第六节 平面及其方程

上页 下页 返回 结束,平面的方程,两平面的夹角,第六节,平面及其方程,点到平面的距离,点法式方程,一般方程,截距式方程,一、平面的方程,上页 下页 返回 结束,1.,平面的点法式方程,如果非零向量,垂直于平面,则称向量,为平面,的,法向量,.,垂直于平面的任一非零向量都,可作为该平面的法向量,.,平面法向量：,设平面过点,为平面,的法向量,上页 下页 返回 结束,平面的点法式方程：,且以,求平面,的方程,.,设,为平面上任意一点,则,得,称为平面的,点法式方程,.,而,例1.,求过三点,化简得,解,取该平面的法向量,的平面的方程,.,利用点法式得平面的方程,上页 下页 返回 结束,在平面上,即可通过三阶行列式,来计算平面的,方程,:,一般地,过三点,的,平面方程为,:,解二,上页 下页 返回 结束,称为,平面的三点式方程,.,设,为平面上任一点,则三向量,共面,因此,混合积,由平面的点法式方程,2,、平面的一般方程,化简得,这是一个三元一次方程,.,任给三元一次方程,该方程唯一确定一张以,因此,三元一次方程表示平面,为法向量的平面,平面的一般方程,.,称三元一次方程为,上页 下页 返回 结束,几种特殊情况：,平面过坐标原点；,平面通过,x,轴；,平面平行于,x,轴；,平面平行于,xOy,坐标面；,类似地可讨论,情形,.,类似地可讨论 情形,.,平面一般方程,:,0,D,=,0,D,上页 下页 返回 结束,垂直于,x,轴,例2.,求通过,x,轴和点,( 4, 3, 1),的平面方程,.,解,因,平面过,x,轴,可设平面方程为,代入已知点,得,所求平面方程,上页 下页 返回 结束,解:,上页 下页 返回 结束,则所求平面方程为,例3.,求过点,( 1, 1, 2),且与平面,平行的平面的方程,.,即,上页 下页 返回 结束,因平面过原点,可设平面为,解,例.,设平面过原点及点,),2,3,6,(,-,且与平面,8,2,4,=,+,-,z,y,x,垂直，求此平面方程,.,所求平面方程为,隐,当平面与三坐标轴的交点分别为,称为平面的,截距式方程,.,时,平面方程为,上页 下页 返回 结束,a, b, c,分别称为平面在相应坐标轴上的,截距,.,3.,平面的截距式方程,例4,求过点,(2, 3,3),且在,x,轴,和,y,轴上截距分别为,解,设平面方程为,代入已知点,得,所求平面方程为,上页 下页 返回 结束,-2, -3,的平面方程,.,例5,一平面通过两点,且垂直于平面,:,x + y + z,= 0,求其方程,.,解,设所求平面的法向量为,和,则,的法向量,),故可取,且,所求平面为,化简得,上页 下页 返回 结束,令,化简得,所求平面方程为,解,练习,求过点,),1,1,1,(,且垂直于平面,7,=,+,-,z,y,x,和,0,5,12,2,3,=,+,-,+,z,y,x,的平面方程,.,已知平面的法向量,上页 下页 返回 结束,二、两平面的夹角,设平面,1,的法向量为,平面,2,的法向量为,则两平面夹角,的余弦为,即,两平面法向量的夹角,(,取,锐角,),称为,两平面的夹角,.,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,两平面位置特征：,例6,研究以下各组平面的位置关系：,解,故两平面相交，夹角,上页 下页 返回 结束,两平面平行,两平面重合,.,又,上页 下页 返回 结束,两平面平行,所以,两平面平行但不重合,又,上页 下页 返回 结束,三、点到平面的距离,外一点,是平面,到平面的距离,.,平面法向量为,在平面上任取一点,则,P,0,到平面的距离为,点到平面的距离公式,上页 下页 返回 结束,上页 下页 返回 结束,例7.,确定,k,的值,使平面,满足,(2),与平面,垂直；,(3),与平面,平行；,(4),与平面,成,角；,(5),与原点的距离为,(6) 在,y,轴上的截距为,解:,(1),点,满足方程,即,得：,(1),经过点,并求此平面与,面的夹角；,两平面垂直,上页 下页 返回 结束,得：,与平面,垂直；,(2),平面,(3),与平面,平行；,两平面平行,得：,上页 下页 返回 结束,得：,与平面,成,角；,(4),平面,(5),与原点的距离为,得：,(6) 在,y,轴上的截距为,改写平面方程为,则,得：,(,a,),改写平面方程为截距式求,k，,(,b,),由平面过点, 求,k，,例8.,求平行于平面,相切的平面的方程,上页 下页 返回 结束,且与球面,解：,所求,平面的方程为：,由所求平面,与,平面,平行知，,设求平面,方程为：,因平面,与球,面,相切，,则,球心,与平面的距离等于球半径,即,练习,求下列各平面方程,（,1,）平行于,x,轴且经过两点,(4,0,-2),(5,1,7),；,（,2,）通过点,M(1,-1,1),且垂直于两平面,（,3,）在,x,轴上的截距为,2,，且过点,(0,-1,0)和(2,1,3),内容小结,1.,平面基本方程,一般式,点法式,截距式,三点式,上页 下页 返回 结束,2.,平,面,与平面,之间的关系,平面,平面,垂直,:,平行,:,夹角公式,:,上页 下页 返回 结束,3.,点到平面的距离,上页 下页 返回 结束,例,（辅测,P255,例3,）,试求参数,k,，,使得平面,分别适合下列条件之一：,(1),经过点,(2),与平面,垂直,(3),与平面,成,的角,(4),与原点相距,3,个单位,答案,(1),k,=2 (2),k,=1,隐,例,.,解,设球心为,求内切于平面,x + y + z,= 1,与三个坐标面所围,则它位于第一卦限,且,因此所求球面方程为,四面体的球面方程,.,从而,上页 下页 返回 结束,隐,