中国古代数学史课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,中国古代数学的主要成就,周髀算经,周髀算经是我国最早的天文著作，系统地记载了周秦以来适应天文需要而逐步积累的科技成果。该书的主要内容是周代传下来的有关测天量地的理论和方法。,周髀算经也是中国最古的算书，成书确切年代没有定论，一般认为在公元前2、3纪。李约瑟认为：“最妥善的办法是把周髀算经看作具有周代的骨架加上汉代的皮肉。”,周髀算经主要是以文字形式叙述了勾股算法。中国古代最先完成勾股定理证明的数学家是三国时期的赵爽（公元3世纪）。赵爽为周髀算经作注时，所作的“勾股圆方图注”中给出了“弦图”，相当于运用面积的出入相补证明了勾股定理。,九章算术,九章算术成书于公元前后，是我国最重要、影响最深远的一本数学著作。后世不少人，如刘徽、祖冲之、李淳风等人均对九章算术作过注。特别是刘徽的注，加进了不少自己的精辟见解，阐述了重要的数学理论。九章算术注是九章算术得以流芳百世的重要补充和媒介。,九章算术,日本数学家小苍金之助把九章算术说成是中国的几何原本。吴文俊教授也认为，九章算术和刘徽的九章算术注，在数学的发展历史中具有崇高的地位，足可与希腊的几何原本东西辉映，各具特色。,九章算术全书共分9章，246道题，体例采用问题集形式。,第一章“方田”讲述有关平面图形（土地田亩）面积的计算方法，包括分数算法，,38,个问题。,一,今有田广十五步，从十六步，问为田几何？答曰：一亩。,二,又有田广十二步，从十四步，问为田几何？答曰：一百六十八步。,方田术曰：广从步数相乘得积步，以亩法二百四十步除之，即亩数，百亩为一倾。,五,今有十八分之十二，问约之得几何？答曰：三分之二。,六,又有九十一分之四十九，问约之得几何？答曰：十三分之七。,约分术曰：可半者半之，不可半者，副置分母子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第二章“粟米”讲述有关粮食交换中的比例问题。书中的“今有术”给出比例式中已知三数求第四数的方法，欧洲迟至,15,世纪才出现。,第三章“衰分”讲述配分比例和等差、等比等问题。,第四章“少广”讲述由田亩面积求边长，由球体积求经长的算法，这是世界上最早的多位数开平方、开立方法则的记载。,开方术,今有积五万五千二百二十五步，问为方几何？答曰：二百三十五步。,开方术曰：置积为实，借一算步之，超一等。议所得，以一乘所借一算为法，而以除，除已，倍法为定法。其复除，折法而下。复置借算步之如初，以复议一乘之。所得副之，以加定法，以除，以所得副从定法。复除折下如前。,第五章“商功”讲述各种土木工程中的体积计算。我国自远古以来，对筑城、挖沟、修渠等土建工程积累了丰富的经验，创造了许多有关土方体积计算和估算的方法，本章即为经验和方法的理论总结，诸如长方体、台体、圆柱体、锥体等体积的计算公式都与现在一致，只是圆周率取3，误差较大。,第六章“均输”讲述纳税和运输方面的计算问题，实际上是比较复杂的比例计算问题。,第七章“盈不足”讲述算术中盈亏问题的解法。盈不足术实际上是一种线性插值法。该方法通过丝绸之路传入阿拉伯国家，受到特别重视，被称为“契丹算法”。后来传入欧洲，13世纪意大利数学家斐波那契的算经一书中专门有一章讲“契丹算法”。,方程术,第八章“方程”讲述线性方程组的解法，还论及正负数概念及运算方法。,中算的方程，本意是指多元一次方程组（线性方程组）。刘徽在九章算术注中指出：“程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之方程。”,方程术,今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗；问上、中、下禾实一秉各几何？,正负术,正负数的加减运算法则：“同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之。其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之。”,“同名、异名”指“同号、异号”，“相除、相益”指“绝对值相减、相加”。