人教A版高中数学必修4课件三角函数的图像与性质课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,人教A版高中数学必修4课件三角函数的图像与性质课件,人教A版高中数学必修4课件三角函数的图像与性质课件,2.,任意给定一个实数,x,，对应的正弦值（,sinx,）、余弦值,(cosx),是否存在？惟一？,问题提出,1.,在单位圆中，角,的正弦线、余弦线分别是什么？,P,（,x,，,y,）,O,x,y,M,sin,=MP,cos,=OM,2.任意给定一个实数x，对应的正弦值（sinx）、余弦值(c,4.,一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数的基本特性，我们应从哪个方面人手？,3.,设实数,x,对应的角的正弦值为,y,，则对应关系,y=sinx,就是一个函数，称为,正弦函数,；同样,y= cosx,也是一个函数，称为,余弦函数,，这两个函数的定义域是什么？,4.一个函数总具有许多基本性质，要直观、全面了解正、余弦函数,正、余弦函数的图象,正、余弦函数的图象,知识探究（一）：,正弦函数的图象,思考,1,：,作函数图象最原始的方法是什么？,思考,2,：,用描点法作正弦函数,y=sinx,在,0,，,2,内的图象，可取哪些点？,思考,3,：,如何在直角坐标系中比较精确地描出这些点，并画出,y=sinx,在,0,，,2,内的图象？,知识探究（一）：正弦函数的图象 思考1：作函数图象最原始的方,x,y,1,-,1,O,2,思考,4,：,观察函数,y=sinx,在,0,，,2,内的图象，其形状、位置、凸向等有何变化规律？,xy1-1O2思考4：观察函数y=sinx在0，2,思考,5,：,在函数,y=sinx,，,x0,，,2,的图象上，起关键作用的点有哪几个？,x,-,1,O,2,1,y,思考5：在函数y=sinx，x0，2的图象上，起关键,思考,6,：,当,x2,，,4, -2,，,0,时，,y=sinx,的图象如何？,y,-,1,x,O,1,2,3,4,5,6,-2,-3,-4,-5,-6,-,思考6：当x2，4, -2，0,时，y=s,思考,7,：,函数,y=sinx,，,xR,的图象叫做,正弦曲线,，正弦曲线的分布有什么特点？,y,-,1,x,O,1,2,3,4,5,6,-2,-3,-4,-5,-6,-,思考7：函数y=sinx，xR的图象叫做正弦曲线，正弦曲线,思考,8,：,你能画出函数,y=|sinx|,，,x0,，,2,的图象吗？,y,x,O,1,2,-1,思考8：你能画出函数y=|sinx|，yxO12-1,知识探究（二）：,余弦函数的图象,思考,1,：,观察函数,y=x,2,与,y=(x,1),2,的图象，你能发现这两个函数的图象有什么内在联系吗？,x,y,o,-1,知识探究（二）：余弦函数的图象 思考1：观察函数y=x2与y,思考,2,：,一般地，函数,y=f(x,a)(a,0),的图象是由函数,y=f(x),的图象经过怎样的变换而得到的？,向左平移,a,个单位,.,思考,3,：,设想由正弦函数的图象作出余弦函数的图象，那么先要将余弦函数,y=cosx,转化为正弦函数，你可以根据哪个公式完成这个转化？,思考2：一般地，函数y=f(xa)(a0)的图象是由函数,思考,4,：,由诱导公式可知，,y=cosx,与,是同一个函数，如何作函数 在,0,，,2,内的图象？,x,y,O,2,1,y=sinx,-1,思考4：由诱导公式可知，y=cosx与xyO21y=si,思考,5,：,函数,y=cosx,，,x0,，,2,的图象如何？其中起关键作用的点有哪几个？,x,y,O,2,1,-1,思考5：函数y=cosx，x0，2的图象如何？其中起,思考,6,：,函数,y=cosx,，,xR,的图象叫做,余弦曲线,，怎样画出余弦曲线，余弦曲线的分布有什么特点？,x,y,O,1,-,1,思考6：函数y=cosx，xR的图象叫做余弦曲线，怎样画出,理论迁移,例,1,用“五点法”画出下列函数的简图：,(1),y=1+sinx,，,x0,，,2,；,(2),y=-cosx,，,x0,，,2 .,理论迁移 例1 用“五点法”画出下列函数的简图：,x,sinx,1+sinx,1,0,0,0,0,1,-1,1,2,0,1,x,-,1,O,2,1,y,2,y=1+sinx,xsinx1+sinx100001-11201x-1O2,x,cosx,-cosx,1,0,1,0,0,1,-1,-1,0,0,-1,x,-,1,O,2,1,y,y=-cosx,xcosx-cosx101001-1-100-1x-1O2,例,2,当,x0,，,2,时，求不等式,的解集,.,x,y,O,2,1,-1,例2 当x0，2时，求不等式 xyO21-,小结作业,1.,正、余弦函数的图象每相隔,2,个单位重复出现，因此，只要记住它们在,0,，,2,内的图象形态，就可以画出正弦曲线和余弦曲线,.,2.,作与正、余弦函数有关的函数图象，是解题的基本要求，用“五点法”作图是常用的方法,.,小结作业1.