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,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,3,章 离散傅立叶变换（,DFT,）,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第,3,章 离散傅立叶变换（,DFT,）,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,2024/10/3,1,3.4 DFT,的应用举例,3.4.1,用,DFT,计算线性卷积,1.,循环卷积定理,：,如果：,则由时域循环卷积定理有,Y(k)=DFT,y(n),=X,1,(k)X,2,(k),0kL-1,0kL-1,3.4.1,用,DFT,计算线性卷积,1.,循环卷积定理,：,如果：,2022/10/1113.4 DFT的应用举例 3.4,2024/10/3,2,循环卷积可以在时域计算，也可以在频域计算，而,DFT,有快速算法,FFT,，当,N,很大时，在频域计算的速度要快的多，故常用,DFT,来计算循环卷积。,图,3.4.1,用,DFT,计算循环卷积,2022/10/112循环卷积可以在时域计算，也可以在频域计,2024/10/3,3,2.,线性卷积的计算：,希望用,DFT(FFT),计算线性卷积。而,DFT,只能直接用来计算循环卷积，为此导出线性卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件。,假设,h(n),和,x(n),都是有限长序列，长度分别是,N,和,M,。它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下：,(3.4.1),(3.4.2),其中，,Lmax,N,M,，,2022/10/113 2.线性卷积的计算：(3.4.1),2024/10/3,4,对照式,(3.4.1),可以看出，上式中,(3.4.3),2022/10/114对照式(3.4.1)可以看出，上式中,循环卷积 是线性卷积 以循环卷积点数,L,为周期的周期延拓序列的主值序列。,循环卷积长度：,L;,线性卷积长度：,N+M-1;,只有当循环卷积 的长度,LM+N-1,时，以,L,为周期进行周期延拓才无混叠现象。此时，取主值才有,线性卷积和循环卷积相等的条件：,LM+N-1,2024/10/3,5,循环卷积 是线性卷积 以循环卷积点,2024/10/3,6,图,3.4.3,用,DFT,计算线性卷积框图,当循环卷积的长度,LM+N-1,时，线性卷积和循环卷积相等，这时，可用,DFT,来计算线性卷积，框图如下：,2022/10/116图 3.4.3 用DFT计算线性,2024/10/3,7,图,3.4.2,线性卷积与循环卷积,2022/10/117图 3.4.2 线性卷积与循环卷,2024/10/3,8,3.4.2,用,DFT,对信号进行谱分析,1,用,DFT,对连续信号进行谱分析,目的：时域频域都离散化，便于计算机处理。,连续信号,x,a,(,t,),连续函数,X,a,(j,),离散信号,x,a,(,nT,),离散信号,X(k),X,(,k,),则是,x,(,n,),的傅里叶变换,X,(e,j,),在频率区间,0,，,2,上的,N,点等间隔采样。这里,x,(,n,),和,X,(,k,),均为有限长序列。,FT,DFT,2022/10/1183.4.2 用DFT对信号进行谱分析,2024/10/3,9,用,DFT,对信号进行谱分析是一个近似的过程：,FT,要求：“时域有限，频域无限”；,“频域有限，时域无限”；,DFT,要求：时域频域均有限。,工程上经过预处理：,频谱很宽的信号，预滤波器滤除幅度较小的高频成分，使连续信号的带宽小于折叠频率。,对于持续时间很长的信号，截取有限点进行,DFT,。,用,DFT,对连续信号进行频谱分析必然是近似的，其近似程度与信号带宽、采样频率和截取长度有关。