鲁棒控制理论

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,鲁棒控制理论,第一篇 控制理论,第一章 概述,1.2,鲁棒性的基本概念,鲁棒概念,:,假定对象的数学模型属于一集合,P,，考察反馈系统的某些特性，如内部稳定性，给定一控制器,K,，如果集合,P,中的每一个对象都能保持这种特性成立，则称该控制器对此特性是鲁棒的。,（因此谈及鲁棒性必有一个控制器，一个对象集合和某些系统特性。）,1.2.1,不确定性与鲁棒性,对象的不确定性,本书中对象模型的基本形式,:,用集合,P,代表对象模型，可分为结构化和非结构化两种形式。,结构化集合是由于不定参数的变化引起的，如,非结构化不确定性是由未建模动态引起。,这种由于建模中简化的误差和被控对象本身的不确定性造成的实际被控对象与所建模型之间的差异称为系统的摄动量,1.2.2,鲁棒稳定性,(RS),定义,:,设对象的传递函数属于一集合,P,如果一个控制器,K,对集合,P,中的每个对象都能保证内部稳定,则称它为,RS,的,.,假定控制器使得标称反馈系统内部稳定,引进灵敏度函数,S,和补灵敏度函数,T:,反馈系统框图,K,P,e,r,定理：,（乘积不确定模型）控制器,K,能保证鲁棒稳定性的充要条件是：,转化一下得：,上式表明在每一频率下，临界点,1,都位于,以 为圆心，以 为半径的圆外。,摄动系统框图，设,1.2.3,鲁棒性能,(RP),定义,:,假定对象的传递函数属于集合,P,鲁棒性能是指集合中的所有对象都满足内部稳定性和一种特定的性能。,例如跟踪控制中,若希望跟踪误差,e,的幅值小于给定的,则性能指标为,:,若,P,取摄动为,那么,S,的摄动为,:,显然,RP,的条件为,:,且,1.3.2,控制系统的摄动形式,当前研究得最普遍的是两种非结构模型摄动,附加摄动与相乘摄动。,1.,附加摄动,附加摄动的结构如图所示,摄动后的传递函数矩阵为：,r,-,+,u,e,z,被控对象,2.,相乘摄动,相乘摄动的结构如图所示,摄动后的传递函数矩阵为：,r,-,r,e,u,z,第,2,章 优化问题理论,2.1,优化问题的描述,控制系统的 优化实质上是极小化某些,闭环频率响应函数的峰值。考虑下图所示,反馈系统,:,2.1.1,优化问题的频率域描述,-,v(,干扰,),z,由,v,到,z,的闭环传递函数,即反馈系统的灵敏度函数为,:,灵敏度函数表征了控制系统输出对干扰的灵敏度,理想情况下为,0,。,考虑的问题是寻找一补偿器,C,使得闭环系统稳定且极小化灵敏度函数的峰值,这个峰值定义为,由于在无限频率范围内,某些函数的峰值可能不存在,所以用上确界或最小上界来取代最大值,则,这一问题的合理性在于,:,极小化,S,的峰值相当于极小化最坏干扰对输出的影响。,假设干扰,v,具有未知频率成分,但是有有限能量,我们定义干扰的,2,范数,v,的能量是它,2,范数的平方。则下图的系统范数 定义为,v,z,上式是,2,范数的诱导范数,根据,Parseval,定理,不难得到,即峰值 正是系统范数,因此 优,化就是系统范数的极小化问题。,考虑到实际对象和补偿器的频率响应函数在高,频处都要衰减,所以灵敏度函数,S,在低频处可能很小,在高频处趋于,1,它在低频处的情况就可能不会反映,在峰值中,然而低频处往往对系统性能来说是最重要,的。所以引入频率加权函数,W,并考虑如下极小化问,题,其中,W,在低频处很,大,在高频衰减下来。,考虑,SISO,反馈系统的回路增益,L=PC,的,Nyquist,图,L,是标称值,L,是实际值,-1,0,L,L,实际闭环系统稳定的充分条件是,L,的,Nyquist,图不包围,-1,点。由图可以看出,也就是对于所有频率有,:,上式等价于,又标称系统补灵敏度函数定义为,所以上面的稳定条件等价于,假设相对摄动满足下面不等式,则稳定条件变为,可以证明上式是满足相对摄动条件下闭环系统稳定的充要条件。虽然它是在假设开环系统稳定的前提下获得,但是可以证明,当标称开环系统与受摄动开环系统有相同数目的右半平面极点时,鲁棒稳定条件对于开环不稳定系统仍然成立。,采用范数概念,上面的鲁棒稳定条件可以写为,考虑一般的摄动模型,L,L,相对摄动满足,摄动模型可以等价地写为,这种形式的摄动可用下图表示,v,p,z,q,H,-,上图可以简化为,p,q,根据小增益定理,闭环系统稳定的充分条件是,实际上上式是一个充要条件,稳定条件 不仅适用于,SISO,系统,也适用于,MIMO,系统。