教育专题：反证法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,路边苦李,王,戎,7,岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子,.,小伙伴们纷纷去摘取果子,只有王戎站在原地不动,.,王,戎,回答说,:,“,树在道边而多子,此必苦李,.,”,小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李,.,王戎是怎样知道李子是苦的呢,?,他运用了怎样的推理方法,?,小故事,:,这与事实,矛盾。,说明李子是甜的这个假设是错的还是对的,？,假设,李子不是苦的，即李子是甜的，,那么这长在人来人往的大路边的李子会不会被过路人摘去解渴呢,？,那么，树上的李子还会这么多吗,？,所以，,李子是苦的,我们可以把这种说理方法应用到数学问题上。,反证法,解析：,由,C=90,可知是直角三角形，根据勾股定理可知,a,2,+b,2,c,2.,如图，在,ABC,中，,AB=c,，,BC=a,，,AC=b,如果,C=90,，,a,、,b,、,c,三边有何关系？为什么？,A,C,C,a,b,c,一、复习引入,探究：,假设,a,2,+b,2,c,2,，由勾股定理可知三角形,ABC,是直角三角形，且,C=90,，这与已知条件,C90,矛盾。假设不成立，从而说明原结论,a,2,+b,2,c,2,成立。,A,C,C,若将上面的条件改为,“,在,ABC,中，,AB=c,，,BC=a,，,AC=b,C90,”,，请问结论,a,2,+b,2,c,2,成立吗？,请说明理由。,a,b,c,这种证明方法与前面的证明方法不同，它是首先假设结论的反面成立，然后经过正确的；逻辑推理得出与已知、定理、公理矛盾的结论，从而得到原结论的正确。象这样的证明方法叫做,反证法,。,问题,：,发现知识：,二、探究,三、应用新知,在,ABC,中，,ABAC,求证：,B,C,A,B,C,证明：假设,，,则,（,）,这与,矛盾,假设不成立,B,C,AB,AC,等角对等边,已知,ABAC,B,C,小结：,反证法的步骤：假设结论的反面不成立逻辑推理得出矛盾肯定原结论正确,例,尝试解决问题,感受反证法,:,证明,：,假设,a,与,b,不止一个交点，不妨假设有两个交点,A,和,A,。,小结,：,根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾,例,2,求证：两条直线相交只有一个交点。,已知：如图,两条相交直线,a、b,。,求证：a,与,b,只有一个交点。,a,b,A,A,，,因为两点确定一条直线，即经过点,A,和,A,的直线有且只有一条，这与与已知两条直线,矛盾,假设不成立。,所以,两条直线相交只有一个交点。,A,证明：假设,a,与,b,不平行，则可设它们相交于点,A,。,小结,：,根据假设推出结论除了可以与已知条件矛盾以外，还可以与我们学过的定理、公理矛盾,已知：如图有a、b、c三条直线，且a/c,b/c.,求证：a/b,a,b,c,例,3,那么过点,A,就有两条直线,a,、,b,与直线,c,平行，这与,“,过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行矛盾,假设不成立。,a/b.,求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60,。,已知：,ABC,求证：,ABC,中至少有一个内角小于或等于,60,.,证明：假设,，,则,。,，,即,。,这与,矛盾假设不成立,ABC,中没有一个内角小于或等于,60,A60,B60,C60,A+B+C180,三角形的内角和为,180,度,ABC,中至少有一个内角小于或等于,60,.,点拨：至少的反面是没有！