资源描述
单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,7-1 离散系统的根本概念,7-2 信号的采样与保持,7-3 Z变换理论,7-4 离散系统的数学模型,7-5 离散系统的稳定性与稳态误差,第七章,线性离散系统的分析与 校正,本章主要内容,本章首先给出信号采样和保持的数学描述，然后介绍z变换理论和脉冲传递函数，最后研究线性离散系统稳定性和稳态误差的分析。,本章重点,学习本章，需要掌握离散系统的相关根本概念，特别是采样过程和采样定理、z变换和z反变换及其性质、脉冲传递函数等概念。要求掌握离散系统稳定性分析和稳态性能计算。,7-1 离散系统的根本概念,前面我们介绍的系统中，所有的物理变量都是时间t 的连续函数，这种在时间上和幅值上都连续的信号通常称为模拟信号或连续信号，由此构成的系统称为模拟控制系统或连续控制系统。,如果在控制系统中有一处或几处信号不是时间t 的连续函数，而是以离散的脉冲序列或数字脉冲序列形式出现，这样的系统那么称为离散控制系统。,系统中的离散信号是脉冲序列形式的离散系统称为采样控制系统或脉冲控制系统。,系统中的离散信号是数字序列形式的离散系统称为数字控制系统或计算机控制系统。,一、采样控制系统,例 一炉温采样控制系统,当炉温连续变化时，电位器的输出是一串宽度为,的脉冲电压信号。,典型采样系统结构图如以下图所示。,二、数字控制系统,数字控制系统如图示。,三、离散控制系统的研究方法,离散系统中，系统的一处或多处信号是脉冲序列或数码，控制的过程是不连续的，不能沿用连续系统的研究方法。,研究离散系统的工具是,z,变换，通过,z,变换，可以把我们熟悉的传递函数、频率特性、根轨迹法等概念应用于离散系统。,7-2 信号的采样与保持,采样器与保持器是离散系统的两个根本环节，为了定量研究离散系统，必须用数学方法对信号的采样过程和保持过程加以描述。,一、采样过程,按照一定的时间间隔对连续信号进行采样，将其变换为在时间上离散的脉冲序列的过程称为采样过程。用来实现采样过程的装置称为采样器采样开关。,1采样信号的数学表示,采样过程可以看成一个幅值调制过程，采样器相当于一个载波为 的幅值调制器。,是调制器的载波为一以,T,为周期的单位理想脉冲序列。采样器的输出信号 为输入信号 强制在载波 上的结果。,用数学形式描述强制过程为：,单位理想脉冲序列表示为：,综上所述，采样过程相当于一个脉冲调制过程，输出信号 可表示为两个函数的乘积。,其中载波 信号决定采样时间，即输出函数存在的时刻，而采样信号的幅值那么由输入信号 决定。,2采样信号的拉氏变换,对采样信号 进行拉氏变换，可得,根据拉氏变换的位移定理，采样信号的拉氏变换为,2采样信号的拉氏变换,对采样信号 进行拉氏变换，可得,根据拉氏变换的位移定理，采样信号的拉氏变换为,二、采样定理,连续信号 在其有定义的时域内任何时刻都是有确切值的。而 经过采样后，只能给出采样时刻的数值 。从时域上看，在采样间隔内连 续信号的信息丧失了。,下面从信号采样前后的信号频谱变化来分析。,设连续信号 的频谱 为有限带宽，其最大角频率为 。,下面分析一下采样后 的频谱。,理想单位脉冲序列 是一个以,T,为周期的周期函数，可以展开成傅氏级数形式：,为采样角频率,为傅氏系数,采样信号,采样信号,对等式两边取拉氏变换，由拉氏变换的复数位移定理得到：,令 ，得到采样信号的傅氏变换：,研究采样信号的频谱，目的是找出,e,*(,t,)和,e,(,t,),之间的相互联系，上式就反映了采样后离散信号的频谱与连续信号的频谱之间的关系。,连续信号的频谱，为一个单一的连续频谱，其最大角频率为 。信号采样后的频谱，为一以采样角频率 为周期的无限多个频谱之和。,当n=0时，,叫做采样信号的主频谱(采样频谱的主分量) ，它与连续信号的频谱形状一致，只是幅值上变换了1/T倍。,除了主频谱之外，采样信号的频谱中还包含|n|0的无穷多个附加的高频频谱采样频谱的补分量。,为了复现采样前的原有信号，那么要求采样后的频谱彼此不重合。出现重叠，致使采样后的信号发生畸变，因而不可能复现出采样前的原有信号。,采样角频率高,采样角频率低,由以上分析可知，要想使采样信号能够复现出原连续信号，那么要求离散频谱彼此互不重叠，即要求采样角频率必须满足：,这就是香农采样定理，它是分析和设计采样控制系统的理论依据。