节水洗衣机模型

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,Mathematical Modeling，ECUST，2004,节水洗衣机模型,问题的提出,假设和定义,建立模型,分析和求解,仿真,结论和讨论,1 问题的提出,我国淡水资源有限，节约用水人人有责。洗衣机在家庭用水中占有相当大的份额，目前洗衣机已非常普及，节约洗衣机用水十分重要。假设在放入衣物和洗涤剂后洗衣机的运行过程为：加水,-,漂水,-,脱水,-,加水,-,漂水,-,脱水,-,加水,-,漂水,-,脱水（称,“,加水,-,漂水,-,脱水,”,为运行一轮）。请为洗衣机设计一种程序（包括运行多少轮、每轮加多少水等），使得在满足一定洗涤效果的条件下，总用水量最少。选用合理的数据进行计算。对照目前常用的洗衣机的运行情况，对你的模型和结果作出评价。,2 假设和定义,2.1 基本假设,仅考虑离散的加水方案，即每次脱水完后全换成清水进行下一次漂洗。,每次洗漂加水量不能低于 ，否则洗衣机无法转动；加水量不能高于 ，否则会溢出。设,每次洗漂的时间是足够的，以便衣服上的脏物充分溶入水中从而使每次所加的水充分利用,脱水时间也是足够的，以使脏水充分脱出，即让衣服所含的脏水量达到一个极限，设这个极限为一个大于0的常数 ，并由于脱水时不另加水故,2.2 变量定义,设共进行,n,轮“洗漂 脱水”的过程，依次为第0轮，第1轮，第 轮,第 轮用水量为,衣服上的初始脏物为 ，在第 轮脱水之后的脏物量为,3 建立模型,3.1 溶解特性和动态方程,在第 轮洗漂之后和脱水之前，第 轮脱水之后,脏物量 已变成了两部分：,其中 表示已溶入水中的脏物量，表示尚未溶入,中的脏物量。与第 轮的加水量 有关，总的规律,应是，越大 越大，且当 时，最小（0，,因为此时洗衣机处于转动临界点，有可能无法转动），,当 时 最大（这里假设,，,其中 称为溶解率）因此简单地选择线性关系表示这种溶,解特性则有：,（3.1.1）,（3.1.2）,在第 轮脱水之后，衣服上尚有脏物,。有脏水 ，其中脏水 中,含有脏物量为 ，于是第 轮完成,之后衣服上尚存的脏物总量为：,将（3.1.2）代入上式整理后得系统动,态方程：,（3.1.3）,（3.1.4）,3.2 优化模型,由于 是洗衣全过程结束后衣服上残存的脏物量，而 是初始脏物量，故 反映了洗净效果。由系统动态方程（3.1.4）可得：,又总用水量为：,于是可得,优化模型,如下：,（3.2.1）,（3.2.3）,（3.2.2）,若令：,则优化模型变成为更简洁的形式：,4 分析与求解,4.1 最少洗衣轮数,定义函数,（4,.1.1,）,易知,（4,.1.2,）,可见,r(t),是区间0,1上的单调减函数，所以,（,4.1.3）,第,k,轮的洗衣效果为,（,4.1.4,）,由此不难得出,n,轮洗完后洗净效果最多可达到,（4,.1.5,）,给定洗净效果的要求,则应有,（4,.1.6,）,于是,（4,.1.7,）,若考虑 的值不大于,0.99,。而 代表脱水后衣服上的尚存水量与最高水量之比，其数量级是很小的，所以,（,4,.1.8,）,比如 小于万分之一，则有*式,。,这样最少洗衣轮数的估计值为：(4.1.9),设 满足（,4.1.9,）的最小整数，表,-4.1.1,给出了洗净效果要求为千分之一和万分之一时 的关系。,4.2,算法,选用一种非线性规划算法，对于,（凭常识洗衣的轮数不应太多，比如可取 ）分别求解，然后选出最好的结果。其中 是满足（,4.1.7,）或（,4.1.9,）的最小整数，注意不必使用混合整数非线性规划算法，那将使问题复杂化。,5 仿真,5.1,数据,这里基于常识给出了一组用于仿真的数据，实际数据应通过实验获取（见6,.2,）。,1）,洗衣效果要求为千分之一，即 。,2）,每轮用水量下限为上限的百分之二十五，即 。,3）,脱水后衣服上的脏水量为用水量上限的十万分之一，即 。,由,2,），,3,）易得,5,.2,结果,表,5.2.1,是溶解率 时不同洗衣轮数,n,下的最少总用水量和每一轮的最优用水量（各轮的最有用水量恰好相等）。,5.2.2,是不同溶解率 之下的最优洗衣轮数,，,最少总用水量和每一轮的最优用水量（各轮的最优用水量恰好相等）。,备注,1,无解,2,1.9563,0.9782,3,2.7273,0.9091,4,3.3219,0.8305,5,3.7819,0.7564,6,4.1441,0.6907,7,4.4351,0.6336,8,4.6732,0.5842,9,4.8714,0.5413,10,5.0386,0.5386,表 5.2.1：,表5.2.2,备注,0.99,2,1.9563,0.9782,0.95,3,2.8421,0.9474,0.90,4,3.6540,0.9135,由计算误差引起,0.85,4,3.8690,0.9673,0.80,5,4.6801,0.9360,0.70,6,5.8610,0.9768,0.60,8,7.7108,0.9638,0.50,10,9.9764,0.9976,6,结论和讨论,6.1,若干结论,基于前述分析和初步的仿真试验结果，可得出一些有用的结论：,1）,最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数。,2）,每轮用水量应相同，没有必要一轮多用水，而另一轮少用水（除非考虑“洗涤”与“漂洗”的不同，见以下,6.2,）。,3）,设法增加溶解率 可以成倍地节约用水。如适当延长洗漂时间，选用好的洗涤剂等。,6.2,讨论,1）,乘积约束可化为：,（,6.2.1,）,在计算中要注意采取适当措施防止溢出，如可用 代替 ，其中 是机器的最小正浮点数。,2)可考虑“洗涤”和漂洗的不同（两者统称“洗漂”），前者加洗涤剂。一般仅第,0,轮是洗涤。可用特殊的溶解特性（关系）加以区别，例如考虑到多加水会降低洗涤剂的浓度，其溶解特性用具有最大值的单峰函数表示应当更合理。,3）,在实际中，无论是参数 以及洗净效果要求 ，还是溶解特性，均应在各种不同条件（比如针对衣服量的“少”，“中”，“多”）通过试验确定。,4）,受仿真结果的启示，提出猜想：“最优洗衣轮数等于最少洗衣轮数 且每轮洗漂的最优用水量相等”，即有,若真如此，则易知每轮的最优用水量 就是下列二次方程的解：,（6,.2.2,）是满足（4,.1.7,）或（4.1.9）的最小整数，这样,问题大为化简。尚未找到一种简明的方法来证明（或,否定）此猜测,。,附注：这是1996年全国大学生数模,竞赛,B,题的参考答案，从假设、,建模、到结果分析都给参赛者,留下较大的创新余地！,