附录 截面的几何性质

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,截面的几何性质,材料力学,2,截面的几何性质,(geometrical properties of an area),1,静矩和形心,2,极惯性矩、,惯性矩、惯性积和惯性半径,3,惯性矩和惯性积的,平行移轴公式,3,截面的几何性质,4,截面的几何性质,5,一、静矩,(static moment),截面的几何性质,对,y,轴的静矩：,对,z,轴的静矩：,大小：正，负，,0,。,量纲：,长度,3,1,静矩和形心,6,二、截面图形的形心,(form center),几何形心,=,等厚均质薄片重心,即,截面,图形对形心轴的静矩为,0,。,截面的几何性质,结论：若,S,y,=0,z,c,=0 ,y,轴通过形心，反之亦成立。,若,S,z,=0,y,c,=0 ,z,轴通过形心，反之亦成立。,Note,：可借助形心坐标求静矩,7,三、组合截面图形的静矩和形心,例,1,试确定左图的形心。,截面的几何性质,（借助形心坐标求静矩）,（,40,，,5,）,（,5,，,65,）,8,一、惯性矩,（,second axial moment of area,）,和惯性半径,(radius of inertia),：,对,y,轴的惯性矩,对,z,轴的惯性矩,大小：正。,量纲：,长度,4,对,y,轴的惯性半径,对,z,轴的惯性半径,截面的几何性质,2,惯性矩,、极惯性矩,和,惯性积,9,截面的几何性质,计算图示矩形截面对其对称轴（形心轴）,y,和,z,的惯性矩,10,D,O,实心圆截面：,d,二、极惯性矩,(second polar moment of area),：,截面的几何性质,11,空心圆截面：,组合图形的惯性矩：,d,D,O,截面的几何性质,12,若,z,轴为对称轴：,截面图形对任一包含,对称轴,在内的一对正交坐标轴的惯性积为,0,。,三、惯性积,(product of inertia),：,大小：正，负，,0,。,量纲：,长度,4,组合图形的惯性积：,截面的几何性质,惯性矩是对,一根轴,而言的，惯性积是对,一对轴,而言的，极惯性矩是对,一点,而言的。,13,四、主轴,(principle axis),：,截面的几何性质,使截面的,惯性积为零,的一对正交坐标轴,称为,主惯性轴,，简称,主轴,；截面对主轴的惯性矩,称为,主惯性矩。,如果主轴的交点与截面形心重合，则称其为,形心主惯性轴，,简称,形心主轴,；,截面对形心主轴的惯性矩,称为,形心主惯性矩,。,主轴不唯一,14,一、平行移轴公式,(formula of parallel axis),截面的几何性质,3,惯性矩、惯性积的平行移轴公式,已知：,I,yc,，,I,zc,，,I,yczc,；求：,I,y,，,I,z,，,I,yz,。,15,截面的几何性质,在所有,互相平行,的轴中，截面图形对,形心轴的惯性矩最小,。,平行移轴公式,注意！,C,点必须为截面形心。,16,例,求图示圆对其切线,AB,的惯性矩。,B,解：建立形心坐标如图,求图形对形心轴的惯性矩。,d,y,z,O,A,截面的几何性质,17,z,y,解：,d,D,例,求图示带圆孔的圆形截面对,y,轴和,z,轴的惯性矩。,截面的几何性质,18,100,20,140,20,C,如图所示,T,形截面，试求其对形心轴,y,C,的惯性矩,I,yc,z,c,(1),确定形心位置,（取参考轴如图）,(,y,c,z,c,),2,1,z,C,y,C,(2),求,T,形截面对形心轴,y,C,的惯性矩,I,yc,y,z,19,例,计算图示箱式截面对水平形心轴,z,的惯性矩,I,z,。,150,100,800,50,50,z,(mm),500,截面的几何性质,20,150,100,800,50,50,z,y,z,解：选参考系 确定形心位置：,500,截面的几何性质,21,例,5,电线铁塔基座采用四个等边角钢组成,L160,10mm,，,a=3m,，试计算基座的形心主惯性矩。,解：,组合截面可以大大提高截面惯性矩。,截面的几何性质,22,一、选择题,1,、在下列关于平面图形的结论中，,是错误的。,（,A,）图形的对称轴必定通过形心。,（,B,）图形两个对称轴的交点必为形心。,（,C,）图形对对称轴的静矩为零。,（,D,）使,静矩为零的轴必为对称轴。,2,、在平面图形的几何性质中，,的值可正，可负，也可为零。,（,A,）静矩和惯性矩。 （,B,）极惯性矩和惯性矩。,（,C,）惯性矩和惯性积。 （,D,）静矩和惯性积。,D,D,本 章 习 题,截面的几何性质,23,3,、设矩形对其一对称轴,z,的惯性矩为,I,则当其高宽比保持不变，而面积增加,1,倍时，该矩形对,z,轴的惯性矩将变为,。,（,A,）,2,I,（,B,）,4,I,（,C,）,8,I,（,D,）,16,I,4,、若截面图形有对称轴，则该图形对其对称轴的,说法正确的是,。,（,A,）静矩为零，惯性矩不为零。,（,B,）静矩不为零，惯性矩为零。,（,C,）静矩和惯性矩均为零。,（,D,）静矩和惯性矩均不为零。,B,A,截面的几何性质,24,5,、直径为,D,的圆对其形心轴的惯性半径,i,=,。,（,A,）,D/2,（,B,）,D/4,（,C,）,D/6,（,D,）,D/8,6,、若截面有一个对称轴，则下列说法中，,是错误的。,（,A,）截面对对称轴的静矩为零。,（,B,）对称轴两侧的两部分截面，对对称轴的惯性矩相等。,（,C,）截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积一定为零。,（,D,）截面对包含对称轴的正交坐标系的惯性积不一定为零（这要取决坐标原点是否位于截面形心）。,B,D,截面的几何性质,25,7,、任意图形，若对某一对正交坐标轴的惯性积为零，则这一对坐标轴一定是该图形的,。,（,A,）形心轴 （,B,）主惯性轴,（,C,）形心主惯性轴 （,D,）对称轴,B,8,、有下述两个结论；对称轴一定是形心主惯性轴；形心主惯性轴一定是对称轴。其中,。,（,A,）正确， 错误。 （,B,） 错误， 正确。,（,C,） 正确。 （,D,） 错误。,A,截面的几何性质,26,9,、正交坐标轴,y,，,z,轴为截面形心主惯性轴的条件是,。,（,A,）,S,y,=,S,z,=0,（,B,）,I,yz,=0,（,C,）,I,y,=,I,z,，,I,yz,=0,（,D,）,S,y,=,S,z,=0,；,I,yz,=0,D,B,11,、静矩的国际单位是,。,（,A,）,m,4,。 （,B,）,m,。,（,C,）,m,2,。 （,D,）,m,3,。,D,10,、在,yoz,正交坐标系中，设图形对,y,z,轴的惯性矩分别为,I,y,和,I,z,，则图形对坐标原点的极惯性矩,。,（,A,）,I,p,=0,（,B,）,I,p,=,I,y,+,I,z,（,C,） （,D,）,截面的几何性质,27,本 章 结 束,