历届概率统计期末试题

概率统计期末复习题数学学院).1632004( comyangrk杨荣奎 四川大学2008-2009第二期(08级）概率统计期末考试题及答案一.单项选择题（每空2分，共10分）95.0)D(65.0)C(5.0)B(8.0)A( ._)BA(P ,5.0)B(P,3.0)A(PBA.1 则独立，且与设事件 5)D(3)C(3)B(5)A( ._)X(E,e61)x(f X.2 6 25x10 x2 则的概率密度为设随机变量 )3 5y(F)D()3 5y3(F)C( )5y3(F)B()3 5y(F31)A( _ Y,5X3Y),x(FX.3 分布函数为的则令有分布函数设._X ,Xn1X,1X,X.4 P2 n1i 2i2n1 则的指数分布均服从参数为量序列，是独立同分布的随机变设 4)D(3)C(2)B(1)A( 无法判断最有效。的无偏估计中，这三个对的样本，记是来自正态分布设总体)D(Z)C(Z)B(Z)A( _,X52X53Z X31X31X31ZX41X41X21Z X X,X,X),)(,(NX.5 312 213 32123211 3212 A.5B.4D.3D.2C.1答： 二.填空题(每空2分，共10分) ._3) (23.1得一个白球的概率是个球，则至多取，从中任取大小都相同球的形状、个白球个红球，设袋子中有._)10|30X(|P ),)(3.0,100(BX.2 雪夫不等式，应有由切比二项分布设随机变量 分布。则的二维正态分布，记设_Z,Y3X2Z )43;4,9;1,1(N)Y,X(.3 ._,1 )2X)(1X(E)(PX.4 则，已知泊松分布设._W,)XXX(31W ,XX,X,X),1,0(NX.5 2321 321分布则记的样本是来自设总体 )1(.51.4)126,1(N.379.0.29.0.1 2答：三.简答题和证明题 件产品混入乙意取出件次品，今从甲箱中任件正品，件次品，乙箱中有件正品，箱中有品，其中甲有甲、乙两箱同类型产分（11 9111)10.1 概率。中取得的产品是次品的品是次品，求从甲箱已知从乙箱中取得的产）是次品的概率。（乙箱中任取的这件产品求从件产品。任取箱中，然后再从乙箱中2)1(1由全概率公式有：分（是次品”，则：件产品表“从乙箱取出的产品为次品”，箱的那件表“从甲箱取出放入乙设解：)2111)|(,112)|(,121)( 1B).1( ABPABPAP A )4(.132131111211112121 )A|B(P).A(P)A|B(P).A(P)B(P分 )4 13213213112121)B(P )A|B(P).A(P)B|A(P)2(分（ ).y(fY ,eY)(2,1(UX)9(2 Y X2的密度函数求，记均匀分布设分的分布函数时则当分的值域为分其它的密度函数为解：Y,eye ),1(),e,e()Y(ReY )1(,0 ,2x1,1)x(f:X 42 42X2 X )4(,1yln21dx1 )yln21X(P)ye(P)y(F yln211 X2Y分 )1,0 ,eye,y21)y(f :Y, )2(,eye,y21)y(F)y(f :Y 42Y 421YY分（其它的密度函数为综上所述分的密度函数为 ? %,952 X22 X16 X)1).(25,(NX),10(3多少则样本容量至少应该取的概率不小于之差的绝对值小于与）欲使样本均值的概率；（绝对值小于之差的与的样本，求样本均值容量为中抽取从总体设分 附正态分布表：x )x( 32.06255.0 18413.0 6.19452.0 64.1950.0 96.1 975.0 29773.0 ),2(),1,0(N4/5X :),1625,(NX:)1(分即由题意知解： )3(,8904.019452.02 1)6.1(2)6.14/5X(P)2|X(|P分 )1(),1,0(Nn/5X),25,(NX2分所以）因（ )1.(25n,01.24n )1(,96.15n2,975.0)5n2( )2(,95.01)5n2(2 )5n2n/5X(P)2X(P分至少取故分即：分于是 ?YX)4();y|x(f)3( );y(f),x(f)2(A)1( 2x,2xyxG ,G)y,x(,0 ,G)y,x(,Ax)y,x(f )Y,X()164 Y|X YX是否独立与判定求条件密度求边缘密度的值；求围城。