4 .2绘制根轨迹的基本

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,4.2,绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,一、绘制根轨迹的相角条件和幅值条件,闭环传函：,特征方程：,幅值条件,相角条件,所以，根轨迹上的所有点都应满足幅值条件和相角条件，,而所有满足这两个条件的点都是根轨迹上的点。,零极点表达式,由幅值和相角条件得：,4.2,绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,.,1,q,1,j,2,j,s,1,z,1,p,1,p,2,w,j,s,由,开环零极点指向轨迹点的向量的方位角,。,角条件描述为：,确定对应的,K,值,4.2,绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,总结：,(1),当,k,从,变化,时，,S,平面,上系统,特征,根的,变化形成的轨迹,。每,一个,k,值，按幅值,条件对应,于根,轨迹,上的,n,个点。,(2),根,轨迹,上的点,符合,相角,条件,，且,符合,相角,条件,的点,一定,在根,轨迹,上。故 相角,条件,是根,轨迹,的,充要条件,。,4.2,绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,利用,模条件,和,角条件,绘制根轨迹,：,开环极点为：,无开环,零点,1,、,首先在,S,平面上用“”标出 的开环极点，用“”表出 的开环零点 。,2,、依据角条件，试探地找出根轨迹。,步骤：,(1).,在正实轴,上取,一点,s,1,不满足角条件，所以正实轴不属于根轨迹,j,0,-2,p,1,p,2,4.2,绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,j,0,-2,p,1,p,2,(2).,在 之间取一点,s,2,满足角条件，,所以 属于根轨迹,(3),在 之间取点,不满足角条件，,所以 不属于根轨迹,4.2,绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,j,0,-2,p,1,p,2,(4),在,实轴以外取,s,4,j,0,-2,p,1,p,2,S,4,一定在 的中垂线上,.,j,0,-2,p,1,p,2,2,、根据,模条件,，确定,K,值。,4.2,绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,规则,1,、根轨迹,的,分支数和对称性,二、绘制根轨迹的基本规则,开环传函,:,特征方程为,:,n,阶方程,根轨迹的分支数等于闭环,(,开环,),特征方程的阶数,n,n阶,m阶,根轨迹的分支数等于开环极点数,4.2,绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,规则,2,根,轨迹,的,起点和终点：,另：闭环特征根或为实数，或为共轭复根,;,所以根轨迹关于实轴对称。,根轨迹增益,K=0,时特征方程的根,根轨迹增益,K=,时特征方程的根,根轨迹的起点是开环传函的极点（开环极点）,4.2,绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,n=m,时，,根轨迹起点个数等于根轨迹的终点,n m,时，,根轨迹终点个数小于根轨迹的起点,n-m,个终点在无穷远处,无限零点,根轨迹的终点是开环传函的零点,规则二：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点,规则,3,实轴上的根轨迹,在实轴上取试探点,s,0,，若,s,0,右侧的开环,实,零极点个数之和为,奇数,，则,s,0,所在那段属于根轨迹，反之，则不是根轨迹。,j,规则,4,根轨迹的渐近线,.,渐近线的方向,可以认为所有开环零极点,引向点,s,的矢量角都相等，为 ，则根据角条件：,.,渐近线与实轴交点,根据规则,1,，渐近线的交点必在实轴上,极点坐标之和,-,零点坐标之和,极点数,零点数,规则,5,根轨迹的分离点和会合点,若实轴上相邻极点间的一段属于根轨迹，则从这两个极点出发的根轨迹分支必然在这段实轴上的某点相遇，然后离开实轴进入,s,复数区域，则相遇并离开实轴的点称为,若实轴上相邻零点间的一段属于根轨迹，则来从复数区域的两条根轨分支在这段实轴上的某点进入实轴，然后分别中止于两个开环零点，两个分支进入实轴的点称为,假设分离点或会合点为,。,确定分离点（会合点）：,.,重根法：分离点和会合点对应于系统特征方,程的重根,.,角条件：分离点（会合点）是根轨迹上的点，,所以应满足角条件,:,若,代数方程 具有,2,重根 ，则 必然,同时满足方程,规则,6,实轴上分离点的分离角,根轨迹离开分离点（进入会合点）时，轨迹切线的方向角。,由根轨迹的对称性，根轨迹分支离开或进入实轴时与实轴正交；即：分离角,规则,7,根轨迹与虚轴的交点,对应特征方程的纯虚根,令,s,=j,代入闭环特征方程，并令其实部和,虚部分别等于零,，,即可求出,交点处的值和相,应的,K,值。,即：令,s,=j,代入,即：,按系统特征方程列出,Routh,阵列，并令其第一,列的有关元素为零，求出临界值,再由辅助,方程求出 。,例题,:,规则,8,根轨迹在复极点处的出射角和复零点处 的入射角,从复极点 处出发的根轨迹切线的方向角,进入复零点 的根轨迹切线的方向角,出射角和入射角都满足相角条件,总结：,.,利用这些规则可以较简便地绘制出系统根轨,迹的大致图形。若要准确，则可以选取若干,测试点，用角条件校验；,.,根轨迹靠近虚轴和原点的部分，是确定系统动态性能的最重要部分，应尽量准确。,4.2,绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,例,根,轨迹的分离点：,舍去,4.2,绘制根轨迹的基本条件和绘制规则,