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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,#,1.5,三角函数的应用,导入新课,讲授新课,当堂练习,课堂小结,第一章 直角三角形的边角关系,1.,正确理解方位角、仰角和坡角的概念；（重点）,2.,能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角,的问题,.(,难点,),学习目标,情境引入,我们已经知道轮船在海中航行时，可以用,方位角,准确描述它的航行方向,.,那你知道如何结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？,引例,如图，海中有一个小岛,A,，该岛四周,10n mile,内有暗礁,.,今有货轮由西向东航行，开始在,A,岛南偏西,55,的,B,处，往东行驶,20n mile,后到达该岛的南偏西,25,的,C,处。之后，货轮继续向东航行,.,货轮继续航行会有触礁的危险吗？,B,A,C,60,与方位角有关的实际问题,一,讲授新课,D,【分析】,这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔,C,到,AB,航线的距离是否大于,10 n mile,.,北,东,解：由点,A,作,AD,BC,于点,D,设,A,D,=,x,则在,Rt,ABD,中，,在,Rt,ACD,中，,解得,所以，这船继续向东航行是安全的.,B,A,C,D,25,55,北,东,由,BC=BD,-,C,D,得,如图，一艘海轮位于灯塔,P,的北偏东,65,方向，距离灯塔,80,海里的,A,处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔,P,的南偏东,34,方向上的,B,处，这时，海轮所在的,B,处距离灯塔,P,有多远（精确到,0.01,海里）？,65,34,P,B,C,A,试一试,解：如图，在,Rt,APC,中，,PC,PA,cos,（,90,65,）,80cos25,800.91,=72.8,在,Rt,BPC,中，,B,34,当海轮到达位于灯塔,P,的南偏东,34,方向时，它距离灯塔,P,大约,130.19,海里,65,34,P,B,C,A,利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：,（,1,）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；,（,2,）根据条件的特点，适当选用锐角三角形函数等去解直角三角形；,（,3,）得到数学问题的答案；,（,4,）得到实际问题的答案,方法归纳,例,1,如图，为了测量山的高度,AC,，在水平面B处测得山顶A的仰角为30，,AC,BC,，自,B,沿着,BC,方向向前走1000m，到达,D,处，又测得山顶,A,的仰角为45,求山高(结果保留根号),分析：,求AC，无论是在RtACD中，还是在RtABC中，只有一个角的条件，因此这两个三角形都不能解，所以要用方程思想，先把AC看成已知，用含AC的代数式表示BC和DC，由BD1000m建立关于AC的方程，从而求得AC.,仰角和俯角问题,二,解：在Rt,ABC,中，,在RtAC,D,中，,BD,BC,DC,例,2,如图，飞机A在目标B正上方1000m处，飞行员测得地面目标C的俯角为30，则地面目标B，C之间的距离是_,解析：由题意可知，在RtABC中，B90，CCAD30，AB1000m，,【方法总结】,解此类问题，首先要找到合适的直角三角形，然后根据已知条件解直角三角形,例,3,热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为,30,，看这栋高楼底部的俯角为,60,，热气球与高楼的水平距离为,120m,，这栋高楼有多高（结果精确到,0.1m,）.,分析：,我们知道，在视线与水平线所成的角中视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角，因此，在图中，,=30,=60,.,Rt,ABD,中，,=30,，,AD,120,，所以利用解直角三角形的知识求出,BD,；类似地可以求出,CD,，进而求出,BC,A,B,C,D,仰角,水平线,俯角,解：如图，,=30,=60,，,AD,120,答：这栋楼高约为,277.1m.,A,B,C,D,建筑物,BC,上有一旗杆,AB,，由距,BC,40m,的,D,处观察旗杆顶部,A,的仰角为,54,，观察底部,B,的仰角为,45,，求旗杆的高度（精确到,0.1m,）,.,A,B,C,D,40m,54,45,A,B,C,D,40m,54,45,解：在等腰三角形,BCD,中,ACD,=90,，,BC,=,DC,=40m.,在,Rt,ACD,中，,AB,=,AC,BC,=55.2,40=15.1,答：旗杆的高度为,15.1m.,练一练,利用坡角解决实际问题,三,例,4,一段路基的横断面是梯形，高为,4,米，上底的宽是,12,米，路基的坡面与地面的倾角分别是,45,和,30,，求路基下底的宽（精确到,0.1,米,）,.,45,30,4,米,12,米,A,B,C,D,解：作,DE,AB,，,CF,AB,，垂足分别为,E,、,F,由题意可知,DE,CF,4,（米），,CD,EF,12,（米）,在,Rt,ADE,中，,在,Rt,BCF,中，同理可得,因此,AB,AE,EF,BF,=4,12,6.9322.93,（米）,答：路基下底的宽约为,22.93,米,45,30,4,米,12,米,A,B,C,E,F,D,1.