轴，直线由其中函数有联合密度设二维随机变量分（ o 2 2xy y1 G)1(,43A),3(,A34 Axdxdydxdy)y,x(f1)1( 20 2/x0分故分由解： 分故分由解： 其它知由,0 ,2xy0,2x0,x43)y,x(f)1()2( )2(,0 ,2x0,x83)x(f ,x83xdy43)x(f,2x0 2X 22/x0X分其它所以：时当 )2(,0 ,1y0),y1(23)y(f ),y1(23xdx43)y(f,1y0 2 Y 22y2Y分其它因此：时类似，当 )3(0 ,2xy2,)y1(2 x ,0 ,2xy2,)y1(23 x43)y(f )y,x(f)y|x(f ),1( ,0)y1(23)y(f1y0)2( 2 2YY|X 2Y 分，其它其它故分 时，知，当由 )4.(YX ),y(f).x(f)y,x(f)2(G)y,x().4( YX分不独立与故知，时，由当题）分布表见第次的概率（正态至多定理计算正面出现次数次，用中心极限掷这枚硬币独立地重复抛）将次正面出现的概率；（次，求至少有抛掷将这枚硬币独立重复的。的概率为币正面出现设一枚质地不均匀的硬分3 6401800 2210 )1(31).12.(5 )4(,896.0 )311()31(C)311.()31.(C1 )1X(P)0X(P1)2X(P ),2(),31,10(BX 10X)1( 1311303003分于是：分则数，次抛掷中正面出现的次表示用解： 由中心极限定理，分则次出现正面的次数，表示抛掷由),2(),31,1800(BY 1800Y)2( )4( 9773.0)2()20600640()640Y(P ),400,600(N )32311800,311800(NY分故近似的有 分布表：附）？显著差异的脉搏有无分，问中毒者与正常人次脉搏为）设正常人的；（位置信限精确到小数点后的置信区间求慢性中毒者平均脉搏布。设人的脉搏服从正态分准差标，得到样本均值分单位：次例慢性中毒者的脉搏，某医生测试了分t 05.0( /72 2)2( %95)1( ,8224.3s ,8889.68x)/( 9)12(6 np 95.0 975.089 8595.1 3060.28331.1 2622.2 代入，得：将观测值查表得分的置信区间为均未知设人的脉搏,306.2)8(t)1n(t )3(),ns)1n(tx( ,ns)1n(tx( ),(),(NX 975.02121 21 22 ,95.65 98224.33060.2889.68ns)1n(tx 21 ,83.71 98224.33060.2889.68ns)1n(tx 21 )3(),83.71,95.65分故所求置信区间为：（72H;72:H2 100 ：）待检假设（)1n(t,05.0),3, n/SXt ),1n(t|t|W 2/10 2/1 分（其中拒绝域： 将观测值代入得：,306.2)8(t 975.0 )1(,H05.0),2( ,306.2442.29/8224.3 728899.68n/sx|t| 00分差异。与正常人的脉搏有显著认为中毒者下拒绝故在分 .3 ; 2;)1(X x,x,x,0 ,x,0 ,x,e),x(f X)11.(7 L L n21)x(的有偏估计是）证明：（极大似然估计的）用讨论法求（的矩估计量求的样本观测值。为来自为未知参数其中有密度函数设总体分 )1.1X),1,1m 2(,1)2( dse)s(dxxe)X(Em)1( 0 s)x(分（的矩估计量：故分（解得：分）解： )2(),n,2,1ix( ,e.ee),x(f)(L)2( i xnn1i )x(n1i i n1i ii分， 达到最时，当且单调递增，关于易知似然方程无解，而)(Lxmin,xmin )(L ini1ini1 )2,Xmin ini1分（的极大释然估计量为：大值，于是 的分布函数为：即的分布函数时，当X,e1 dse)x(FXX)3( )x( )s( x,0 ,x,e1)x(F11)x(F Xmin,x,0 ,x,e1)x(F )x(nn ini1)x(L的分布函数为：于是 的有偏估计。