,矛盾,2022/10/119用DFT对信号进行谱分析是一个近似的过,2024/10/3,10,2.,用,DFT,对连续信号进行谱分析的过程：,x(n)d(n),信号的频谱分析：计算信号的傅立叶变换,x,a,(t),X,a,(j),x(n),x,N,(n),N,x,N,(n),X,a,(e,jw,),X,N,(k),N,X,N,(k),抽样,t=nT,s,截短,周期延拓,周期延拓,取一个周期,周期延拓,s,=2/T,s,X,a,(e,jw,)*D,(e,jw,),卷积,抽样,0,=/N,周期延拓,取一个周期,FT,DTFT,DTFT,DFS,DFT,如何利用,X,N,(k),近似,X,a,(j),?,2022/10/11102.用DFT对连续信号进行谱分析的过,2024/10/3,11,2022/10/1111,2024/10/3,12,假设,x,a,(,t,),是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号。已知连续信号,x,a,(,t,),持续时间为,T,p,，最高频率为,f,c,。,1,）、将,x,a,(,t,),采样，即，等间隔,(T),分段,2022/10/1112假设xa(t)是经过预滤波和截取处理,2),、将,x(n),截短，共,N,个采样点,由于时域采样周期为,T,，则由时域采样定理，频域产生以,s=2fs=2/Ts,为周期的周期延拓。,如果,x,a,(t),是带限信号，则采样信号的频谱不会产生混叠，周期为,s=2/Ts,，取其中的一个周期的,FT,，则（,2,）变为：,2024/10/3,13,2)、将x(n)截短，,3),、频域采样，一个周期,s,分,N,段，采样间隔为,0,，且,F,称为频率分辨率,则，公式（,3,）、（,4,）分别为：,2024/10/3,14,3)、频域采样，一个周期s分N段，采样间隔为0，且202,2024/10/3,15,2022/10/1115,重写(5)、(6)如下：,上式即是由DFT求连续非周期信号的傅里叶变换的采样值的近似计算公式,2024/10/3,16,重写(5)、(6)如下：2022/10/1116,2024/10/3,17,3.,谱分析过程中的参数选择：,T,P,：,x,a,(t),的持续时间；,fc,：,x,a,(t),的最高频率,T,或,T,S,：时域采样间隔；,N,：采样点数,fs,：时域采样频率,F,：频域采样间隔（频率分辨率）,1.,各参数之间的关系：,2022/10/11173.谱分析过程中的参数选择：,2024/10/3,18,谱分析范围和频率分辨率：,谱分辨率,F,=,f,s,/,N,，,如果保持采样点数,N,不变，要提高频谱分辨率,(,减小,F,),，就必须降低采样频率，采样频率的降低会引起谱分析范围变窄和频谱混叠失真。,如维持,f,s,不变，为提高频率分辨率可以增加采样点数,N,，因为,只有增加对信号的观察时间,T,p,，才能增加,N,。,T,p,和,N,可以按照下面两式进行选择：,2022/10/1118谱分析范围和频率分辨率：,2024/10/3,19,【,例,3.4.2】,对实信号进行谱分析，要求谱分辨率,F,10 Hz,，信号最高频率,f,c,=2.5 kHz,，试确定最小记录时间,T,p min,，最大的采样间隔,T,max,，最少的采样点数,N,min,。如果,f,c,不变，要求谱分辨率提高,1,倍，最少的采样点数和最小的记录时间是多少？,解,因此,T,p min,=0.1 s,。因为要求,f,s,2,f,c,，所以,2022/10/1119【例 3.4.2】对实信号,2024/10/3,20,为使用,DFT,的快速算法,FFT,，希望,N,符合,2,的整数幂，为此选用,N,=512,点。,为使频率分辨率提高,1,倍，即,F,=5 Hz,，要求：,用快速算法,FFT,计算时，选用,N,=1024,点。,上面分析了为提高谱分辨率，又保持谱分析范围不变，必须增长记录时间,T,p,，增加采样点数。应当注意，这种提高谱分辨率的条件是必须满足时域采样定理，甚至采样速率,f,s,取得更高。