,三、信号保持,实现采样控制的另一个重要的问题是如何将采样信号准确地恢复为连续信号。,理想滤波器,理想滤波器在实际中是难以实现的，因此必须寻找在特性上比较接近理想滤波器而且又能够实现的滤波器，保持器就是这种实际的滤波器。,保持器是一种采用时域外推原理的装置，通常采用恒值外推规律的保持器称为零阶保持器，把采用线性外推规律的保持器称为一阶保持器。在工程实践中，普遍采用零阶保持器。,零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器，它将前一采样时刻nT的采样值e(nT)不增不减地一直保持到下一采样时刻(n+1)T。,零阶保持器使采样信号变成阶梯信号，如果把阶梯信号的中点连接起来，那么可以得到与连续信号形状一致但在时间上落后T/2的响应e(t-T/2)，这反映出零阶保持器的相角滞后特性。,推导零阶保持器的传递函数和频率特性,单位脉冲响应函数可分解为两 个单位阶跃函数的和,对脉冲响应函数取拉氏变换，可得零阶保持器的传递函数,令 ，得零阶保持器的频率特性,假设以采样角频率 来表示，那么上式可表示为,零阶保持器具有如下特性：,1)低通特性：由于幅频特性的幅 值随频率值的增大而迅速衰减， 说明零阶保持器根本上是一个低 通滤波器， 但与理想滤波器特性相比，零阶保持器除允许主要频谱分量通过外，还允许局部高频频谱分量通过，从而造成数字控制系统的输出频谱在高频段存在纹波。,2)相角滞后特性：由相频特性可见，零阶保持器要产生相角滞后，且随 的增大而加大，在 处，相角滞后可达-180，从而使系统的稳定性变差。,7-3,z,变换理论,z,变换是从拉氏变换引伸出来的一种变换方法，是研究线性离散系统的重要数学工具。,一、,z,变换定义,采样信号,e,*(,t,),的拉氏变换,因为 为,s,的超越函数不便于计算，因此引入一个复变量,代入上式，采样信号 的,z,变换为,1 E(z)和 E*(s)之间的关系,上式说明 z 变换E(z)是拉氏变换E*(s) 的另一种表达形式。,2 代表时序变量,因此,这说明 代表一个时序变量。,3对应关系,E(z)是e*(t)的z 变换，不是e(t)的z 变换，但是在采样点上e*(t)和e(t)的值是相等的。,e(t)和E(s)是一一对应， e*(t)和E*(s)是一一对应，,但是E*(s)和e(t)并非是一一对应的，可能有无穷多个 e(t) ，只是在采样点上和e*(t)相等，在采样点之间是不相等的。,二、z 变换方法,由前面介绍可知，求取采样信号的z 变换可以由：,但是这种方法太繁。,常用的 z 变换方法有级数求和法和局部分式法。,1级数求和法,级数求和法是直接根据,z,变换定义，将,E,(,z,),写成展开形式：,只要知道连续函数,e,(,t,),在各个采样时刻的数值,e,(,nT,),，即可按上式求得,E,(,z,),。,这种级数展开式是开放形式有无穷多项，但是常用函数的,z,变换式通常可以写出其闭合形式。,例 求1(t)的 z 变换,解 因为1(t)在各个采样时刻的数值均为1，因此,，那么无穷级数是收敛的，利用等比级数求和公式，可得闭合形式为,例 求 的 z 变换,解,上式两边同乘以 ，得到,1减去2得,如：a=1，T=0.5，那么,2局部分式法查表法,连续信号e(t)的拉氏变换E(s)，可将E(s)展开成局部分式之和形式。即,且每一个局部分式 都是z 变换表中所对应的标准函数，其z 变换可查表得出：,例 一连续函数的拉氏变换为 ，试求相应的z 变换E(z) 。,解 将E(s)展成局部分式：,逐项查z 变换表，可得,三、z 变换性质,应用z 变换的根本定理，可以使z 变换的应用变得简单方便。 z 变换性质在许多方面与拉氏变换的根本性质有许多相似之处。常用的z 变换有：,1线性定理,假设 a，b 为常数，那么,2实数位移定理,实数位移是指整个采样序列 在时间轴上左右平移假设干采样周期，其中向左平移 为超前，向右平移 为滞后。实数位移定理表示如下：,如果函数e(t)是可z变换的，其z变换为E(z)，那么有,滞后定理,超前定理,3复数位移定理,如果函数e(t)是可z变换的，其z变换为E(z)，那么有,4终值定理,如果信号e(t)的z变换为E(z)，信号序列e(nT)为有限值(no，1，2，)，且极限 存在，那么信号序列的终值,5卷积定理,设x(nT)和 y(nT) (no，1，2，) 为两个采样信号序列，其离散卷积定义为,那么卷积定理可描述为：,在时域中，假设,那么在z域中必有,应当注意:,z变换只反映信号在采样点上的信息，而不能描述采样点之间信号的状态。