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*,第二章数 列,习题课 数列求和,1,掌握数列求和的几种基本方法,.,学习目标,2,栏目索引,知识梳理,自主学习,题型探究,重点突破,当堂检测,自查自纠,3,知识梳理,自主学习,知识点数列求和的方法,1.,基本求和公式,答案,na,1,4,答案,2.,倒序相加法,如果一个数列,a,n,的前,n,项中首末两端等,“,距离,”,的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前,n,项和即可用倒序相加法，如等差数列的前,n,项和即是用此法推导的,.,5,答案,解析,设原式,S,，,6,3.,错位相减法,如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前,n,项和即可用此法来求，如等比数列的前,n,项和就是用此法推导的,.,4.,裂项相消法,把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和,.,7,裂项相消求和经常用到下列拆项公式,:,答案,8,5.,分组求和法,分组求和一般适用于两种形式：,(1),若,a,n,b,n,c,n,，且,b,n,，,c,n,为等差或等比数列，可采用分组求和法求,a,n,的前,n,项和；,返回,6.,并项求和法,一个数列的前,n,项和，可两两结合求解，则称之为并项求和,.,形如,a,n,(,1),n,f,(,n,),类型，可采用两项合并求解,.,9,题型探究,重点突破,题型一分组求和法,例,1,在,等差数列,a,n,中，,a,2,4,，,a,4,a,7,15.,(1),求数列,a,n,的通项公式；,解析答案,解,设等差数列,a,n,的公差为,d,.,所以,a,n,a,1,(,n,1),d,n,2.,10,(2),设,b,n,2,n,，求,b,1,b,2,b,3,b,10,的值,.,解析答案,反思与感悟,解,由,(1),可得,b,n,2,n,n,，,所以,b,1,b,2,b,3,b,10,(2,1),(2,2,2),(2,3,3),(2,10,10),(2,2,2,2,3,2,10,),(1,2,3,10),(2,11,2),55,2,11,53,2 101.,a,n,2,11,某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和,.,反思与感悟,12,跟踪训练,1,已知,a,n,是等差数列，,b,n,是等比数列，且,b,2,3,，,b,3,9,，,a,1,b,1,，,a,14,b,4,.,(1),求,a,n,的通项公式；,解,(1),设数列,a,n,的公差为,d,，,b,n,的公比为,q,，,b,n,的通项公式,b,n,b,1,q,n,1,3,n,1,，,又,a,1,b,1,1,，,a,14,b,4,3,4,1,27,，,1,(14,1),d,27,，解得,d,2.,a,n,的通项公式,a,n,a,1,(,n,1),d,1,(,n,1)2,2,n,1(,n,1,，,2,，,3,，,),解析答案,13,(2),设,c,n,a,n,b,n,，求数列,c,n,的前,n,项和,解,设数列,c,n,的前,n,项和为,S,n,.,c,n,a,n,b,n,2,n,1,3,n,1,，,S,n,c,1,c,2,c,3,c,n,21,1,3,0,22,1,3,1,23,1,3,2,2,n,1,3,n,1,解析答案,14,题型二错位相减法求和,例,2,设等差数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，且,S,4,4,S,2,，,a,2,n,2,a,n,1.,(1),求数列,a,n,的通项公式；,解析答案,解,设等差数列,a,n,的首项为,a,1,，公差为,d,，,解得,a,1,1,，,d,2,，,因此,a,n,2,n,1,，,n,N,*,.,15,解析答案,反思与感悟,16,由,(1),知,a,n,2,n,1,，,n,N,*,，,解析答案,反思与感悟,17,反思与感悟,18,用错位相减法求和时，应注意：,(1),要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；,(2),在写出,“,S,n,”,与,“,qS,n,”,的表达式时应特别注意将两式,“,错项对齐,”,以便下一步准确写出,“,S,n,qS,n,”,的表达式,.,若公比是个参数,(,字母,),，则应先对参数加以讨论，一般情况下分等于,1,和不等于,1,两种情况分别求和,.,反思与感悟,19