现在讨论,MIMO,系统如何定义无穷范数的问题。考虑如下图所示稳定的,MIMO,系统,系统范数是下列范数的诱导范数,u,y,根据,Parseval,定理,这些信号范数诱导出来的系统范数为,其中对于常熟复矩阵,A,表示谱范数,:,下面研究一种特殊的摄动形式,分子,-,分母摄动,它依赖于对象传递函数,P,的分式表示,若,P,为有理的,则,N,和,D,分别,为分子,分母多项式。分子,-,分母摄动模型将摄动表示为,-,加入补偿器后的闭环系统可以表示成,:,-,H,其中,由图可得传递函数,H,为,12,矩阵 和,21,矩阵 的奇异值均为,:,所以摄动和系统的无穷范数的平方分别为,:,当摄动满足如下条件,:,闭环系统鲁棒稳定的充要条件是灵敏度函数 和输入灵敏度函数 满足不等式,:,可见 为别为对象,P,的分母和分子的相对摄动大小的度量。则上面的鲁棒稳定准则表明在分母相对摄动较大的频段,标称灵敏度函数 应该比较小,而在分子相对摄动较大的频段,标称补灵敏度函数 应该较小。,上面的分析意味着低频摄动最好作为分母摄动来处理。低频摄动通常是由参数不确定性引起,常称之为结构不确定性。,另一方面高频摄动最好作为分子摄动来处理。高频摄动常由寄生效应和未建模动态所引起,常称之为非结构不确定性。,上面讨论的这种形式的鲁棒性设计问题实质上是混合灵敏度问题的一种形式。混合灵敏度问题是频率响应成形的有效方法。通过适当选择函数,可以使灵敏度函数在低频段小,而输入灵敏度函数在高频段小。选择这些函数要兼顾鲁棒性和性能的要求。,2.1.2,优化问题的状态空间描述,几个概念,:,(1),称 为系统,(A,B,C,D),的不变零点,当,时矩阵 降秩。,(2),对有理矩阵,G,rank,R,(s),G,表示,G,的秩。,(3),为定义在虚轴上的矩阵函数的线性空间。为定义在开右半复平面内解析且有界的矩阵函数构成的线性空间。显然有,。,一个有理的传递函数矩阵属于 当且仅当这个传递函数矩阵是稳定的并且为真,当,我们定义,表示最大奇异值。即无穷范数是幅频特性的峰值。,设有一个线性时不变系统,找一个动态补偿器,:,通过反馈 使闭环系统稳定且 范数严格小于某一预先给定值 。,首先做两个假设,:,(1),两个直馈矩阵应该分别为,1-1,映射和上映射,;,(2),两个给定子系统在虚轴上没有不变零点。,在上面假设条件下,满足条件的控制器存在的充要条件,:,两个给定的,Riccati,方程应该有半正定的稳定解,并且这两个解的乘积的谱半径小于 。,假设,1:,系统 满足下面条件,:,(1)(A,E,C,1,D,1,),在虚轴上没有不变零点,;,(2)(A,B,C,2,D,2,),在虚轴上没有不变零点。,对于任意,考虑如下矩阵,:,对于任意,考虑如下矩阵,:,我们定义两个矩阵束,:,其中 是与系统 相关的能控性矩阵束,;,是与系统,相关的能观性矩阵束。,再定义两个传递矩阵,:,令 表示谱半径。,定理,:,考虑系统,设系统,(A,B,C2,D2),与,(A,E,C1,D1),在虚轴上没有不变零点,则下面的叙述使等价的,:,(1),对于系统,存在一个时不变有限维动态补偿器 使得闭环系统的传递矩阵,G,F,为内部稳定并且 范数小于,1,即,。,(2),存在半正定矩阵,P,Q,使得,并同时使得以下秩条件成立,:,这里应说明,:,(a),对于,P,的约束是与状态反馈的 控制问题相关的。对于,Q,的约束是与对,P,的约束伴随的。,Q,的存在性与我们能否在观测,y,的基础上对状态,x,进行良好的估计有关。而检验我们能否同时估计和控制并达到预期效果则由耦合条件 决定。,(b),我们总是可能找到与原系统同阶的动态补偿器。可以看出存在一个适当的控制器,其阶数为 。补偿器的动态部分实际是状态观测器。因此如果可以直接获得,k,个无噪声的状态,则可得到补偿器的阶数为,n,k,。虽然实际测量总有噪声,但是如果噪声相对状态很小,则可以忽略噪声而获得低阶补偿器。,(c),当,D,1,为单映射,D,2,为满映射的情况称为正则 控制问题,对应的,当这两个条件之一不被满足时称为奇异 控制问题。在正则情况下,如果,P,Q,存在并满足定理,2.1,中的,(2),则满足,(1),的控制器为,式中,(d),满足秩条件,(a),(c),的二次型矩阵不等式,的解是唯一的,;,同理满足,(b),(d),的二次型不等式 的解是唯一的。,P,和,Q,的存在性可以通过确定这些矩阵的核来判定,而核的补阵满足代数,Riccati,方程。,