前,4,句是减法规则，后,4,句是加法规则。,李文林在数学史教程中指出：“对负数的认识是人类数系扩充的重大步骤。如果说古希腊无理量是演绎思维的发现，那么中算负数则是算法思维的产物。中算家们心安理得地接受并使用了这一概念，并没有引起震撼和迷惑。”,国外首先承认负数的是,7,世纪印度数学家婆罗门及多，欧洲,16,世纪时韦达等数学家的著作还回避使用负数。,勾股术,第九章“勾股”在周髀算经中勾股定理的基础上，形成了应用问题的“勾股术”，从此它成了中算中重要的传统内容之一。,今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？答曰：水深一丈二尺；葭长一丈三尺。,术曰：半池方自乘，以出水一尺自乘，减之。余，倍出水除之，即得水深。加出水数，得葭长。,九章算术,标志着中国传统数学的知识体系已初步形成。代表了中国传统数学体系和思想方法的特点：,注重实际问题的数值计算方法，缺少抽象的理论和逻辑系统性，使用算筹，形成世界上独有的计算工具和程序化计算方法,刘徽的数学成就,刘徽，公元,3,世纪魏晋时人，于公元,263,年撰九章算注。该书包含了刘徽本人的许多创造，其中最突出的成就是“割圆术”和求积理论。,割圆术的要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆。刘徽从圆内接正六边形出发将边数逐次加倍，计算每次得到的正多边形周长和面积。他指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”,设圆面积为,S,0,、半径为,r,、圆内接正,n,边形边长为,l,n,、周长为,L,n,、面积为,S,n,。将边数加倍后,得到圆内接正,2,n,边形，其边长、周长、面积分别记为,l,2n,L,2n,S,2n,。,刘徽首先指出，由,l,n,及勾股定理可求出,l,2n,其次知道了圆内接正,n,边形的,周长,L,n,，又可求得正,2,n,边形的面积，,如果在圆内接,n,边形的每边上作一高为,CD,的矩形，就可以证明刘徽不等式：,S,2,n,S,0,S,2,n,+(,S,2,n,S,n,).,割圆术的基本原理,刘徽用“割圆术”从圆内接正六边形出发，算到圆内接正,192,边形，得到圆周率约为,3.14124,，其精确到小数点后两位的近似值,3.14=157/50,，被称为“徽率”。,刘徽的面积、体积理论建立在一条简单而又基本的原理之上，这就是“出入相补原理”：一个几何图形被分成若干部分后，面积或体积的总和保持不变。刘徽利用这条原理成功地证明了九章算术中的许多面积公式。,刘徽在推证九章算术中的一些体积公式时，灵活地使用了两种无限小方法：极限方法与不可分量方法。比如，“阳马”（一种特殊的四棱锥）体积公式便是用极限方法推导出来的，而球体积公式的推导则使用了不可分量方法。,为计算球体积公式，刘徽将两个等边圆柱垂直相交时的公共部分称为“牟合方盖”，并证明了球体积与其外切的牟合方盖的体积比是,/4,。,但他未能求得牟合方盖的体积。,九章算术注,对数学方法的贡献,开始了其独特的推理论证的尝试。“析理以辞，解体用图。”创立了“出入相补”的方法，提出了“割圆术”，上首次将极限概念用于近似计算；引入十进制小数的记法和负整数的知识；他试图建立球体积公式，虽然没有成功，但为后人提供了科学的方法；他对勾股测量问题的深入研究，在几何研究中，从少数几个原理出发，运用逻辑手段推导出结果的方法。提出“审辨名分”，不但对自己提出的每一个新概念都给出界定,九章算术注,丰富了,九章算术,的数学成果，主要表现在算术、代数和几何诸方面。,用水平截面去截球和“牟合方盖”，可知截面的面积之比恒为,：,4,，于是由刘徽原理立即得到,V,球,:,V,牟,=,：,4,即,V,球,=,（,/4,）,V,牟,。,祖暅原理,（,幂势既同，则积不容异）,与球体积公式,刘徽原理与“牟合方盖”,“小方盖差”与球体积公式,左图，,小牟合方盖中，,PQ,是小牟合方盖被,水平截平面得到正方形的一边，设为,a,，,UQ,是球半径,r,，,UP,是高,h,。