正、余弦函数的图象每相隔2个单位重复出现，因此,3.,正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础，也是解决有关三角函数问题的工具，这是一种数形结合的数学思想,.,3.正、余弦函数的图象不仅是进一步研究函数性质的基础，也是解,第一课时,1.4.2,正弦函数、余弦函数的性质,第一课时 1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质,问题提出,1.,正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互联系？,y,-,1,x,O,1,2,3,4,5,6,-2,-3,-4,-5,-6,-,y=sinx,x,y,O,1,-,1,y=cosx,问题提出1.正弦函数和余弦函数的图象分别是什么？二者有何相互,2.,世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季更替，月有阴晴圆缺,.,这种现象在数学上称为,周期性,，在函数领域里，周期性是函数的一个重要性质,.,2.世界上有许多事物都呈现“周而复始”的变化规律，如年有四季,函数的周期性,函数的周期性,知识探究（一）：,周期函数的概念,思考,1,：,由正弦函数的图象可知,正弦曲线每相隔,2,个单位重复出现， 这一规律的理论依据是什么？,.,思考,2,：,设,f(x)=sinx,，则,可以怎样表示？其数学意义如何？,知识探究（一）：周期函数的概念 思考1：由正弦函数的图象可知,思考,3,：,为了突出函数的这个特性，我们把函数,f(x)=sinx,称为,周期函数,，,2k,为这个函数的周期,.,一般地，如何定义周期函数？,对于函数,f(x),，如果存在一个非零常数,T,，使得当,x,取定义域内的每一个值时，都有,f(x+T)=f(x),那么函数,f(x),就叫做周期函数，非零常数,T,就叫做这个函数的周期,.,思考3：为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx,思考,4,：,周期函数的周期是否惟一？正弦函数的周期有哪些？,思考,5,：,如果在周期函数,f(x),的所有周期中存在一个最小的正数,则这个最小正数叫做,f(x),的,最小正周期,.,那么,正弦函数的最小正周期是多少？为什么？,思考4：周期函数的周期是否惟一？正弦函数的周期有哪些？思考5,正、余弦函数是周期函数，,2k,（,kZ, k0,）,都是它的周期，最小正周期是,2,思考,6,：,就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？,正、余弦函数是周期函数，2k（kZ, k0）,知识探究（二）：,周期概念的拓展,思考,1,：,函数,f(x)=sinx,（,x0,）是否为周期函数？函数,f(x)=sinx,（,x0,）是否为周期函数？,思考,2,：,函数,f(x)=sinx,（,x,0,）是否为周期函数？函数,f(x)=sinx,（,x3k,）是否为周期函数？,思考,3,：,函数,f(x)=sinx,，,x0,，,10,是否为周期函数？周期函数的定义域有什么特点？,知识探究（二）：周期概念的拓展 思考1：函数f(x)=sin,思考,4,：,函数,y=3sin(2x,4),的最小正周期是多少？,思考,5,：,一般地，函数,的最小正周期是多少,?,思考,6,：,如果函数,y=f(x),的周期是,T,，那么函数,y=f(x,),的周期是多少？,思考4：函数y=3sin(2x4)的最小正周期是多少？ 思,理论迁移,例,1,求下列函数的周期：,（,1,）,y=3cosx;,xR,（,2,）,y=sin2x,，,x,R,；,（,3,）,，,xR,；,（,4,）,y=|sinx| xR.,例,2,已知定义在,R,上的函数,f(x),满足,f(x,2),f(x)=0,，试判断,f(x),是否为周期函数？,理论迁移 例1 求下列函数的周期：（1）y=3cosx; x,例,3,已知定义在,R,上的函数,f(x),满足,f(x,1)=f(x,1),，且当,x0,，,2,时，,f(x)=x,4,，求,f(10),的值,.,例3 已知定义在R上的函数f(x)满足,小结作业,1.,函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，即存在非零常数,T,，使,f(x,T)=f(x),恒成立,.,2.,周期函数的周期与函数的定义域有关，周期函数不一定存在最小正周期,.,3.,周期函数的周期有许多个，若,T,为周期函数,f(x),的周期，则,T,的整数倍也是,f(x),的周期,.,小结作业 1.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数,4.,函数 和,的最小正周期都是 ，这是正、余弦函数的周期公式，解题时可以直接应用,.,4.