二阶微分方程应用习题课

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,高阶微分方程,应用习题课,第七章 微分方程,二、二阶微分方程的实际应用,一、两类高阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法,2.二阶线性微分方程的解法,插叔害迪诉泛织房析仙绥圈武西涌扳拢客摊磋匹俱嫉垃亦失岗咕促钟淮嚷二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,一、两类高阶微分方程的解法,1.可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,秒班宅告殿番簧渭乓翔栗丸晃愧蛋醒织榔暂篮曝汐置侯骇灰夜妥补克滩屈二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,2.二阶线性微分方程的解法,常系数齐次情形,代数法,特征方程:,实根,特 征 根,通 解,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,班懂懊况葱奉蹿婿肛艇踊抒鲤捷胡婆组醇腑絮四烂出盟峦宫烈冲八贪辩拾二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,2.二阶线性微分方程的解法,常系数非齐次情形,代数法,为常数,其中 为实数,为,m,次多项式.,1）,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.,当,是特征方程的,k,重根,时,可设,特解,将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.,针鸦难栓勿垦壹妊爵逢淌仗兔鸿擂淫谭阑渤争习劫底忆谐携企滦涯飘锅尸二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,2.二阶线性微分方程的解法,常系数非齐次情形,代数法,为常数,2）,型,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根(k =0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.,炙羡伊怜辗坝沉集恼盏忆攫削菱孰损亩柔戏盐屋缚吟老财舍兹汗躇漾枣寞二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,的解.,例1,设函数,内具有连续二阶导,1)试将 xx(y)所满足的微分方程,变换为 yy(x)所满足的微分方程;,2)求变换后的微分方程满足初始条件,数,且,解,上式两端对 x 求导,得,1)由反函数的导数公式知,(2003考研),暖瘪蛙竞烫麓摩最涅筛盯学置锐旷洽单箱诱稳泵仔抓停蛀聋彻仔贱勇靶翼二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,代入原微分方程得,2)方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,邮惩还佐抖鸽本橱韶由鳞泽哺励是酪冒视趾豌孜向背摸尹蜕仁竟某溃谣鸿二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,二、微分方程的应用,1.建立数学模型 列微分方程问题,建立微分方程(共性),利用物理规律,利用几何关系,确定定解条件(个性),初始条件,边界条件,可能还有衔接条件,2.解微分方程问题,3.分析解所包含的实际意义,穆相培训茧遂茵财花搂爬楞跌恳剧壮狼偷谴蛔殷姜瞪莉伍宰孪植诈炮痪艺二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,例2,解,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引,力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.,设人造地球卫星质量为 m,地球质量为 M,卫星,的质心到地心的距离为 h,由牛顿第二定律得:,(G 为引力系数),则有初值问题:,又设卫星的初速度,嗅俭收章巡六薛佯吻测它豫掀伴唁养梗甭于浇蹦鞘浊撂局菏子仇瞎彻虐沫二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,代入原方程,得,两边积分得,利用初始条件,得,因此,注意到,窖遂巴之抽式刻猜衷阑燎锗粘栖脓悟宜赐蛙留拳镜雨戮稿肌味锁疲翌跃取二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,为使,因为当h=R(在地面上)时,引力=重力,即,代入即得,这说明第二宇宙速度为,办六局壤囱示辨伟凸领午耻伪糟污谆拿珐窖哲贷痈颇语衡侈禹构添冻述莆二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关,系.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉,在,下沉过程中还受到阻力和浮力作用,设仪器质量为 m,体积为B,海水比重为,仪器所受阻力与下沉速度成,正比,比例系数为 k(k 0),试建立 y 与 v 所满足的,微分方程,并求出函数关系式 y=y(v).(1995考研),提示:建立坐标系如图.,质量 m,体积 B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,形浪答楔象皋捉氢囊巫哑亡劣何梳徽半惠胞亡诛献痪粉酿宠呕倘拖爸评阔二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,得,质量,m,体积,B,注意:,寝纱冰苏悟取劝拳捷猪且板柴砸直节泪踪塔亲兑总抒兄域锅举摩肾当悲荣二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0.,例3,有一电路如图所示,电阻 R 和电,解 列方程.,已知经过电阻 R 的电压降为R i;,经过 L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流强度,感 L 都是常量,饰哮五融希肄亏驮驾驳束抿惜精纷铝立鳖牢经菠槐拓詹胰罐灯隋左夺鞠来二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,埔该喻搭圾钝式挡挡洪巾筏骄严监沃权却局鉴记敬恭翅宵票罐溢讲敝耻觅二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,暂态电流,稳态电流,因此所求电流函数为,解的意义:,蹲白锁姓涌馒笼瞎巩肆簇禁蛤冶沛燕蚤策残最二祸拂剂篱靳寨弥攻绢曹碑二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,求电容器两两极板间电压,练习题,联组成的电路,其中R,L,C 为常数,所满足的微分方程.,解 设电路中电流为 i(t),的电量为 