如图,1,，在高出海平面100米的悬崖顶,A,处，观测海平面上一艘小船,B,，并测得它的俯角为45，则船与观测者之间的水平距离,BC,=_米.,2.如图,2,，两建筑物,AB,和,CD,的水平距离为30米，从,A,点测得,D,点的俯角为30，测得,C,点的俯角为60，则建筑物,CD,的高为_米.,100,当堂练习,图,1,图,2,B,C,B,C,3,.如图3，从地面上的,C,，,D,两点测得树顶,A,仰角分别是45和30，已知,CD,=200米，点,C,在,BD,上，则树高,AB,等于,（根号保留）,4,.如图4，将宽为1cm的纸条沿,BC,折叠，,CAB,=45，,则折叠后重叠部分的面积为,（根号保留）,图,3,图,4,5.,如图，港口,A,在观测站,O,的正东方向，,OA,=4km，某船从港口,A,出发，沿北偏东15方向航行一段距离后到达,B,处，此时从观测站,O,处测得该船位于北偏东60的方向，则该船航行的距离（即,AB,的长）为,_.,解析：如图，过点,A,作,AD,OB,于,D,在Rt,AOD,中，,ADO,=90，,AOD,=30，,OA,=4km，,AD,=,OA,=2km,在Rt,ABD,中，,ADB,=90，,B,=,CAB,-,AOB,=75-30=45，,BD,=,AD,=2km，,AB,=,AD,=km,即该船航行的距离为 km,6.,如图，一架飞机从,A,地飞往,B,地，两地相距600km.飞行员为了避开某一区域的雷雨云层，从机场起飞以后，就沿与原来的飞行方向成30角的方向飞行，飞行到中途，再沿与原来的飞行方向成45角的方向继续飞行直到终点这样飞机的飞行路程比原来的路程600km远了多少？,解：过点,C,作,CD,AB,于点,D,，,AD,BD,AB,，,在Rt,BCD,中，,AC,BC,在Rt,A,CD,中，,750,600150(km),答：飞机的飞行路程比原来的路程,600km,远了,150km.,【方法总结】,求一般三角形的边长或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线,(km).,7.,如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部,B,与钢缆固定点,O,的距离为,4,米，钢缆与地面的夹角,BOA,为,60,，则这条钢缆在电线杆上的固定点,A,到地面的距离,AB,是多少米（结果保留根号）,解：在,Rt,ABO,中，,tan,B,O,A,=tan60=,AB,=,BO,tan60,=4,=4,（米）,答：这条钢缆在电线杆上的固定点,A,到地面的距离,AB,是,4,米.,8.,水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽,6m,，坝高,23m,，斜坡,AB,的坡度为,13,，斜坡,CD,的坡度为,12.5,，求：,（,1,）坝底,AD,与斜坡,AB,的长度（精确到,0.1m,）,;,（,2,）斜坡,CD,的坡角,（精确到,1,）,.,E,F,A,D,B,C,1:2.5,23,6,解：,(1),分别过点,B,、,C,作,BE,AD,，,CF,AD,，垂足分别为点,E,、,F,由题意可知,BE,=,CF,=23m,，,EF,=,BC,=6m.,E,F,A,D,B,C,1:2.5,23,6,在,Rt,ABE,中,在,Rt,DCF,中，同理可得,=69+6+57.5=132.5m,在,Rt,ABE,中，由勾股定理可得,(2),斜坡,CD,的坡度为,tan,=1,：,2.5=0.4,，,由计算器可算得,答：坝底宽,AD,为,132.5,米，斜坡,AB,的长约为,72.7,米斜坡,CD,的坡角,约为,22.,课堂小结,利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：,（,1,）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；,（,2,）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；,（,3,）得到数学问题的答案；,（,4,）得到实际问题的答案,
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