,解析答案,跟踪训练,2,数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,，,a,1,1,，,a,n,1,2,S,n,(,n,N,*,).,(1),求数列,a,n,的通项,a,n,；,20,解,a,n,1,2,S,n,，,又,S,1,a,1,1,，,数列,S,n,是首项为,1,，公比为,3,的等比数列,.,S,n,3,n,1,(,n,N,*,).,当,n,2,时，,a,n,2,S,n,1,23,n,2,，且,a,1,1,，,21,解析答案,(2),求数列,na,n,的前,n,项和,T,n,.,22,解,T,n,a,1,2,a,2,3,a,3,na,n,，,当,n,1,时，,T,1,1,；,当,n,2,时，,T,n,1,43,0,63,1,2,n,3,n,2,，,3,T,n,3,43,1,63,2,2,n,3,n,1,，,得,2,T,n,2,4,2(3,1,3,2,3,n,2,),2,n,3,n,1,1,(1,2,n,)3,n,1,，,又,T,1,a,1,1,也满足上式，,23,题型三裂项相消求和,解析答案,反思与感悟,24,如果数列的通项公式可以化为,f,(,n,1),f,(,n,),的形式，在数列求和时，就可以采用裂项相消法,.,要注意相消后的项要对称，如前面留下两项，则后面也会留下两项,反思与感悟,25,解析答案,跟踪训练,3,正项数列,a,n,满足,(2,n,1),a,n,2,n,0.,(1),求数列,a,n,的通项公式,a,n,；,得,(,a,n,2,n,)(,a,n,1),0.,由于,a,n,是正项数列，所以,a,n,2,n,.,26,解析答案,27,题型四并项求和法,例,4,求和：,S,n,1,3,5,7,(,1),n,(2,n,1).,解析答案,反思与感悟,28,当数列中的项正、负相间时，通常采用并项求和法，但应注意对,n,的取值的奇偶性进行讨论,.,其结果有时可以统一书写，有时要分段书写,反思与感悟,29,解析答案,30,解析答案,31,解析答案,错位相减法,易错点,误区警示,返回,32,误区警示,(1),同乘的系数为等比数列的公比,.,(2),指数相同的项相减,.,(3),等比数列的项数是,(,n,1),项还是,n,项,.,(4),指数式的计算是否正确,.,(5),在涉及到公比为字母时应注意讨论,q,是否为,1.,返回,33,当堂检测,1,2,3,4,1.,设,a,n,为等比数列，,b,n,为等差数列，且,b,1,0,，,c,n,a,n,b,n,，若数列,c,n,是,1,1,2,，,，则数列,c,n,的前,10,项和为,(,),A.978 B.557,C.467 D.979,解析答案,34,1,2,3,4,解析,由题意可得,a,1,1,，设数列,a,n,的公比为,q,，数列,b,n,的公差为,d,，,q,0,，,q,2,，,d,1,，,a,n,2,n,1,，,b,n,(,n,1)(,1),1,n,，,c,n,2,n,1,1,n,，,设数列,c,n,的前,n,项和为,S,n,，,S,10,978.,答案,A,35,1,2,3,4,2.100,2,99,2,98,2,97,2,2,2,1,2,的值是,(,),A.5 000 B.5 050,C.10 100 D.20 200,解析,对相邻两项由平方差公式得，原式,(100,99),(98,97),(2,1),5 050.,B,解析答案,36,1,2,3,4,3.,数列,a,n,的通项,a,n,n,2,n,，数列,a,n,的前,n,项和,S,n,为,(,),A.,n,2,n,1,B.,n,2,n,1,2,C.(,n,1)2,n,1,2 D.,n,2,n,1,2,C,解析答案,37,1,2,3,4,解析答案,38,1,2,3,4,答案,A,39,课堂小结,求数列前,n,项和，一般有下列几种方法,1,公式法：适用于已知类型为等差或等比数列的求和,2,错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和,3,分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列,4,裂项相消：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和,5,奇偶并项：当数列通项中出现,(,1),n,或,(,1),n,1,时，常常需要对,n,取值的奇偶性进行分类讨论,6,倒序相加：例如等差数列前,n,项和公式的推导方法,返回,40,本课结束,41,
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