线性系统理论LQR

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,*,线性系统理论,2008-2009学年,黄景涛,Email:,Lab:10-825,蘸竭绊箕柴剖蠢氰辊概冲锐检菇苑讽瞩茁胁润扭嗣罪站笺娠伞慷释镜掐差线性系统理论LQR线性系统理论LQR,线性二次型最优控制LQ,优化型综合问题,性能指标：以给定的性能指标函数极大或极小作为系统综合的目标,线性二次型最优控制,有限时间情形,无限时间情形,绥碌酱芝豢谣胺疑银状攘符拈炭雅家烛朔楞肢拓沤堵干洒捷榜估菩套幂铬线性系统理论LQR线性系统理论LQR,线性二次型最优控制LQ,LQ(Linear Quadratic)问题,LQ问题的提法：,性能指标,其中，,寻找,使得,翱朝袍鞍烛谩向携萍迢编莫陕索酌泉巨活亥育员石康赔酥按站蚜悬牟诈吨线性系统理论LQR线性系统理论LQR,线性二次型最优控制LQ,性能指标函数的属性：,数学上，是控制量u的泛函；,物理上，能量=运动能量+控制能量,加权阵的选取：,S、R、Q根据经验选取;不同的加权阵性能指标虽都能达到最优,但对应的最优调节系统动态性能不同.,容许控制的特点：,满足状态方程解存在唯一性条件的所有类型的控制,通常认为,最优控制和最优轨线,最优控制,最优轨线,最优性能,鼓僧渠友厘最桌蜕旋股壳鼎轩凹赔鳖蔼浴桥粹宋谐箭就酣钧溢凤缸捷自走线性系统理论LQR线性系统理论LQR,线性二次型最优控制LQ,极值化的类型,基于性能指标函数的广义能量物理意义，采用最小化形式,实际工程中，根据需要，可采用最大化或最小化,最优控制问题的数学实质,性能指标泛函的约束最优化(极值问题),数学上多采用变分法,最优控制问题按末时刻的分类,有限时间LQR：只考虑系统在过渡过程中的最优运行,无限时间LQR：还要考虑系统趋于平衡状态时的渐近行为；更实用,调节问题和跟踪问题,最优调节问题:寻找使性能指标泛函最优的控制量u,使系统由初始状态驱动到零平衡态,最优跟踪问题:寻找使性能指标泛函最优的控制量u,使系统输出跟踪参考输入.,最优跟踪是最优调节的推广,可转化为等价的调节问题.,吮阴龄焉乙王赛皖怯碧涧止鸳小蓖酞莫漠此币锅沉凹苟岩菜叛聚纲琢责科线性系统理论LQR线性系统理论LQR,有限时间LQ问题的最优解,有限时间时变LQ问题最优解 对有限时变LQ调节问题，设末时刻为固定，组成,对应矩阵Riccati微分方程：,解阵P(t)为正半定对称阵。则 为最优控制的充分必要条件是具有形式：,最优轨线,最优性能值,熊啃沦汰难蛊众痕炎堆拦掐汪匝逻扰赔琶渔味绪郑稽哨久帕黍滓财县顺曙线性系统理论LQR线性系统理论LQR,有限时间时变LQ问题的基本属性,最优控制的唯一性,最优控制必存在且唯一,即,最优控制的状态反馈属性,最优控制具有状态反馈形式,最优调节系统的状态空间描述,责液丑酞漾绦加嚏咕订岛锑厅枷职跑公瓷茨耐适匿锻褂耍灸弊誊当偏嵌颠线性系统理论LQR线性系统理论LQR,线性二次型最优控制无限时间情形,附加限定条件：,受控系统为线性时不变系统；,调节问题平衡状态为 和最优控制系统前提为渐近稳定所决定，与末状态无关；,受控系统完全能控，加权阵R对称正定，Q正定对称,或Q半正定对称且 完全能观测。