,2022/10/1120为使用DFT的快速算法FFT，希,2024/10/3,21,2022/10/1121,2024/10/3,22,4,用,DFT,进行谱分析的误差问题,(1),混叠现象。,对连续信号进行谱分析时，首先要对其采样，变成时域离散信号后才能用,DFT(FFT),进行谱分析。采样速率,f,s,必须满足采样定理，否则会在,=(,对应模拟频率,f,=,f,s,/2),附近发生频谱混叠现象。这时用,DFT,分析的结果必然在,f,=,f,s,/2,附近产生较大误差。因此，理论上必须满足,f,s,2,f,c,(,f,c,为连续信号的最高频率,),。,措施：,对,f,s,确定的情况，一般在采样前进行预滤波，滤除高于折叠频率,f,s,/2,的频率成分，以免发生频率混叠现象。,2022/10/11224 用DFT进行谱分析的误差问题,2024/10/3,23,(2),栅栏效应。,N,点,DFT,是在频率区间,0,，,2,上对时域离散信号的频谱进行,N,点等间隔采样，而采样点之间的频谱函数是看不到的。这就好像从,N,个栅栏缝隙中观看信号的频谱情况，仅得到,N,个缝隙中看到的频谱函数值。因此称这种现象为栅栏效应。由于栅栏效应，有可能漏掉,(,挡住,),大的频谱分量。,2022/10/1123(2)栅栏效应。,2024/10/3,24,改进：,为了把原来被“栅栏”挡住的频谱分量检测出来，,对有限长序列，可以在原序列尾部补零；,对无限长序列，可以增大截取长度及,DFT,变换区间长度，从而使频域采样间隔变小，增加频域采样点数和采样点位置，使原来漏掉的某些频谱分量被检测出来。,对连续信号的谱分析，只要采样速率,f,s,足够高，且采样点数满足频率分辨率要求，就可以认为,DFT,后所得离散谱的包络近似代表原信号的频谱。,2022/10/1124改进：为了把原来被“栅栏”挡住的频谱,2024/10/3,25,截断效应。,对,x(n),截断,形成有限长序列,w,(,n,),称为窗函数，长度为,N,。,w,(,n,)=,R,N,(,n,),称为矩形窗函数。,根据傅里叶变换的频域卷积定理，有,2022/10/1125截断效应。,2024/10/3,26,其中,对矩形窗数,w,(,n,)=,R,N,(,n,),，有,幅度谱,W,g,(,),曲线如图,3.4.12,所示,(,W,g,(,),以,2,为周期，只画低频部分,),。图中，,|,|2/,N,的部分称为主瓣，其余部分称为旁瓣。,图,3.4.12,矩形窗的幅度谱,2022/10/1126其中 图3.4.12 矩形窗的幅度,2024/10/3,27,例如，,x,(,n,)=cos(,0,n,),，,0,=/4,其频谱为,截断前、后的幅频曲线如下图所示：,泄漏,谱间干扰,2022/10/1127例如，x(n)=cos(0n),2024/10/3,28,由上述可见，截断后序列的频谱,Y,(e,j,),与原序列频谱,X,(e,j,),必然有差别：,(1),泄露。,由图可知，原来序列,x,(,n,),的频谱是离散谱线，经截断后，使原来的离散谱线向附近展宽，通常称这种展宽为泄露。显然，泄露使频谱变模糊，使谱分辨率降低。频谱泄露程度与窗函数幅度谱的主瓣宽度直接相关，在第,7,章将证明，在所有的窗函数中，矩形窗的主瓣是最窄的，但其旁瓣的幅度也最大。,2022/10/1128由上述可见，截断后序列的频谱Y(,2024/10/3,29,(2),谱间干扰,。在主谱线两边形成很多旁瓣，引起不同频率分量间的干扰,(,简称谱间干扰,),，特别是强信号谱的旁瓣可能湮没弱信号的主谱线，或者把强信号谱的旁瓣误认为是另一频率的信号的谱线，从而造成假信号，这样就会使谱分析产生较大偏差。,2022/10/1129(2)谱间干扰。在主谱线两边,2024/10/3,30,改进措施：,由图,3.4.12,可以看出，,增加,N,可使,W,g,(,),的主瓣变窄，,减小泄露,，提高频率分辨率，但旁瓣的相对幅度并不减小。为了,减小谱间干扰,，,应用其它形状的窗
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