,四、z 反变换,z 变换表达式E(z) ，求相应离散序列e(nT)的过程, 称为z 反变换，记作：,1局部分式法查表法,局部分式法又称查表法，根据的E(z) ，通过查z 变换表找出相应的e*(t) ，或者e(nT) 。,考虑到z 变换表中，所有z 变换函数E(z)在其分子上都有因子z ，所以，通常先将E(z)/ z展成局部分式之和，然后将分母中的z 乘到各分式中，再逐项查表反变换。,例 设 ，试用局部分式法求其z 反变换。,解 首先将 展开成局部分式，即：,把局部分式中的每一项乘上因子z 后，得：,查z变换表得：,最后可得：,2幂级数法综合除法,假设E(z)是一个有理分式，那么可以直接通过长除法，得到一个无穷项幂级数的展开式，并且按 降幂形式排列，根据 的系数便可以得出e(nT)的值。即：,分子除以分母，将商按 降幂形式排列,对应的采样信号：,其结果经常为开放形式。,例,设 ，试用幂级数法求其,z,反变换。,解,应用长除法，用分母去除分子，即,所以,7-4,离散系统的数学模型,为研究离散系统的性能，需要建立离散系统的数学模型。线性离散系统的数学模型有差分方程、脉冲传递函数和离散状态空间表达式三种。本节重点介绍脉冲传递函数的定义，以及求取开环脉冲传递函数和闭环脉冲传递函数的方法。,一、脉冲传递函数,1脉冲传递函数定义,设离散系统如下图。,线性定常离散系统的脉冲传递函数定义为：在零初始条件下，系统输出采样信号的z变换C(z)与输入采样信号的z 变换R(z)之比。记作,上式说明，如果R(z)和G(z) ，那么在零初始条件下，线性定常离散系统的输出采样信号为：,在实际中许多系统的输出是连续信号c(t) ，如下图。,在这种情况下，为了应用脉冲传递函数的概念，可以在系统输出端虚设一个开关，如图中虚线所示。,它与输入采样开关同步工作，具有相同的采样周期。必须指出，虚设的采样开关是不存在的，它只说明了脉冲传递函数所能描述的只是输出连续函数c(t)在采样时刻的离散值c*(t) 。,2由传递函数求脉冲传递函数,传递函数 的拉式反变换是脉冲响应函数 ，将 离散化得到脉冲响应序列 ，将 进行z变换可得到 ，这一变换过程可表示如下：,上述变换过程说明，只要将G(s)表示成 z 变换表中的标准形式，直接查表可得G(z) 。,由于利用 z 变换表可以直接从G(s)得到G(z) ，而不必逐步推导，所以常把上述过程表示为,G(z)=ZG(s) 并称之为G(s)的z 变换,这一表示应理解为根据上述过程求出G(s)所对应的G(z) ，而不能理解为G(z)是对G(s)直接进行z 变换的结果。,二、开环系统脉冲传递函数,1串联环节之间有采样开关时,由脉冲传递函数定义,其中， 和 分别为 和 的脉冲传递函数。,于是有,开环系统脉冲传递函数,上式说明，由理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节各自的脉冲传递函数的乘积。,2串联环节之间无采样开关时,系统的传递函数为：,将它当作一个整体一起进行变换，由脉冲传递函数定义,上式说明，没有理想采样开关隔开的两个线性连续环节串联时的脉冲传递函数，等于这两个环节传递函数乘积后的相应z变换。这一结论也可以推广到类似的n个环节相串联时的情形。,3有零阶保持器的开环脉冲传递函数,于是有零阶保持器时，开环系统脉冲传递函数,等效开环系统,根据,z,变换的实数位移定理，上式的第二项可写为：,三、闭环系统脉冲传递函数,由于采样器在闭环系统中可以有多种配置，因此闭环离散系统结构图形式并不唯一。,下面介绍一种比较常见的误差采样闭环离散系统。图中虚线所示的理想采样开关是为了便于分析而设的，所有理想采样开关都同步工作，采样周期为T。,闭环离散系统脉冲传递函数,闭环离散系统的误差脉冲传递函数,闭环离散系统的特征方程,式中， 为开环离散系统脉冲传递函数。,需要指出，闭环离散系统脉冲传递函数不能直接从 和 求,z,变换得来，即,这是由于采样器在闭环系统中有多种配置的缘故。,用与上面类似的方法，还可以推导出采样器为不同配置形式的闭环系统的脉冲传递函数。但是，只要误差信号,e,(,t,),处没有采样开关，输入采样信号,r*,(,t,),便不存在，此时不可能求出闭环离散系统的脉冲传递函数，而只能求出输出采样信号的,z,变换函数,C,(,z,),。