教育专题：因式分解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,15.4,因式分解,复习与回顾,:,整式的乘法,计算下列各式,:,x,(,x,+1)=,；,(,x,+1)(,x,1)= .,x,2,+,x,x,2,1,15.4.1,提公因式法,在小学我们知道，要解决这个问题，需要把,630,分解成质数乘积的形式,.,类似地，在式的变形中，有时需要将,一个多项式写成几个整式的乘积的形式,.,讨论,630,能被哪些数整除,?,观察、探究与归纳,请把下列多项式写成整式乘积的形式,.,把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做把这个多项式,因式分解,（或,分解因式,）,.,想一想：因式分解与整式乘法有何关系,?,因式分解与整式乘法是互逆过程,.,(,x,+,y,)(,x,y,),x,2,y,2,因式分解,整式乘法,类比与比较,练习一,理解概念,判断下列各式哪些是整式乘法,?,哪些是因式分解,?,(1),x,2,4,y,2,=(,x,+2,y,)(,x,2,y,),；,(2) 2,x,(,x,3,y,)=2,x,2,6,xy,(3) (5,a,1),2,=25,a,2,10,a,+1,；,(4),x,2,+4,x,+4=(,x,+2),2,；,(5) (,a,3)(,a,+3)=,a,2,9,(6),m,2,4=(,m,+2)(,m,2),；,(7) 2,R,+ 2,r,= 2,(R+r,).,因式分解,整式乘法,整式乘法,因式分解,整式乘法,因式分解,因式分解,公因式,：多项式中各项,都有的,因式，叫做这个多项式的公因式；,把多项式,ma+mb+mc,分解成,m,(,a+b+c,),的形式，其中,m,是各项的公因式，另一个因式,(,a+b+c,),是,ma+mb+mc,除以,m,的商，像这种分解因式的方法，叫做,提公因式法,.,探究,怎样分解因式,: .,注意,：各项,系数,都是整数时，因式的系数应取各项系数的,最大公约数,；,字母,取各项的,相同,的字母，而且各字母的,指数,取,次数最低,的,.,说出下列多项式各项的公因式：,(1),ma +,mb,；,(2)4,kx,8,ky,；,(3)5,y,3,+,20,y,2,；,(4),a,2,b,2,ab,2,+ab,.,m,4,k,5,y,2,ab,分析：应先找出 与 的公因式，再提公因式进行分解,.,例,1,分析,：,(,b+c,),是这两个式子的公因式,可以直接提出,.,例,2,分解因式,.,随堂测验,因式分解：,24,x,3,y,18,x,2,y,；,7,ma,+14,ma,2,；,(3),16,x,4,+32,x,3,56,x,2,；,(4),7,ab,14,abx,+49,aby,；,(5)2,a,(,y,z,),3,b,(,y,z,),；,(6),p,(,a,2,+b,2,),q,(,a,2,+b,2,).,拓展与提高,1.2004,2,+2004,能被,2005,整除吗,?,思考,你,能将,多项式,x,2,16,与多项式,m,2,4,n,2,分解因式吗,?,这两个多项式有什么共同的特点吗,?,(,a,+,b,)(,a,b,) =,a,2,b,2,a,2,b,2,=(,a,+,b,)(,a,b,),两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积,.,15.4.2,公式法,(1),例,3,分解因式,:,(1) 4,x,2, 9 ; (2) (,x,+,p,),2, (,x,+,q,),2,.,分析：,在,(1),中，,4,x,2,= (2,x,),2,，,9=3,2,，,4,x,2,9 = (2,x,),2,3,2,，即可用平方差公式分解因式,.,在,(2),中，把,(,x,+,p,),和,(,x,+,q,),各看成一个整体，设,x+p,=,m,，,x+q,=,n,，则原式化为,m,2,n,2,.,4,x,2, 9,= (2,x),2, 