第六讲浮点数和浮点运算器检错、纠错码

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第一单元 第六讲,浮点数和浮点运算器,检错、纠错码,1,内容提要,浮点数,科学表示法,十进制科学表示法,二进制科学表示法,IEEE 754,浮点数标准,计算机内的浮点数表示,表示范围,vs.,表示精度,数制转换,数据类型,2,计算机内的数据,计算机的功能：处理数据,n,位能表示哪些数据?,无符号整数：,0,to 2,n,-1,有符号整数：,-2,(,n-1),to 2,(n-1),-1,其它数据呢?,大整数?,（如：一个世纪的秒数）,3,155,760,000,10,(3.15576,10,x 10,9,),非常小的数？,（如：原子的直径）,0.00000001,10,(1.0,10,x 10,-8,),有理数（如：循环小数）,2/3 (0.666666666.),无理数,2,1/2,(1.414213562373.),无限不循环小数：,e(2.718.),(3.141.),3,科学计数法,6.02 x 10,23,根（,基数）,小数点,规格化形式：,no leadings 0s（,小数点前仅有1位非0数字）,1/1,000,000,000的不同表示形式：,规格化：1,.0,x 10,-9,非规格化：,0.1,x 10,-8,10.0 x 10,-10,尾数,阶,4,二进制的科学计数法,1.0,2,x,2,-1,根（基数）,“,二进制小数点,”,尾数,阶,浮点数的算术运算,二进制小数点不是固定在某位上,C,语言中的,float,型数据,5,浮点数的计算机内部表示,规格化形式：,+,1,.,xxxxxxxxxx,2,*2,yyyy,2,字长的整数倍,(32,bits),0,31,S,Exponent,30,23,22,Significand,1 bit,8 bits,23 bits,S,表示,符号位,Exponent,表示,y，,即阶,Significand,表示,x,，,即尾数的后部分,十进制表示范围：,2.0,x 10,-38,至 2.0,x 10,38,6,上溢和下溢,上溢,数值太大（2.0,x10,38,）,阶的值超出8位能表示的范围,下溢,数值太小,0,2.0,x10,-38,阶码超出了8位二进制位能表示的范围,如何减少,上溢,和,下溢,?,7,双精度浮点数,使用双字,(64,位),C,语言中的,double,类型,十进制的范围扩展到,2.0,x 10,-308,至 2.0,x 10,308,最主要的好处是精度得到了扩展,(52,位),0,31,S,Exponent,30,20,19,Significand,1 bit,11 bits,20 bits,Significand,(contd),32 bits,8,浮点数表示,规格化科学计数法：,+,1,.,xxxx,2,*2,yyyy,2,Significand(contd),0,S,Exponent,20,19,Significand,1 bit,11 bits,20 bits,32 bits,31,30,双精度,阶：,移码表示,有效数,：,符号,尾数表示,移码,127,（单精度）,1023（,双精度）,0,31,S,Exponent,30,23,22,Significand,1 bit,8 bits,23 bits,单精度,9,IEEE 754,浮点数标准,被几乎所有计算机采纳,(,自1980年起),符号位：,有效位：,使用原码表示,规格化小数中，隐含最高位1,单精度为：1,+23,位，双精度为,1+52 位,0 有效数,正数,阶:,0110,1000,2,=,104,10,移码校正:,104-127=-23,有效数:,1,+1,x2,-1,+0 x2,-2,+1x2,-3,+0 x2,-4,+1x2,-5,+.=1+2,-1,+2,-3,+2,-5,+2,-7,+2,-9,+2,-14,+2,-15,+2,-17,+2,-22,=1.0+0.666115,0,0110 1000,101 0101 0100 0011 0100 0010,十进制值:,1.666115*2,-23,1.986,*10,-7,14,浮点数十二进制转换,(1/2),简单情况：如果除数是2的整数倍，则比较简单,如：,-0.75,的二进制,-0.75=-3/4,-,11,2,/100,2,=-0.,11,2,规格化为：,-1.1,2,x 2,-1,(-1),S,x(1+,Significand,)x 2,(Exponent-127),(-1),1,x(1+.100 0000.0000)x 2,(126-127),1,0111 1110,100 0000 0000 0000 0000 0000,15,浮点数十二进制转换,(2/2),除数不是2的整数倍,该数无法精确表示,可能需要多位有效位来保证精度,难点：如何得到有效位？,循环小数有一个循环体,转换,求出足够多的有效位.,根据精度要求（单、双）截断多余的位。,按标准要求给出符号位、阶和有效位。