资源描述
Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第三节 矩阵概念与运算,一、矩阵概念的引入,二、矩阵的定义,三、矩阵的加法,六、矩阵的其它运算,五、矩阵与矩阵相乘,四、数与矩阵相乘,第三节 矩阵概念与运算一、矩阵概念的引入二、矩阵的定义三、,1.线性方程组,的解取决于,系数,常数项,一、矩阵概念的引入,1.线性方程组的解取决于系数常数项一、矩阵概念的引入,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个,同型矩阵与矩阵相等的概念,的行数时，两个矩阵才能相乘.,的行数时，两个矩阵才能相乘.,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,那末 称为对称阵.,是一个 实矩阵,不同阶数的零矩阵是不相等的.,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,2、数乘矩阵的运算规律,对线性方程组的,研究可转化为对,这张表的研究.,线性方程组的系数与常数项按原位置可排为,2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线连接 A 与B.,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个对线性方程组的线性方程,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,发站,到站,其中 表示有航班.,为了便于计算,把表中的 改成1,空白地方填上,0,就得到一个数表:,四城市间的航班图情况常用表格来表示:发站到站其中,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,这个数表反映了四城市间交通联接情况.,二、矩阵的定义,由 个数,排成的 行 列的数表,称为 矩阵.简称 矩阵.,记作,二、矩阵的定义 由 个数称为 矩阵.简,简记为,元素是实数的矩阵称为,实矩阵,元素是复数的矩阵称为,复矩阵,.,主对角线,副对角线,简记为元素是实数的矩阵称为实矩阵,元素是复数的矩阵称为复矩阵,例如,是一个 实矩阵,是一个 复矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵,是一个 矩阵.,例如是一个 实矩阵,是一个,例如,是一个3 阶方阵.,几种特殊矩阵,(2)只有一行的矩阵,称为,行矩阵,(或,行向量,),.,行数与列数都等于 的矩阵 ，称为 阶,方阵,.也可记作,例如是一个3 阶方阵.几种特殊矩阵(2)只有一行的矩阵称为行,只有一列的矩阵,称为,列矩阵,(或,列向量,).,称为,对角,矩阵,(或,对角阵,）,.,（3）,形如 的方阵,不全为0,只有一列的矩阵称为列矩阵(或列向量).,（4）,元素全为零的矩阵称为,零矩阵,，零,矩阵记作 或 .,注意,不同阶数的零矩阵是不相等的.,例如,记作,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零注,(5),方阵,称为,单位矩阵,（或,单位阵,）.,同型矩阵与矩阵相等的概念,1.两个矩阵的行数相等,列数相等时,称为,同型矩阵,.,全为1,(5)方阵称为单位矩阵（或单位阵）.同型矩阵与矩阵相等的,2.两个矩阵 为,同型矩阵,并且对应元素相等,即,则称,矩阵,相等,记作,例如,为,同型矩阵.,2.两个矩阵 为同型矩阵,例1,间的关系式,线性变换.,例1间的关系式线性变换.,系数矩阵,系数矩阵,、定义,三、矩阵的加法,设有两个 矩阵 那末矩阵,与 的和记作 ，规定为,、定义三、矩阵的加法设有两个 矩阵,说明,只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进,行加法运算.,例如,说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进例如,2、矩阵加法的运算规律,2、矩阵加法的运算规律,1、定义,四、数与矩阵相乘,1、定义四、数与矩阵相乘,由 个数,同型矩阵与矩阵相等的概念,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘,2、数乘矩阵的运算规律,复数，记，称为 的共轭矩阵.,当 为复矩阵时，用 表示 的共轭,（4）元素全为零的矩阵称为零矩阵，零,元素是复数的矩阵称为复矩阵.,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,同型矩阵与矩阵相等的概念,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,是一个 矩阵,四城市间的航班图情况常用表格来表示:,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.,2、数乘矩阵的运算规律,矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的,线性运算.,（设 为 矩阵，为数）,由 个数2、数乘矩阵的运算规律矩阵相加与数乘矩阵合起,、定义,并把此乘积记作,四、矩阵与矩阵相乘,设 是一个 矩阵，是一个,矩阵，那末规定矩阵 与矩阵 的乘积,是一个 矩阵 ，其中,、定义并把此乘积记作四、矩阵与矩阵相乘设,例,设,例2,例设例2,故,解,故解,注意,只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵,的行数时，两个矩阵才能相乘.,例如,不存在.,注意只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵例如不存在.,、矩阵乘法的运算规律,（其中 为数）;,若A是 阶矩阵，则 为A的 次幂，即,并且,、矩阵乘法的运算规律（其中 为数）;,注意,矩阵不满足交换律，即：,例,设,则,注意矩阵不满足交换律，即：例 设则,但也有例外，比如设,则有,但也有例外，比如设则有,例3,计算下列乘积：,解,例3 计算下列乘积：解,解,=,(,）,解=(）,解,例4,解例4,定义,把矩阵 的行换成同序数的列得到的,新矩阵，叫做 的转置矩阵，记作 .,例,、转置矩阵,五、矩阵的其它运算,定义 把矩阵 的行换成同序数的列得到的例、转,转置矩阵的运算性质,转置矩阵的运算性质,例5,已知,解法1,例5 已知解法1,解法2,解法2,2、方阵的行列式,定义,由 阶方阵 的元素所构成的行列式，,叫做方阵 的行列式，记作 或,运算性质,2、方阵的行列式定义 由 阶方阵 的元素,3、对称阵与伴随矩阵,定义,设 为 阶方阵，如果满足 ，即,那末 称为,对称阵,.,对称阵的元素以主对角线为对称轴对应相 等.,说明,3、对称阵与伴随矩阵定义设 为 阶方阵，如果,定义,行列式 的各个元素的代数余子式 所,构成的如下矩阵,性质,证明,则,称为矩阵 的,伴随矩阵,.,定义行列式 的各个元素的代数余子式 所性,4、共轭矩阵,定义,当 为复矩阵时，用 表示 的共轭,复数，记，称为 的共轭矩阵.,故,同理可得,4、共轭矩阵定义当 为复矩阵时，,运算性质,（设 为复矩阵，为复数,且运算都是可行的）:,运算性质（设 为复矩阵，为复数,且运算都是,七、小结,(1)矩阵的概念,七、小结(1)矩阵的概念,(2)特殊矩阵,方阵,行矩阵与列矩阵,;,单位矩阵;,对角矩阵,;,零矩阵,.,(2)特殊矩阵方阵行矩阵与列矩阵;单位矩阵;对角矩阵;零矩,七、小结,矩阵运算,加法,数与矩阵相乘,矩阵与矩阵相乘,转置矩阵,对称阵与伴随矩阵,方阵的行列式,共轭矩阵,七、小结矩阵运算加法数与矩阵相乘矩阵与矩阵相乘转置矩阵对称阵,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个,矩阵的行数时，两个矩阵才能相乘,且矩阵相乘,不满足交换律.,（1）只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能,进行加法运算.,注意,（3）矩阵的数乘运算与行列式的数乘运算不同.,（2）只有当第一个矩阵的列数等于第二个（1）只有当两,
展开阅读全文