,(,x,+1)+1-(,ax,2,+,bx,+1)=2,x,即2,ax,+,a,+,b,=2,x,因此,f,(,x,)=,x,2,-,x,+1.,32,(2),f,(,x,)2,x,+,m,等价于,x,2,-,x,+12,x,+,m,即,x,2,-3,x,+1-,m,0,令,g,(,x,)=,x,2,-3,x,+1-,m,要使,g,(,x,)=,x,2,-3,x,+1-,m,0在-1,1上恒成立,只需使函数,g,(,x,)=,x,2,-3,x,+1-,m,在-1,1上,的最小值大于0即可.,g,(,x,)=,x,2,-3,x,+1-,m,在-1,1上单调递减,g,(,x,),min,=,g,(1)=-,m,-1,由-,m,-10得,m,-1.,因此满足条件的实数,m,的取值范围是(-,-1).,33,1.二次函数、二次方程与二次不等式常结合在一起,而二次函数又是三,个“二次”的核心,通过二次函数的图象贯穿为一体.因此,解决此类问,题首先采用转化思想,把方程、不等式问题转化为函数问题.借助函数,思想研究方程、不等式(尤其是恒成立)问题是高考命题的热点.,规律总结,2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键,(1)一般有两个解题思路:一是分离参数;二是不分离参数.,(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值,至于用哪种思路解题,关,键是看参数是否已分离.这两个思路的依据:,a,f,(,x,)恒成立,a,f,(,x,),max,a,f,(,x,)恒成立,a,f,(,x,),min,.,34,3-1,当,x,(1,2)时,不等式,x,2,+,mx,+40恒成立,则,m,的取值范围是,.,(-,-5,答案,(-,-5,解析,设,f,(,x,)=,x,2,+,mx,+4,当,x,(1,2)时,不等式,x,2,+,mx,+40.3,0.2,B.,1.25,0.2,D.1.7,0.3,0.9,3.1,考点四幂函数的图象与性质,(2)(2018河北石家庄质检)若(,a,+1,(3-2,a,则实数,a,的取值范围是,.,36,答案,(1)D(2),解析,(1)A中,函数,y,=,x,0.2,在(0,+,)上为增函数,0.20.3,0.2,0.2,;C中,0.8,-1,=1.25,y,=1.25,x,在R上是增函数,0.10.2,1.25,0.1,1.25,0.2,即0.8,-0.1,1,0.9,3.1,0.9,3.1,.故选D.,(2)易知函数,y,=,的定义域为0,+,),且在定义域内为增函数,所以,解得-1,a,0;若在(0,+,)上单调递减,则,0.,38,2.比较幂值大小的常见类型及解决方法,(1)同底不同指,可以利用指数函数单调性进行比较.,(2)同指不同底,可以利用幂函数单调性进行比较.,(3)既不同底又不同指,常常找到一个中间值,通过比较幂值与中间值的,大小来判断.,39,4-1,已知幂函数,f,(,x,)=(,n,2,+2,n,-2),(,n,Z)在(0,+,)上是减函数,则,n,的,值为,(),A.-3B.1C.2D.1或2,B,答案,B由于,f,(,x,)为幂函数,所以,n,2,+2,n,-2=1,解得,n,=1或,n,=-3.,当,n,=1时,f,(,x,)=,x,-2,=,在(0,+,)上是减函数;,当,n,=-3时,f,(,x,)=,x,18,在(0,+,)上是增函数.,故,n,=1符合题意,故选B.,40,4-2,幂函数,y,=,f,(,x,)的图象过点(4,2),则幂函数,y,=,f,(,x,)的图象是,(),C,41,答案,C设幂函数的解析式为,y,=,f,(,x,)=,x,幂函数,f,(,x,)的图象过点(4,2),2=4,解得,=,.,f,(,x,)=,其定义域为0,+,),且是增函数,当0,x,1时,其图象在直线,y,=,x,的上方,对照选项,知选C.,42,
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