,例,4,A+B+C60,+60,+60,=180,例,5:,求证,:,在同一平面内,如果一条直线和两条平行线中的一条相交,那么和另一条也相交,.,已知,:,直线,l,1,l,2,l,3,在同一平面内,且,l,1,l,2,l,3,与,l,1,相交于点,P.,求证,:,l,3,与,l,2,相交,.,证明,:,假设,_,那么,_.,因为已知,_,这与,“,_ _,”,矛盾,.,所以,假设不成立,即求证的命题正确,.,l,1,l,2,l,3,P,l,3,与,l,2,不相交,.,l,3,l,2,l,1,l,2,经过直线外一点,有且只有一条直线平行于已知直线,所以过直线,l,2,外一点,P,有,两条直线,和,l,2,平行,例,6,、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角,分析,：解题的关键是反证法的第一步否定结论，需要分类讨论,.,已知：在,ABC,中，,AB=AC.,求证：,B,、,C,为锐角,.,证明：,假设等腰三角形的底角不是锐角，那么只有两种情况：,(1),两个底角都是直角；,(2),两个底角都是钝角；,（,1),由,A=B=90,则,A+B+C=A+90+90180,，,这与三角形内角和定理矛盾，,A=B=90,这个假设不成立,.,(2),由,90,B,180,，,90,C,180,，,则 ,A+B+C180,，这与三角形内角和定理矛盾,.,两个底角都是钝角这个假设也不成立,故原命题正确 等腰三角形的底角必定是锐角,.,说明,：本例中“是锐角,(,小于,90)”,的反面有,两种情况,，这时，必须分别证明命题结论反面的每一种情况都不可能成立，最后才能肯定命题的结论一定正确,.,此题是对反证法的进一步理解,.,假设结论的反面正确,推理论证,得出结论,回顾与归纳,反证法,反设,归谬,结论,得出矛盾（已知、,公理、定理等）,假设不成立，原,命题成立,.,反证法的一般步骤,:,假设命题结论不成立,假设不成立,假设命题结论反面成立,与已知条件,矛盾,假设,推理得出的结论,与,定理，定义，公理,矛盾,所证命题成立,什么时候运用反证法呢？,动动脑,大家议一议！,通过本节内容的学习，你们觉得哪些题型宜用反证法？,我来告诉你（,经验之谈,）,（,1,）以否定性判断作为结论的命题；,（,2,）以“至多”、“至少”或“不多于”等形式陈述的命题；,（,3,）关于“唯一性”结论的命题；,（,4,）一些不等量命题的证明；,（,5,）有些基本定理或某一知识体系的初始阶段等等,.(,如平行线的传递性的证明）,证明真命题 的方法,直接证法,间接证法,反证法,逻辑 推理,万事开头难，让我们走好第一步！,写出下列各结论的反面：,（,1,）,a/b,；,（,2,）,a0,；,（,3,）,b,是正数；,（,4,）,ab,a0,b,是,0,或负数,a,不垂直于,b,ab,四、巩固新知,1,、试说出下列命题的反面：,（,1,）,a,是实数。（,2)a,大于,2,。,（,3,）,a,小于,2,。（,4,）至少有,2,个,（,5,）最多有一个 （,6,）两条直线平行。,2,、用反证法证明,“,若,a,2,b,2,则,a,b,”,的第一步是,。,3,、用反证法证明,“,如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形,”,的第一步,。,a,不是实数,a,小于或等于,a,大于或等于,没有两个,一个也没有,两直线相交,假设,a=b,假设这个三角形是等腰三角形,警察局里有名嫌疑犯，他们分别做了如下口供：,说：这里有个人说谎,说：这里有个人说谎,说：这里有个人说谎,说：这里有个人说谎,说：这里有个人说谎,聪明的同学们，假如你是警察，你觉得谁说了真话？,你会释放谁？,请与大家分享你的判断！,快乐驿站,我来当警察,六、全课总结,1,、知识小结：,反证法证明的思路：假设命题不成立正确的推理,得出矛盾肯定待定命题的结论,2,、难点提示,:,利用反证法证明命题时,一定要准确而全面的找出命题结论的反面。至少的反面是没有，最多的反面是不止。,注意,:,用反证法证题时,应注意的事项,:,（,1,）周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；,（,2,）推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；,（,3,）在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的。,作业：,117,练习：,1,、,2,题,独立,作业,知识的升华,祝你们学习进步！,