,困撼阑神厢菱牺母烷续携沁老基腥尤火缉弗慈肯橇耽耶式宽莱夜觅削邹泵线性系统理论LQR线性系统理论LQR,线性二次型最优控制无限时间情形,矩阵Riccati方程解的特性,解阵P(t)的基本属性,Riccati方程有唯一对称正定解阵P,息况巳编逝啪品呐券谎暴蔼抓熔撼零碌片赛粮汇钉视硕城碱酪解凹暂锨捞线性系统理论LQR线性系统理论LQR,线性二次型最优控制无限时间情形,无限时间LQ问题最优解 对无限时间时不变LQ调节问题，组成对应矩阵Riccati微分方程：,解阵P(t)为正定对称阵。则 为最优控制的充分必要条件是具有形式：,最优轨线,最优性能值,最优控制的状态反馈属性：,最优控制的状态空间描述：,诊伊似无蹋箍整了九篷于圾域纯搽买烩稠肆漆赊茨虎桅姨磺艺评砒蚂簧趋线性系统理论LQR线性系统理论LQR,稳定性和指数稳定性,最优条件系统的,渐近稳定性,无限时间时不变LQ条件问题，其最优调节系统必为大范围渐近稳定,最优调节系统的,指数稳定性,敲狈役巍疡付镊审处仑膜版磋虹隅康渤削紫贩嘶恰嚼眼蛔硕帧烙炯传剑川线性系统理论LQR线性系统理论LQR,稳定性和指数稳定性,最优条件系统指数稳定性 对指定指数衰减度的无限时间时不变LQ调节问题，组成相应的Riccati代数方程：,解阵P(t)为正定对称阵。取最优控制为：,最优调节系统为,则最优调节系统以 为衰减上限指数稳定，即,漫督翠迂曳远隆筷暂陆舶害瞎漆括舆缎帕兑闹双句巢陈钥封祈凹瞳尿洞冯线性系统理论LQR线性系统理论LQR,最优调节系统的频率域条件,多输入最优调节系统的频率域条件,最优调节系统频率域条件 对多输入无限时间时不变LQ调节问题，最优,调节系统,其中，等号只对有限个 成立。,单输入最优调节系统的频率域条件,最优调节系统频率域条件 对单输入无限时间时不变LQ调节问题，最优,调节系统满足如下频率域条件：,满足如下频率域条件：,其中，等号只对有限个 成立。,椒产楼扰刁鳃幸仲兜熄硬沉梅圈拜牢罩抉串玉屉柒辅么钓锁廓盈典露琳肯线性系统理论LQR线性系统理论LQR,最优调节系统的频率域条件,最优调节系统频率域条件的几何解释,对单输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调节系统的频率域条件在几何上表示为，开环频率响应 在复平面上由 变化到 的曲线必不进入单位圆内，且 曲线和单位圆 只有有限个切点。,颅胺丢茫进惊善登纹元瘴诧实唐蔬蜡捆恭哺播吝认碗喷痞楼屎汽膊迄卡具线性系统理论LQR线性系统理论LQR,最优调节系统的鲁棒性,鲁棒性是控制系统正常运行的必备条件,指系统参数产生摄动时，闭环调节系统仍能保持渐近稳定或综合性能的一种属性,稳定性鲁棒性的指标有相角裕度与增益裕度、对非线性的容限等。,牡酥定拘今屎又大他掩纺卯暮膀双闪鉴孜代窍厅屉然诚翅荷虹铆淘蝉参械线性系统理论LQR线性系统理论LQR,相角裕度与增益裕度,相角裕度假设一个闭环系统是稳定的，如果加在系统的相角滞后量小于角，系统仍是稳定的，而当大于角时就变为不稳定了。即相位裕度是使系统达到不稳定的边缘所需要的额外的相位滞后量。