,16,0.33333332,x 2,0,.66666664,0.66666666,x 2,1,.33333332,0.33333333,x 2,0,.66666666,转换举例,有效位:,101 0101 0101 0101 0101 0101,符号位:,负=,1,阶:1,+127=,128,10,=,1000,0000,2,1,1000 0000,101 0101 0101 0101 0101 0101,-3.3 3 3 3 3 3,=,-,1.1010101.x 2,1,1 1,.,0 1 0 1 0 1 0.,-,17,特殊的浮点数值,-(1-2,-24,)*2,128,(1-2,-24,)*2,128,-.5*2,-127,.5*2,-127,正溢出,负溢出,可表示的正数,可表示的负数,正下溢,负下溢,0,0,1111 1111,+/-,非0,1111 1111,NaN,非0,0000 0000,非规格化数,0,0000 0000,+/-0,有效数,阶,特殊值,18,Not a Number,下列结果是什么:,sqrt,(-4.0),or,0/0,?,如果无穷大不是错误的话，那以上也不算,称其为,N,ot,a N,umber(,NaN,),阶=255,有效位非0,应用,NaNs,可帮助排错,自包含：,op(,NaN,X)=,NaN,千万不要用它,请教数学家,19,非规格化数,问题：在0周围还有一些空隙没有用来表示浮点数,最小的正数：,a=1.0,2,*2,-126,=2,-126,次小的正数：,b=1.0 01,2,*2,-126,=2,-126,+2,-150,a-0=2,-126,b-a=2,-150,解决办法：,使用非规格化数：没有隐含的前导1,最小的正数：,a=2,-150,次小的正数：,b=2,-149,b,a,0,+,-,空隙!,0,+,-,20,舍入,浮点数的算术运算,=,舍入,类型转换时也需要舍入,Double,single precision,integer,向上舍入,2.001=3;-2.001=,-2,向下舍入,1.999=1;-1.999=,-2,截断,丢弃最后的位（向0舍入）,21,浮点运算的特点,浮点加、减法不满足结合律!,x=1.5 x 10,38,y=1.5 x 10,38,and z=1.0,x+(y+z)=1.5x10,38,+(1.5x10,38,+1.0)=1.5x10,38,+(1.5x10,38,)=,0.0,(x+y)+z=(1.5x10,38,+1.5x10,38,)+1.0=(0.0)+1.0=,1.0,浮点数加法、减法不可结合,!,浮点数也不能进行相等比较！,为什么？浮点数算术运算的结果是近似值。,22,浮点数加、减法,不能只对尾数进行运算,算法,对阶，求阶差：,E=E,X,-E,Y,，,使阶码小的数的尾数右移,E,位，其阶码取大的阶码值；,对尾数进行加、减法，求得结果,保持阶的值,规格化,舍入，可能再次规格化,进行溢出检查（阶码）,23,加、减运算举例,例1：,1.0110,2,3,+1.1000 2,2,对阶：,1.0110,2,3,+0.1100 2,3,加法：,10.0010,2,3,规格化：,1.0001,2,4,例2：,1.0001,2,3,-1.1110 2,1,对阶：,1.0001,2,3,-0.0111,1,2,3,减法：,0.1001,1,2,3,规格化：,1.0011,2,2,1.0010,2,2,24,浮点数乘、除法,算法,阶码加、减：,乘：,E,X,+E,Y,，,除：,E,X,-E,Y,对尾数进行乘、除法，求得结果,规格化,舍入，可能再次规格化,进行溢出检查（阶码）,25,26,浮点运算部件,27,数据及数据类型,1.986,*10,-7,878,003,010,“4,UCB”,ADD R0,R1,计算机中的数据可以表示任何事情：指令、操作数等，由上层次的抽象计算机来判断。,对存储内容的错误理解：,将,ASCII,码当作浮点数，指令作为数据，整数可能成为指令,.,程序中的安全漏洞,0011,0100,0101 0101 0100 0011 0100 0010,28,小结,计算机中的浮点数是我们实际使用的数的,近似值,IEEE 754,浮点数标准是浮点数运算中广为接受的标准,浮点数运算一般由专门的浮点运算器完成,阶码运算,尾数运算,计算机中的二进制位只有在上下文才有意义，单独的一个字不代表任何含义。,29,检错纠错码,为了提高计算机的,可靠性,，除了采取选用更高可靠性的器件，更好的生产工艺等措施之外，还可以从数据编码上想一些办法，即采用一点冗余的线路，在原有数据位之外再,增加一到几位校验位,，,使新得到的码字带上某种特性,，之后则通过,检查该码字是否仍保持有这一特性,，来,发现,是否出现了错误，甚至于定位错误后，,自动改正,这一错误，这就是我们这里说的,检错纠错编码技术,。,30,几种常用的检错纠错码,我们只介绍两种常用的检错纠错码：,奇偶检错码,，用于,并行,数据传送中,海明检错与纠错码,，用于,并行,数据传送中,循环冗余码，用于,串行,数据传送中,编码过程,译码过程,传送,原始数据,码 字,结果数据,形成校验位的值，加进特征,检查接送的码字，发现 /改正错误,31,奇偶校验码,用于并行码,检错,原理：在,k,位数据码之外增加 1 位校验位，,使,K+1,位码字中取值为 1 的位数,总保持,为,偶数,（,偶校验,）或,奇数,（,奇校验,）。,例如：,0 0 0 1,1,0 0 0 1,0,0 0 0 1,0 1 0 1,0,0 1 0 1,1,0 1 0 1,原有数字位,两个新的码字,偶校验,奇校验,校验位,32,奇偶校验码的实现电路,+,奇校验,偶校验 出错指示,+,+,+,+,+,+,+,同左侧电路,编码电路,译码电路,P(,校验位),八位数据位,D7 D6 D5 D4 D3 D2 D1 D0,p,33,海明校验码,用于多位并行数据,检错纠错,处理,实现：为,k,个数据位设立,r,个校验位，,使,k,+,r,位的码字同时具有这样两个特性：,1.能发现并改正,k,+,r,位中任何一位出错，,2,.能 发 现,k,+,r,位中任何二位同时出错，但已无法改正。,34,海明码的编码方法,合理地用,k,位数据位形成,r,个校验位的值，即保证用,k,个数据位中不同的数据位组合来形成每个校验位的值，使任何一个数据位出错时，将影响,r,个校验位中不同的校验位组合起变化。换言之，通过检查是哪种校验位组合起了变化，就能确定是哪个数据位错，对该位求反则实现纠错。,有时两位错与某种情况的一位错对校验位组合的影响相同，必须加以区分与解决。,35,海明编码数据位与校验位关系,1.数据位有,k,位，校验位有,r,位，如要求可发现并改正一位错，则：2,r,个不同的编码中，至少,有1个编码来表示