D10_4重积分的应用

单击以编辑,母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,目录 上页 下页 返回 结束,第四节,一、立体体积,二、曲面的面积,三、物体的质心,四、物体的转动惯量,五、物体的引力,重积分的应用,第十章,1.能用重积分解决的实际问题的,特点:,所求量是,对区域具有可加性,用微元分析法(元素法)建立积分式,分布在有界闭域上的整体量,3.解题,要点:,画,出积分域、选择坐标系、确定积分序、,定出,积分限、计算要简便,2.用重积分解决问题的,方法:,一、立体体积,曲顶柱体,的顶为连续曲面,则其体积为,占有,空间有界域,的立体的体积为,任一点的切平面与曲面,所围立体的体积,V,.,例,1.,求曲面,分析:,第一步:求切平面,方程;,第二步:求,与,S,2,的交线,在,xOy,面上的投影,写出所围区域,D,;,第三步:求体积,V,.,(示意图),任一点的切平面与曲面,所围立体的体积,V,.,解:,曲面,的切平面方程为,它与曲面,的交线在,xOy,面上的投影为,(记所围域为,D,),在点,例,1,.,求曲面,例,2.,求半径为,a,的球面与半顶角为,的,内接锥面所围成的立体的体积.,解:,在球坐标系下空间立体所占区域为,则立体体积为,二、曲面的面积,设光滑曲面,则面积,A,可看成曲面上各点,处小切平面的面积,d,A,无限积累而成.,设它在,D,上的投影为,d,(称为面积元素),则,故有曲面面积公式,若光滑曲面方程为,则有,即,若光滑曲面方程为,若光滑曲面方程为隐式,则,则有,且,例3.,计算双曲抛物面,被柱面,所截,解:,曲面在,xOy,面上投影为,则,出的面积,A.,例4.,计算半径为,a,的球的表面积.,解:,设球面方程为,球面面积元素为,方法2,利用直角坐标方程.,(略,),方法1,利用球坐标方程.,三、物体的质心,设空间有,n,个质点,其质量分别,由力学知,该质点系的质心坐标,设物体占有空间域,有连续密度函数,则,公式,分别位于,为,为,即:,采用,“大化小,常代变,近似和,取极限”,可导出其质心,将,分成,n,小块,将第,k,块看作质量集中于点,例如,令各小区域的最大直径,系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.,的质点,即得,此,质点,在第,k,块上任取一点,同理可得,则得,形心坐标,：,若物体为占有,xOy,面,上区域,D,的平面薄片,(,A,为,D,的面积),得,D,的,形心坐标,:,则它的质心坐标为,其面密度,对,x,轴的,静矩,对,y,轴的,静矩,例5.,求位于两圆,和,的质心.,解:,利用对称性可知,而,之间均匀薄片,例6.,一个炼钢炉为旋转体形,剖面壁线,的方程为,内储有高为,h,的均质钢液,解:,利用对称性可知质心在,z,轴上，,采用柱坐标,则炉壁方程为,因此,故,自重,求它的质心.,若炉,不计炉体的,其,坐标为,四、物体的转动惯量,设物体占有空间区域,有连续分布的密度函数,该物体位于(,x,y,z,),处的,微元,因此物体,对,z,轴 的转动惯量:,对,z,轴的转动惯量为,因,质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故,连续体的转动惯量可用积分计算.,类似可得:,对,x,轴的转动惯量,对,y,轴的转动惯量,对原点的转动惯量,如果物体是平面薄片,面,密度为,则转动惯量的表达式是二重积分.,例7.,求半径为,a,的均匀半圆薄片对其直径,解:,建立坐标系如图,半圆薄片的质量,的转动惯量.,解:,取球心为原点,z,轴为,l,轴,则,球体的质量,例8.,求密度为,的,均匀球体对于过球心的一条轴,l,的,设球所占,域为,(用球坐标),转动惯量.,解:,取球心为原点,z,轴为,l,轴,则,球体的质量,例8.,求密度为,的,均匀球体对于过球心的一条轴,l,的,设球所占,域为,(用球坐标),转动惯量.,G,为引力常数,五、物体的引力,设物体占有空间区域,物体对位于点,P,0,(,x,0,y,0,z,0,),处的单位质量质点的引力为,其密度函数,引力元素在三坐标轴上分量为,其中,若求,xOy,面,上的平面薄片,D,对点,P,0,处的单位质量质点,的,引力分量,因此引力分量为,则上式改为,D,上的二重积分,密度函数改为,即可.例如,其中:,例9.,设面密度为,半径为,R,的圆形薄片,求它对位于点,解,:由对称性知引力,处的单位质量质点的引力.,。,例10.,求半径为,R,的均匀球,对位于,的单位质量质点的引力.,解:,利用对称性知引力分量,点,为球的质量,作业,P153,7，10,17,P173,1，3，6,11,13,14,习题课,(,t,为时间)的雪堆在融化过程中,其,侧面满足方程,设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为,已知体积减少的速率与侧面积成正比,(比例系数,0.9,),问高度为,130,cm,的雪堆全部融化需要,多少小时?,(2001考研),备用题,侧面方程,:,提示:,记雪堆体积为,V,侧面积为,S,则,(用,极坐标),由题意知,令,得,因此高度为130厘米的雪堆全部融化所需的时间为,100小时.,