,例 设闭环离散系统结构图如下图，试证其闭环脉冲传递函数为,证明 由图得,求解上面联立方程，消去中间变量 、 后即可得证。,例 设闭环离散系统结构图如下图，试证其输出采样信号的z变换为,证明,证毕,与线性连续系统分析中的情况一样，稳定性和稳态误差是线性定常离散系统分析的重要内容。本节主要讨论如何在 z 域和 w 域中分析离散系统的稳定性，同时给出计算离散系统稳态误差的方法。,一、离散系统的稳定性分析,为了将线性连续系统在s平面上分析稳定性的结果移植到z平面上分析离散系统的稳定性，首先需要研究s平面与z平面的映射关系。,1s域到z域的映射,在z变换定义中， T为采样周期给出了s 域到z域的映射关系。,7-5 离散系统的稳定性与稳态误差,s 域中的任意点可表示为,映射到z 域那么为,z 的模和幅角分别为,s 平面上的虚轴,在z 平面上为,上式说明， s 平面上的虚轴映射到z 平面上为圆心在原点的单位圆，当从-变化至+时， z 平面上的轨迹已经沿着单位圆转过了无限多圈。,由s 域到z 域的映射关系可知：, s左半平面映射为z平面单位圆内的区域 ，,。, s右半平面映射为z平面单位圆外的区域 ，,。, s平面上的虚轴，映射为z平面的单位圆周。,2离散系统稳定的充分必要条件,由s 域到z 域的映射关系及连续系统的稳定判据可以得出离散系统稳定的充分必要条件是：当且仅当离散系统特征方程的全部特征根均分布在 z 平面上的单位圆内，或者系统所有特征根的模均小于1。,例 设离散系统如下图，其中,试分析系统的稳定性。,解 由 可求出开环脉冲传递函数,系统闭环特征方程,解出特征方程的根,该离散系统稳定,3劳斯稳定判据,连续系统中的劳斯稳定判据，实质上是用来判断系统特征方程的根是否都在左半,s,平面。,在离散系统中需要判断系统特征方程的根是否都在,z,平面的单位圆内。,引入,z,域到,w,域的线性变换，使,z,平面单位圆内的区域，映射成,w,平面上的左半平面，这种新的坐标变换，称为双线性变换，或也称为,w,变换。,复变量,z,与,w,互为线性变换，故,w,变换又称双线性变换。,令复变量,显然,由于上式的分母 始终为正，因此可得, 等价为 ，说明w平面的虚轴对应于z平面的单位圆周；, 等价为 ，说明w左半平面对应于z平面单位圆内的区域；, 等价为 ，说明w右半平面对应于z平面单位圆外的区域。,例 设离散系统如下图。其中采样周期T=0.1s，试求系统稳定时K的临界值。,解 求出G(s)的z变换,闭环特征方程为,令,得,化简后，得,w,域特征方程,列出劳斯表,从劳斯表第一列系数可以看出，为保证系统稳定，必须有 。,故系统稳定的临界增益,二、离散系统的稳态误差,连续系统中计算稳态误差的一般方法和静态误差系数法，在一定的条件下可以推广到离散系统中。与连续系统不同的是，离散系统的稳态误差只对采样点而言。,1一般方法利用终值定理,设单位反响的误差采样系统如下图。,系统误差脉冲传递函数为,如果的 极点全部位于z 平面上的单位圆内，即离散系统是稳定的，那么可用z 变换的终值定理求出采样瞬时的稳态误差,上式说明，线性定常离散系统的稳态误差与系统本身的结构和参数有关，与输入序列的形式及幅值有关，而且与采样周期的选取也有关。,2静态误差系数法,由z变换算子 关系式可知：如果开环传递函数G(s)有v 个s=0的极点，即v 个积分环节，与G(s)相应的G(z)必有v 个z=1的极点。,在连续系统中，我们把开环传递函数G(s)具有s=0的极点数作为划分系统型别的标准，在离散系统中，对应把开环脉冲传递函数G(z)具有z=1的极点数，作为划别离散系统型别的标准。,类似把G(z)中v=0,1,2的系统，称为0型、I型和II型离散系统等。,第七章小结,(1)离散控制系统包括采样控制系统和数字控制系统。,(2)本章介绍了采样过程和采样定理。,(3)z变换法是离散控制系统理论的数学根底。,(4) 脉冲传递函数是线性离散控制系统的常用数学模型。利用系统连续局部的传递函数，可以很方便地得出系统的脉冲传递函数。但是要注意到，在某些采样开关的配置下，可能求不出系统的脉冲传递函数。,(5) 线性离散控制系统分析的任务是利用系统的脉冲传递函数研究系统的稳定性，在给定输入作用下的稳态误差以及动态性能，所应用的概念和根本方法与线性连续系统所应用的方法原理上是相通的。,
展开阅读全文