3,2,= (2,x,+3)(2,x,3).,(,x,+,p,),2, (,x,+,q,),2,= (,x,+,p,) +(,x,+,q,) (,x,+,p,) (,x,+,q,),=(2,x,+,p,+,q,)(,p,q,).,例,4,分解因式,:,(1),x,4,y,4,; (2),a,3,b,ab,.,分析,:,(1),x,4,y,4,写成,(,x,2,),2,(,y,2,),2,的形式，这样就可以利用平方差公式进行因式分解了,.,(2),a,3,b,ab,有公因式,ab,，应先提出公因式,再进一步分解,.,解,:,(1),x,4,y,4,= (,x,2,+,y,2,)(,x,2,y,2,),= (,x,2,+,y,2,)(,x,+,y,)(,x,y,).,(2),a,3,b,ab,=,ab,(,a,2,1),=,ab,(,a,+1)(,a,1).,分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止,.,练习,1.,下列多项式能否用平方差公式来分解因式,?,为什么,?,(1),x,2,+,y,2,; (2),x,2,y,2,;,(3),x,2,+,y,2,; (4),x,2,y,2,.,2.,分解因式,:,(1),a,2,b,2,; (2)9,a,2,4,b,2,;,(3),x,2,y,4,y,; (4),a,4,+16.,思维延伸,1.,观察下列各式,:,3,2,1,2,=8=8,1;,5,2,3,2,=16=82;,7,2,5,2,=24=83;,把你发现的规律用含,n,的等式表示出来,.,2.,对于任意的自然数,n,，,(,n,+7),2,(,n,5),2,能被,24,整除吗,?,为什么,?,思考：,你能将多项式,a,2,+2,ab,+,b,2,与,a,2,2,ab,+,b,2,分解因式吗？这两个多项式有什么特点？,(,a,+,b,),2,=,a,2,+2,ab,+,b,2,(,a,b,),2,=,a,2,2,ab,+,b,2,.,两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的倍，等于这两个数的和（或差）的平方,.,a,2,+2,ab,+,b,2,=(,a,+,b,),2,a,2,2,ab,+,b,2,=(,a,b,),2,15.4.2,公式法,(,2,),例,5,分解因式：,(1) 16,x,2,+24,x,+9,；,(2) ,x,2,+4,xy,4,y,2,.,分析：在,(1),中，,16,x,2,=(4,x,),2,，,9=3,2,，,24,x,=,24,x,3,，,所以,16,x,2,+24,x,+9,是一个完全平方式，即,16,x,2,+24,x,+9=(4,x,),2,+2,4,x,3+3,2,a,2,2,a,b,b,2,+,解：,(1)16,x,2,+24,x,+9 = (4,x,),2,+2,4,x,3+3,2,=(4,x,+3),2,.,+,解：,(2),x,2,+4,xy,4,y,2,=,(,x,2,4,xy,+4,y,2,),=,x,2,2,x,2,y,+(2,y,),2,=,(,x,2,y,),2,.,例,5,分解因式：,(1),16,x,2,+24,x,+9,；,(2),x,2,+4,xy,4,y,2,.,例,6,分解因式,:,(1) 3,ax,2,+6,axy,+3,ay,2,;,(2) (,a,+,b,),2,12(,a,+,b,)+36.,分析,：在（,1,）中有公因式,3,a,，,应先提出公因式，再进一步分解,.,解：,(,1)3,ax,2,+6,axy,+3,ay,2,=3,a,(,x,2,+2,xy,+,y,2,),=3,a,(,x,+,y,),2,.,(2)(,a,+,b,),2,12(,a,+,b,)+36,=(,a+b,),2,2,(,a,+,b,)6+6,2,=(,a,+,b,6),2,.,将,a+b,看作一个整体，设,a+b=m,则原式化为完全平方式,m,2,12,m+,36.,练习,1.,下列多项式是不是完全平方式？为什么？,(1),a,2,4,a,+4; (2)1+4,a,2,;,(3) 4,b,2,+4,b,1 ; (4),a,2,+,ab,+,b,2,.,2.,分解因式：,(1),x,2,+12,x,+36; (2),2,xy,x,2,y,2,;,(3),a,2,+2,a,+1; (4) 4,x,2,4,x,+1;,(5),ax,2,+2,a,2,x,+,a,3,; (6),3,x,2,+6,xy,3,y,2,.,应用提高、拓展创新,1.,把下列多项式分解因式，从中你能发现因式分解的一般步骤吗？,（,1,）,；,（,2,）,；,（,3,）,；,（,4,）,（,5,）,.,归纳：,（,1,） 先提公因式（有的话）；,（,2,） 利用公式（可以的话）；,（,3,） 分解因式时要分解到不能分解为止,.,2.,证明：连续两个奇数的平方差可以被,8,整除,.,今天你有什么收获,?,你还有什么疑问吗,?,小结,作业：习题,15.4,，,2,、,3,、,5.,