函数 和,1.4.2,正弦函数、余弦函数的性质,第二课时,1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质 第二课时,问题提出,1.,周期函数是怎样定义的？,对于函数,f(x),，如果存在一个非零常数,T,，使得当,x,取定义域内的每一个值时，都有,f(x +T)=f(x),那么函数,f(x),就叫做周期函数，非零常数,T,就叫做这个函数的周期,.,问题提出1.周期函数是怎样定义的？ 对于函数f(x)，,2.,正、余弦函数的最小正周期是多少？函数 和,的最小正周期是多少？,3.,周期性是正、余弦函数所具有的一个基本性质，此外，正、余弦函数还具有哪些性质呢？我们将对此作进一步探究,.,2.正、余弦函数的最小正周期是多少？函数,函数的奇偶性、单调性与最值,函数的奇偶性、单调性与最值,探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性,思考,1,：,观察下列正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？,y,-,1,x,O,1,2,3,4,5,6,-2,-3,-4,-5,-6,-,y=sinx,x,y,O,1,-,1,y=cosx,探究（一）：正、余弦函数的奇偶性和单调性思考1：观察下列正弦,思考,2,：,上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？,正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数,.,思考2：上述对称性反映出正、余弦函数分别具有什么性质？如何从,思考,3,：,观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？如何将这些单调区间进行整合？,y,-,1,x,O,1,2,3,4,5,6,-2,-3,-4,-5,-6,-,y=sinx,正弦函数在每一个闭区间,上都是增函数；在每一个闭区间,上都是减函数,.,思考3：观察正弦曲线，正弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区,思考,4,：,类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是减函数？,余弦函数在每一个闭区间,上都是增函数；在每一个闭区间,上都是减函数,.,x,y,O,1,-,1,y=cosx,思考4：类似地，余弦函数在哪些区间上是增函数？在哪些区间上是,思考,5,：,正弦函数在每一个开区间（,2k,， ,2k,）,(kZ),上都是增函数，能否认为正弦函数在第一象限是增函数？,思考5：正弦函数在每一个开区间（2k， 2k） (k,探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性,思考,1,：,观察正弦曲线和余弦曲线，正、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？,思考,2,：,当自变量,x,分别取何值时，正弦函数,y=sinx,取得最大值,1,和最小值,1,？,正弦函数当且仅当 时取最大值,1,当且仅当 时取最小值,-1,探究（二）：正、余弦函数的最值与对称性 思考1：观察正弦曲线,思考,3,：,当自变量,x,分别取何值时，余弦函数,y=cosx,取得最大值,1,和最小值,1,？,余弦函数当且仅当 时取最大值,1,当且仅当 时取最小值,-1.,思考3：当自变量x分别取何值时，余弦函数y=cosx取得最大,思考,4,：,根据上述结论，正、余弦函数的值域是什么？函数,y=Asinx,（,A0,）的值域是什么？,思考,5,：,正弦曲线除了关于原点对称外，是否还关于其它的点和直线对称？,正弦曲线关于点,（,k,，,0,）,和直线,对称,.,-|A|,，,|A|,思考4：根据上述结论，正、余弦函数的值域是什么？函数y=As,思考,6,：,余弦曲线除了关于,y,轴对称外，是否还关于其它的点和直线对称？,余弦曲线关于点 和直线,x=k,对称,.,思考6：余弦曲线除了关于y轴对称外，是否还关于其它的点和直线,理论迁移,例,1,求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值、最小值时自变量,x,的集合,（,1,）,y=cosx,1,，,xR,；,（,2,）,y=,3sin2x,，,xR.,理论迁移 例1 求下列函数的最大值和最小值，并写出取最大值,例,3,求函数 ，,x,2,，,2,的单调递增区间,.,例,2,比较下列各组数的大小,:,例3 求函数 ， 例2 比较,小结作业,1.,正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、单调性、对称性和最值，它们都是结合图象得出来的，要求熟练掌握,.,2.,正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数,.,一般地，,y=Asinx,是奇函数，,y=Acosx,（,A0,）是偶函数,.,小结作业 1. 