1.7张量的代数运算

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,张量分析,及,连续介质力学,1.7,张量的代数运算,1.7.1,张量的相等,若,T,=,S,，则,1.7.2,张量的相加,若,T,+,S=U,，则,1.7.3,标量与张量相乘,若,k,T,=,U,，则,张量相减：,T,S=T,+(,1),S,1.7.4,张量与张量并乘,若,T,，,S,分别是,m,阶和,n,阶张量，,则,TS=U,是,m+n,阶张量。,U,的分量指标的前后顺序和上下位置都与,TS,的指标顺序和,上下位置相一致。例如,1.7.5,张量的缩并,若,T,是,m,阶张量，则,是将,T,的任意两个基矢,量,（一般选,一个协变基和一个逆变基,）,进行点积得到的,m,2,阶张量。例如：,点积,：若,T,，,S,分别是,m,阶和,n,阶张量，则 是,m,+,n,2,阶张量。例如：,1.7.6,张量的点积,双点积,：若,T,，,S,分别为,m,阶和,n,阶张量，则,T,:,S,=,W,T,S,=,Z,均为,m,+,n,-,4,阶张量。例如：,1.7.7,转置张量,如果保持基矢量的排列顺序不变，而调换张量,分量的指标顺序，则一般说来将得到一个同阶的新,张量，称为原张量的,转置张量,。对高阶张量来说，,应指明是对哪两个指标的转置张量。例如：,对第,1,，,2,指标的转置张量是,对第,1,，,3,指标的转置张量是,张量转置仅调换分量指标的前后顺序，它们的协逆变,性质（即指标上下位置）仍保持不变。,1.7.8,张量的对称化和反对称化,若调换张量分量的某两个指标的顺序而张量保持,不变，则该张量对这两个指标来说是,对称张量,。若,T,是,对称张量，,S,是与其对应的转置张量，则,S,=,T,。,若调换张量分量的某两个指标的顺序后所得到的张量分,量均与原张量的对应分量差一符号，则该张量对这两个指标,来说是,反对称张量,。若,T,是反对称张量，,S,是与其对应的转置,张量，则,S,=,T,。,反对称张量的对角分量均为零。例如,对称化运算：,反对称化运算：,设,S,是,T,的转置。则有,为对称张量；,为反对称张量。,1.7.9,张量的商法则,设有一组数的集合（例如,T,（,i,j,k,l,m,）,）,，如,果它满足对于任意一个,q,阶张量,S,（例如,q,=2,，二阶张,量,S,lm,）的内积均为一个,p,阶张量（例如,p,=3,，三阶张量,U,ijk,），即在任意坐标系内以下等式均成立,（上式左侧的,l,，,m,为哑标,）则这组数的集合,T,（,i,j,k,l,m,）,必定是一个,p,+,q,阶张量,