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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,高等数学,*,目录 上页 下页 返回 结束,三、二重积分的换元法,第二节,一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,二重积分的计算法,第十章,任取,平面,故曲顶柱体体积为,截面积为,截柱体的,且在,D,上连续,则,表示曲顶柱体体积,.,一、利用直角坐标计算二重积分,二次积分或,累次积分,平面区域,D,的两种简单类型,:,1.,D,为,X,型区域,D,为,Y,型区域,2.,说明,:,为计算方便,可,选择积分序,必要时还可以,交换积分序,.,则有,(2),若积分域较复杂,可将它分成若干,X,-,型域或,Y,-,型域,(,如图,),则,(1),若积分区域既是,X,型区域又是,Y,型区域,例,1.,计算,其中,D,是直线,y,1,x,2,及,y,x,所围的闭区域,.,解法,1.,将,D,看作,X,型区域,则,解法,2.,将,D,看作,Y,型区域,则,例,2.,计算,其中,D,是抛物线,所围成的闭区域,.,解,:,为计算简便,先对,x,后对,y,积分,及,直线,则,例,3.,求两个底圆半径为,R,的直角圆柱面所围的体积,.,解,:,设两个直圆柱方程为,利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为,则所求体积为,例,4.,将二重积分,其中,D,如下图所示,.,化为累次积分，,(1),(2),例,5.,交换下列积分顺序,解,:,积分域由两部分组成,:,视为,Y,型区域,则,例,6.,计算,其中,D,是直线,所围成的闭区域,.,解,:,由被积函数可知,因此先对,y,积分：,先对,x,积分不行,例,7,计算,其中,D,是由直线,所围成,.,解：,例,8.,计算,其中,D,由,所围成,.,解,:,令,(,如图所示,),显然,练习,.,计算下列二重积分,解,:,解,:,原式,解,:,原式,积分区域,D,可表示为：,解：,(4),计算积分,二、利用极坐标计算二重积分,思考：,其中,利用直角坐标无法计算，改用极坐标,.,极坐标下,则,则,1).,则,2).,则,D,:,若,f,1,则可求得,D,的面积,思考,:,下列各图中域,D,分别与,x,y,轴相切于原点,试,答,:,问,的变化范围是什么,?,(1),(2),例,9.,计算,其中,解,:,在极坐标系下,原式,故,注,:,证明,事实上,当,D,为,R,2,时,利用例,10,的结果,得,故式成立,.,在极坐标系下,圆方程为,直线方程为,例,10.,解,:,写出积分 的极坐标二次 积分,形式,其中,r=,1,例,11.,将下列积分化成极坐标形式。,例,12.,求,其中,D,为由圆,所围成的,及,直线,解：,平面闭区域,.,例,13.,求球体,被圆柱面,所截得的,(,含在柱面内的,),立体的体积,.,解,:,设,由对称性可知,定积分换元法,三、二重积分换元法,满足,一阶导数连续,;,雅可比行列式,(3),变换,则,定理,:,变换,:,是一一对应的,证,:,根据定理条件可知变换,T,可逆,.,用,平行于坐标轴的,直线分割区域,任取,其中一个小矩,形,其顶点为,通过变换,T,在,xoy,面上得到一个四边,形,其,对应顶点为,则,同理得,当,h,k,充分小时,曲边四边形,M,1,M,2,M,3,M,4,近似于平行四,边,形,故其,面积近似为,因此面积元素的关系为,从而得二重积分的换元公式,:,例如,直角坐标转化为极坐标时,例,15.,计算,其中,D,是,x,轴,y,轴和直线,所围成的闭域,.,解,:,令,则,例,16.,计算由,所围成的闭区域,D,的面积,S,.,解,:,令,则,例,17.,试计算椭球体,解,:,由对称性,令,则,D,的,原象为,的体积,V,.,内容小结,(1),二重积分化为累次积分的方法,直角坐标系情形,:,若积分区域为,则,若积分区域为,则,则,(2),一般换元公式,且,则,极坐标系情形,:,若积分区域为,在,变换,下,(3),计算步骤及注意事项,画出积分域,选择坐标系,确定积分序,写出积分限,计算要简便,域边界应尽量多为坐标线,被积函数关于坐标变量易分离,积分域分块要少,累次积好算为妙,图示法,不等式,(,先积一条线,后扫积分域,),充分利用对称性,应用换元公式,思考与练习,1.,设,且,求,提示,:,交换积分顺序后,x,y,互换,2.,交换积分顺序,提示,:,积分域如图,作业,P154 1,(2),(4),;,2,(1),(3),;,4(4);6,(2),(4),;,11,(2),(4),;,13,(3),(4),;,14,(2),(3),;,15,(1),(4).,解：,原式,备用题,1.,给定,改变积分的次序,.,解,:,得交点,2.,求曲线,和,所围成的图形（,圆外部分,）的面积,.,根据对称性有,
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