正、余弦函数的基本性质主要指周期性、奇偶性、,3.,正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点，简单复合函数的性质应转化为基本函数处理,.,3.正、余弦函数有无数个单调区间和无数个最值点，简单复合函数,1.4.3,正切函数的图象与性质,1.4.3 正切函数的图象与性质,问题提出,1.,正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？,2.,正、余弦函数的基本性质包括哪些内容？这些性质是怎样得到的？,3.,三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质， 因此,进一步研究正切函数的性质与图象就成为学习的必然,.,问题提出1.正、余弦函数的图象是通过什么方法作出的？ 2.正,正切函数的图象和性质,正切函数的图象和性质,知识探究（一）：正切函数的性质,思考,1,：,正切函数的定义域是什么？用区间如何表示？,思考,2,：,根据相关诱导公式，你能判断正切函数是周期函数吗？其最小正周期为多少？,正切函数是周期函数，周期是,.,知识探究（一）：正切函数的性质思考1：正切函数的定义域是什么,思考,3,：,函数 的周期为多少？一般地，函数,的周期是什么？,思考,4,：,根据相关诱导公式，你能判断正切函数具有奇偶性吗？,正切函数是奇函数,思考3：函数 的周期为多少？一般地，函数,思考,5,：,观察下图中的正切线，当角,x,在 内增加时，正切函数值发生什么变化？由此反映出一个什么性质？,T,1,O,x,y,A,T,2,O,思考5：观察下图中的正切线，当角xT1OxyAT2O,思考,6,：,结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？,正切函数在开区间,都是增函数,思考,7,：,正切函数在整个定义域内是增函数吗？正切函数会不会在某一区间内是减函数？,思考6：结合正切函数的周期性，正切函数的单调性如何？正切函数,思考,8,：,当,x,大于 且无限接近 时，正切值如何变化？当,x,小于 且无限接近,时,正切值又如何变化？由此分析，正切函数的值域是什么,?,正切函数的值域是,R.,T,1,O,x,y,A,T,2,O,思考8：当x大于 且无限接近 时，正切值如何变化？当x,知识探究（一）：正切函数的图象,思考,1,：,类比正弦函数图象的作法，可以利用正切线作正切函数在区间,的图象，具体应如何操作？,O,x,y,知识探究（一）：正切函数的图象思考1：类比正弦函数图象的作法,思考,2,：,上图中,直线 和 与正切函数的图象的位置关系如何？图象的凸向有什么特点？,思考,3,：,结合正切函数的周期性,如何画出正切函数在整个定义域内的图象？,y,O,x,思考2：上图中,直线 和 与正切函数的图象,思考,4,：,正切函数在整个定义域内的图象叫做,正切曲线,.,因为正切函数是奇函数，所以正切曲线关于原点对称，此外，正切曲线是否还关于其它的点和直线对称？,正切曲线关于点 对称,.,思考,5,：,根据正切曲线如何理解正切函数的基本性质？一条平行于,x,轴的直线与相邻两支曲线的交点的距离为多少？,思考4：正切函数在整个定义域内的图象叫做正切曲线.因为正切函,理论迁移,例,1,求函数 的定义域、周期和单调区间,.,例,2,试比较,tan8,和,tan( ),的大小,.,例,3,若 ，求,x,的取值范围,.,理论迁移 例1 求函数 的定义域、,小结作业,1.,正切函数的图象是被互相平行的直线所隔开的无数支相同形状的曲线组成,且关于点 对称,正切函数的性质应结合图象去理解和记忆,.,2.,正切曲线与,x,轴的交点及渐近线,是确定图象形状、位置的关键要素,作图时一般先找出这些点和线,再画正切曲线,.,小结作业 1.正切函数的图象是被互相平行的直线所隔开的无数支,3.,研究正切函数问题时,一般先考察,的情形,再拓展到整个定义域,.,3.研究正切函数问题时,一般先考察,三角函数的图象与性质,习题课,三角函数的图象与性质,例,1,求下列函数的定义域和值域,:,(1),；,(2) .,例,2,已知函数,的最小正周期为,，当 时，求,f(x),的最大值和最小值,.,例1 求下列函数的定义域和值域: 例2 已知函数,例,3,确定下列函数的奇偶性：,（,1,） ；,（,2,）,.,例,4,已知函数 在区间,上是减函数，求,a,的取值范围,.,例3 确定下列函数的奇偶性： 例4 已知函数,例,6,已知函数,f(x)=cos,2,x+sinx+a,，,若对任意,xR,都有 成立，求实数,a,的取值范围,.,例,5,把函数 的图象向,右平移,a,个单位得曲线,C,，若曲线,C,关于直,线 对称，求,a,的最小值,.,例6 已知函数f(x)=cos2x+sinx+a，,感谢聆听,感谢聆听,