,根据勾股定理,得,a,2,=r,2,h,2,;,这正是截平面,PQRS,的面积,中图，小方盖差在等高处的截面面积等于,r,2,a,2,=,h,2,，右图，底边为,r,，高也是,r,的倒正四棱锥，在等高处的截面面积也是,h,2,根据祖暅原理可知：,小方盖差和倒立正四棱锥的体积相等。,祖冲之的数学成就,祖冲之（公元,429500,）活跃于南朝宋、齐时代，出生于历法世家，本人做过南徐州（镇江）从事史和公府参军，都是地位不高的小官，但他却成为历代为数不多能名列正史的数学家之一。,祖冲之最大的数学成就是对圆周率的精确计算。得出了圆周率的上限,3.1415927,（盈数），下限,3.1415926,（肭数）。另外还得出了圆周率的两个分数形式的近似值约率,22/7,，和密率（祖率）,355/113,。,史料上没有关于祖冲之推算圆周率方法的记载，一般认为是沿用了刘徽的“割圆术”。刘徽用“割圆术”从圆内接正六边形出发，算到圆内接正,192,边形，得到圆周率约为,3.14124,，如果用这一方法算到圆内接正,24576,边形，便得到圆周率在,3.1415926,和,3.1415927,之间。祖冲之在圆周率的计算方面领先于西方近千年。为了纪念祖冲之的贡献，,20,世纪的日本天文学家将自己发现的一颗行星以祖冲之的名字命名。,从东汉以来，有关球体积的计算公式，经过张衡、刘徽等人的努力，最后由祖冲之和他的儿子祖暅完成，成为中国数学史上的一件大事。祖氏父子的这一成就，祖氏父子利用“两等高几何体，若在任意同一高度上的截面积均相等，则它们的体积相等”这一原理，求得牟合方盖的体积，然后利用刘徽的结果，得到了球体积公式。,祖暅还明确总结出了“幂势既同，则积不容异”这样一条求积原理。该原理现被称为“祖暅原理”。事实上，刘徽也使用过这一原理，只是未能将其概括为一般形式。这一原理在西方被称为卡瓦列里原理，但他,17,世纪前叶才提出，比祖暅迟了,1100,多年。,算经十书,出于官方数学教育的需要，唐高宗亲自下令对以前的数学著作进行整理。公元,656,年由李淳风负责编定了算经十书：周髀算经、九章算术、孙子算经、五曹算经、张邱建算经、夏候阳算经、缉古算经、海岛算经、五经算术和缀术，后因缀术失传，而以数术记遗替代。,孙子算经,鸡兔同笼,今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足。问雉、兔各几何？答曰：雉二十三，兔一十二。,术曰：上置头，下置足，半其足，以头除足，以足除头，即得。,物不知数,今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之剩三；七七数之，剩二。问物几何？答曰：二十三。,孙子歌,明代数学家程大位的算法统宗中所载的“孙子歌”以诗歌形式介绍了物不知数问题的解法：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆整半月，除百零五便得知。”,这一问题的解法后经秦九韶推广到一般情形，被称为“孙子定理”，又称为“中国剩余定理”。,“孙子问题”：“今物不知其数，三三除之余,二，五五除之余三，七七除之余二，问物,几何？”孙子问题相当于求解一次同余式组,N,2,（,mod3,）,3,（,mod5,）,2,（,mod7,）,其解法写作“孙子歌”：三人同行七十稀，,五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百,零五便得知。,.,计算过程为：,N=70,2+213,+152,2105.,这里的,70,、,21,、,15,是求解,的关键。其求法：,70=2571(mod 3),0(mod 5)0(mod 7),21=370(mod 3)1(mod 5)0(mod 7),15=350(mod 3)0(mod 5)1(mod 7).,由题设，用,3,、,5,、,7,分别除以,N,所得的余数为,2,、,3,、,2,，故用,2,、,3,、,2,分别去乘,70,、,21,和,15,，再相加即得,2332,（,mod 3,）,3,（,mod 5,）,2,（,mod 7,）,宋元数学,宋元时期（,960-1368,）的杰出数学家秦九韶、杨辉、李冶、朱世杰被称为“宋