习题课导数的应用课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,高 等 数 学 习 题 课,习题课 导数的应用,一、主要内容,二、例题分析,三、课外练习题,第三章,(2),10/2/2024,1,高 等 数 学 习 题 课,导数的应用,1.,研究函数的性态,:,增减,极值,凹凸,拐点,渐近线,曲率,2.,解决最值问题,目标函数的建立与简化,最值的判别问题,3.,其他应用,:,求不定式极限,;,几何应用,;,相关变化率,;,证明不等式,(,单调、凹凸、泰勒,),;,研究方程实根等,.,4.,补充定理,(,见下页,),一、主要内容：,10/2/2024,2,设函数,在,上具有,n,阶导数,且,则当,时,证,令,则,利用,在,处的,n,1,阶泰勒公式得,因此,时,定理,10/2/2024,3,单调增区间为,;,的连续性及导函数,例,1,填空题,(1),设函数,其,导数图形如图所示,单调减区间为,;,极小值点为,;,极大值点为,.,提示,:,的,正负作,f,(,x,),的示意图,.,二、例题分析,10/2/2024,4,.,在区间,上是凸弧,;,拐点为,提示,:,的,正负作,f,(,x,),的示意图,.,形在区间,上是凹弧,;,则函数,f,(,x,),的图,(2),设函数,的图形如图所示,10/2/2024,5,例,2,证明,在,上单调增加,.,证,令,在,x,x,+1,上利用,拉氏中值定理,得,故当,x,0,时,从而,在,上单调增,.,10/2/2024,6,例,3,设在 上，证明函数,在 上是单调增加的,证,当 时，有,10/2/2024,7,故,即 是单调增加的,是单调增加的因而,根据拉格朗日中值定理,10/2/2024,8,例,4,设,在,上可导,且,证明,f,(,x,),至多只有一个零点.,证,设,则,故,在,上连续单调递增,从而至多只有,一个零点,.,又因,因此,也,至多只有一个零点.,思考,:,若题中,改为,其它不变时,如何设辅助函数,?,10/2/2024,9,例,5,求函数 的零点个数,对函数 ，有,解得 ,当 时，,即 单调减少；,即 单调增加,又 ，,故当 时，,在 内，,有且只有一个零点，,中的,唯一零点,解,令,时，,当,而,此零点即为 在定义域,10/2/2024,10,例,6,证明,证,设,则,故,时,单调增加,从而,即,思考,:,证明,时,如何设辅助,函数更好,?,提示,:,P183,题,11(2),10/2/2024,11,例,7,设 ，证明：当 时,证,因为当 时，,即当 时，,因而当 时，有,取 ，即得所需要的不等式,是单调增加的，,10/2/2024,12,例,8,证,10/2/2024,13,例,9,设,且在,上,存在,且单调,递减,证明对一切,有,证,设,则,所以当,令,得,即所证不等式成立,.,10/2/2024,14,例,9,证,不妨设,10/2/2024,15,例,10,证法一,只要证,10/2/2024,16,例,10,证法二,只要证,利用一阶泰勒公式,得,故原,不等式成立,.,10/2/2024,17,例,11,证,P154,题,10(3),10/2/2024,18,例,12,解,极大值,极小值,无极值,10/2/2024,19,-1,1,2,3,4,5,6,0.5,1,1.5,2,2.5,3,10/2/2024,20,例,13,求数列,的最大项,.,证,设,用,对数求导法得,令,得,因为,在,只有唯一的极大点,因此在,处,也取最大值,.,又因,中的最大项,.,极大值,列表判别,:,P183,题,14,10/2/2024,21,例,14,证明当,x,0,时,证,令,则,法,1,由,在,处的,二阶泰勒公式,得,故所证,不等式成立,.,与,1,之间,),10/2/2024,22,法,2,列表判别,:,即,10/2/2024,23,法,3,利用,极值第二判别法,.,故,也是最小值,因此当,时,即,10/2/2024,24,例,15,设函数 求 的极值,解,令 ，,当 时，,得 单调增加；,当 时，,当 时，,得 单调增加,所以 ，分别为函数的极大值,和,极小值,因,得,得 单调减少；,10/2/2024,25,如图所示，铁杆的长度为 ，,从而，,例,16,设有一直角弯道，入口的宽度为 ，拐弯处,的宽,度为,，求以水平方向通过的铁杆的最长长度,解,其中,10/2/2024,26,令,即铁杆的最大长度为,从而,得,10/2/2024,27,例,17,在椭圆 上求一点 ，使它,与,另两点 ，所构成的三角形面积为最小,解,因线段 固定，故欲使面积最小，即要使点,离,开线段 的距离为最小,线段 的方程为,即,点 到直线的距离为,x,y,O,2,a,a,2,b,b,A,B,10/2/2024,28,注意到点在直线的下方，,即,而,代入，得 ，,令,得,代入 的表达式，,令,即所求点的坐标为,得 ，,10/2/2024,29,例,18,求,解法,1,利用中值定理求极限,原式,P182,题,4,10/2/2024,30,解法,2,利用泰勒公式,令,则,原式,10/2/2024,31,解法,3,利用罗必达法则,原式,10/2/2024,32,三、课外练习题,1,证明方程 只有一个正根,2,设 可导，证明 的两个零点之间一定有,的零点,3,求函数 的极值,4,在第,象限内作 的切线，使其与两坐,标轴所成的三角形面积最小，求切点的坐标,5,设 在点 的某邻域内有三阶导数，如果,，试问 是否为,极值点？又 是否为拐点？,(,多种方法,),10/2/2024,33,