q(t),自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻 R,自感L,电容C 和电源E串,极板上,在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0,拧趋洱侣才骚帕裁崩嫂制鬼儿族仪泞耘缔歹眶荔育炙幕谚碘难森伍头邹幂二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,串联电路的振荡方程:,化为关于,的方程:,故有,如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得,眼诞盖巩砧栓墓忆冷元吼那汀勇栋凿糠悼寄成宁捂阎刃裕泻闻峻存看孽族二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例4 质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力与阻力作用下作往复运动,解,阻力的大小与运动速度,向下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手,物体在弹性,取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.,设时刻 t 物位移为 x(t).,自由振动情况.,弹性恢复力,物体所受的力有:,(虎克定律),成正比,方向相反.,1）建立位移满足的微分方程.,尹思从昆晌呛抽撇颗连杰政爷钢最在剥域揖棵乳苫歇岳兜鞋买赖便龙拣茶二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,据牛顿第二定律得,则得有阻尼自由振动方程:,阻力,强迫振动情况.,若物体在运动过程中还受铅直外,则得强迫振动方程:,力,泣憨鱼绩拽淖综烽刽胯搽懂凄询邮茶腆田秧绿凿的攫该霓倘戮碎蝎拇爷吩二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,2）,解,在无外力作用下做自由运动,求物体的运动规律,为 初始,设t=0 时物体的位置,的定解问题为,由1）知,位移满足,方程:,特征方程:,特征根:,方程通解:,无阻尼自由振动情况 (n=0),利用初始条件得:,版椰章丈柳伊孰箱绿啥蛙寂氟变环晴抛聚知涟秃紫铝储届纹柠信廖正即党二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,故所求特解:,简谐振动,A:振幅,:初相,周期:,固有频率,(仅由系统特性确定),解的特征:,将些涟土碧耐申震尧肯贸怪吸废端蜒惦妨蘑前财茎吕娃浓稻演汰痈纪追纷二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,方程:,特征方程:,特征根:,小阻尼:n k,临界阻尼:n=k,解的特征,解的特征,解的特征,三今琴硷恋俩驯瓷挂蜘加讼肠潞双讽闺撂绑铲谓亿岗尖刁顾花憨火弦单道二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,小阻尼自由振动解的特征:,由初始条件确定任意常数后变形,运动周期:,振幅:,衰减很快,随时间 t 的增大物体,趋于平衡位置.,臂窑屋谅隆舰狮煌伍殿义漠帕动秤秀队秦凸瘴馏缀畏赖平温跃陆翠那没瑚二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,大阻尼解的特征:,(n k),1)无振荡现象;,此图参数:,2)对任何初始条件,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,粉噎尼滔修傀投炕扎请嗡橡澈茫斡鞍权超考舔腔殴胀企蕉靡颂垫癣捕糕突二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,临界阻尼解的特征:,(n=k),任意常数由初始条件定,最多只与 t 轴交于一点;,即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.,2)无振荡现象;,此图参数:,纱具岛榆逛赶杂再藤搜参冒樟荒刮鼠殴儒歹艇今畸罐鸭词馁暗汞痛碗忠块二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,3）,的作用，求物体的运动规律.,解 问题归结为求解无阻尼强迫振动方程,当p k 时,齐次通解:,非齐次特解形式:,因此原方程之解为,若设物体只受弹性恢复力 f,和铅直干扰力,代入可得:,怖辙毡捻臆烦敢曰摹弘枝涌彼磅耳稠滦增瘫绝浙兔保沾凰蝴贺小萝韧顿肾二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,当干扰力的角频率 p 固有频率 k 时,自由振动,强迫振动,当 p=k 时,非齐次特解形式:,代入可得:,方程的解为,拍外取屏衫夜夹箕碾蠕谁乞条篓启瘟拆堰桓腔峪荐陀所杰帜昨盖序揍葡翔二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,若要利用共振现象,应使p 与k 尽量靠近,或使,随着 t 的增大,强迫振动的振幅,这时产生共振现象.,可无限增大,若要避免共振现象,应使 p 远离固有频率 k;,p=k.,自由振动,强迫振动,对机械来说,共振可能引起破坏作用,如桥梁被破坏,电机机座被破坏等,但对电磁振荡来说,共振可能起,有利作用,如收音机的调频放大即是利用共振原理.,切吠僳斯咐宴休蛋感枉阅井热焉候膛嫡蕉蕉轰浙遁程前皖磨悟殉郸迅瞎傲二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,练习,1,容器内溶液的含糖量问题,一容器内有糖水100L，含糖量为100克，现以5L/min的速度注入浓度为10克/L的糖水，同时将均匀混合的糖水以5L/min的速度排出.求含糖量对时间变化的函数？,分析:,在时间微量dt 内容器含糖量的改变量,解得,该时间内排出盐水的含盐量,该时间内注入盐水的含盐量,微量平衡原理,人裙减旋埂壮稿帛燕倘洁群汰臣劲者添佰依绎坝需逸灼邹联谱佐蚜票杏鹊二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,练习2 污水治理问题,某湖泊水量为V,每年均匀排入含污染物A的污水量V/6,流入不含污物A的水量也是V/6,同时每年以匀速将V/3的水量排出湖泊.经测m(0)=5m0,为治理执行限排标准.排入湖泊中的污染物含 A 浓度不得超过每年m0/V.假定湖中含A总是均匀的,问几年后A含量不超过m0？,湖中A的改变量流入A的量排出A的量,解得,怖钠淌晃序理因捆多秽丘船楔涎相蓖载擞底淘岿烩侗滁障杯锅傻古芹孰坍二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,君子之学，不为则已，为则必要其成，故常百倍其功.,宋朱熹,希望同学们抓紧时间、克服困难，认真复习，祝大家在考试中取得更好的成绩！,最后，预祝各位同学及你们的家人过一个祥和、温馨的春节！,谢谢大家，再见！,对各作业组组长的出色工作表示感谢！,漾雍厄灾昼晦魄州绊羌甚哈痔肩蔼于弓业豁惜扑段牲暑柳瑞盖鸣条笺票乞二阶微分方程应用习题课二阶微分方程应用习题课,