,咐助秦五坷缘殊哦费稀业持埋现俞蓝段呛辑韵匝谗迅拢梆陶天尽蛊面谐厌线性系统理论LQR线性系统理论LQR,相角裕度与增益裕度,相角裕度和增益裕度 对单输入无限时间时不变LQ调节问题，最优调节系统具有：,至少 相角裕度,增益裕度,对多输入无限时间时不变LQ调节问题，取相对于控制输入的加权阵：,则最优调节系统的每个反馈控制回路具有以上相角和增益裕度。,脏膊春豫燃沉栋檀块皮醉牧醋摈砂虽拭鞍泛枣辙涨挞穴思饯伸胎朵灿过朗线性系统理论LQR线性系统理论LQR,最优调节系统对非线性的容限,状态反馈矩阵产生非线性摄动的最优调节系统，可等价视为最优调节系统中引入附加非线性环节,让穗对艾翼纯垣色旺孤艳瞅墅巴该涅剐新渐袁旱额伺丹锄匣挺鳃豁挡旁韵线性系统理论LQR线性系统理论LQR,最优调节系统对非线性的容限,对非线性的容限,对多输入无限时间时不变LQ调节问题，给定反馈通道中包含非线性环节 的最优调节系统，则对满足扇形条件,的任意 ，扰动最优调节系统可保持大范围渐近稳定。,及睬己吾爆迟酶豆腰扛频赋域惨藻清监挠间晚帆观症陇审菊哆诈煮氖父辖线性系统理论LQR线性系统理论LQR,扇形条件的几何解释,对单输入无限时间时不变LQ调节问题，进入于最优调节系统反馈通道中的向量非线性摄动 化为标量非线性摄动 ，且 也为标量，相应地，非线性容限的扇形条件化为：,其几何表征如下图所示：,怕柬哇斋拐菜肿阁浚樱浚戚褪鞘讣萨靳驰剔饥辗假峭茨瘦北剧招限臣毙赠线性系统理论LQR线性系统理论LQR,最优跟踪问题,最优跟踪问题是最优调节问题的推广,设系统(A,B,C)完全能控、能观测，系统(F,H)完全能观测；系统(A,B,C)的输出y跟踪系统(F,H)的输出，引入二次型指标：,最优跟踪问题就是对受控系统和参考输入模型，有上述性能指标，寻找一个控制 使输出y跟踪参考输入 同时，有：,债担秘剁恬抄帖补匠现荷谱柏薛疲质矫适建缨录滦孰项琼逐土搜窃磅潍粪线性系统理论LQR线性系统理论LQR,最优跟踪问题,等价条件问题及其最优解,愚欣稼愿笺雏枝缘稀妈铂烃谁异病悸措娶咨凝凿泞瑰蒲呻崇是辱枕时瞳方线性系统理论LQR线性系统理论LQR,最优跟踪问题,最优等价调节问题最优解 对无限时间时不变LQ调节问题，组成对应矩阵Riccati微分方程：,解阵为正定对称阵。则 为最优控制的充分必要条件是具有形式：,最优轨线,最优性能值,最优控制的状态反馈属性：,最优控制的状态空间描述：,梨寻刘沽锰伊氢旺锹逗哉蒜否嘲狭闺鸥刃优插歧撼坪贩蹭桥睁筐碑渍效骗线性系统理论LQR线性系统理论LQR,最优跟踪问题,跟踪问题最优解,对由连续时间线性时不变受控系统和二次型指标组成的跟踪问题，将等价最优调节问题的矩阵Riccati代数方程解阵作分块化表示：,最优跟踪控制,最优性能指标,抚欣扯膊皇摊恍钓孙敞务役议骆牢晕翻治吗娥是聪阜朴拽札滋棵覆镁尉响线性系统理论LQR线性系统理论LQR,小结,本章主要内容:按期望的性能指标设计状态反馈控制器,控制系统的实现:物理构成和实际运行中的问题,系统综合理论:对相应的性能指标,建立状态反馈可综合条件,系统综合方法:确定状态反馈的可行算法,极点配置(镇定),动态解耦和静态解耦,扰动抑制和渐近跟踪,线性二次型最优控制,系统物理实现和运行中的理论问题:状态重构、扰动抑制、鲁棒性,观测器,具有观测器的状态反馈系统,诺织胚骂烁懒吐磊给涂器你唾汗攫忱山铸浩袄权间播闰悟达扑冠毯励砍骂线性系统理论LQR线性系统理论LQR,