是故的密度函数 L )x(nL )x(nL ,n1dxne.x)(E ,0 x,0 x,ne)x(f: L 考试题第一学期概率统计期末四川大学20082007 )1052(.分单项选择题一 ._4,3,2,1,0.1概率是则正好排成三位偶数的排成一排，共五个数中任取三个数从21.A 32.B 43.C 54.D ._)BA|C(P ,BA,0)ABC(P,4.0)B|C(P ,2.0)AC(P,5.0)B(P,6.0)A(P.2 则独立与且已知31.A 41.B 21.C 51.D ._ ,XX,X,X),(PX.3 n21则以下判断错误的是的样本是来自设总体的无偏估计是X.A的无偏估计是)X(DX.B的矩估计是2B.C的无偏估计是22)X.(D ._C 2(CY)XX()XX(Y ,XX,X,X,X),1,0(NX.4 2243221 4321则），若要又设的样本是来自设总体31.A 21.B 51.C 41.D 有样本值设二维总体)Y,X(.5 5yx 1 3 4 62 7 8._,xxy y 则的回归方程与 1316.A 1310.B 1613.C 78.D A.5;B.4;D.3;C.2;A.1:答案)1052(.分填空题二 ._.1率是球，则此球为红球的概袋，再从乙袋中任取一甲袋中任取一球放入乙装有二红一白球，今从有一红二白球，乙袋有甲、乙两袋，甲袋装 ._)X(E),(eX.2 2 则设随机变量 ._)70X50(P )6.0,100(BX.3 式，概率，由切比雪夫不等设随机变量._Z ,YX2Z),21;9,4;2,1(N)Y,X(.4则令若._ %95,2.4x, XX,X,X),16.0,(NX.5 1621区间为的置信的置信度为则已知的样本是来自设总体 )396.4,004.4.(5);13,4(N.4;76.0.3;2.2;127.1 2答案： 解答题三.有分布函数设连续型随机变量分X)12.(1 3x,1 3x0,xarctanA 0 x,0)x(F ).y(fY ,XY)3();X(EX ),x(fX2A)1( Y 3X的密度函数求设的数学期望且以此求的密分度函数）求的值；（求 .3A,A33arctanA)03(F)3(F)1( 解： 其它,0 3x0,)x1( 3)x(F)x(f)2( 2XX 30 3022 2ln3|)x1ln(23dx)x1( x3)X(E)3( 其它，且的值域,0 3y0,)y1( y9)y).(y(f)y(f yx3,0y,xy)4( 66233XY 363 有联合密度二维随机变量如图围成以及直线由直线设区域分)Y,X(., 0y,1xxyG)16(2 ，其它0 G)y,x(,x3)y,x(f xy GO)Y(D),X(D2)Y(E),X(E)1(）求；（求?YX)4),Y,X(Cov)3( XY是否独立与问；（求 x0 2X ,0 1x0,x3xdy3)x(f:其它解 其它,0 ,1y0),y1(23)y(f )y1(23|x23xdx3)y(f 2Y 1y 21y2Y 53dxx3)X(E,43dxx3.x)X(E)1( 10 4210 2 803)43(53)X(E)X(E)X(D 222 10 10 2222 51dy)y1(y23)Y(E,83dy)y1(y23)Y(E)2( 32019)83(51)Y(D 2 ,103dy)y1(y dxydyx3dxdy)y,x(xyf)XY(E)3( 10 3 10 x0 2G 16038343103)Y(E)X(E)XY(E)Y,X(Cov 3974.0320/1980/3 160/3XY 不独立。与，故YX)y(f)x(f)y,x(f)4( YX .kh53 60100 ,9)2( kh53,9)1( )kh:)(16,4(N)12(3之间的概率均寿命在台中的这种元件的平台该仪器中至少有限定理求以中心极一台某型仪器个该种元件为一组嵌入以之间的概率求平均寿命在个此种元件任取单位态分布设某型元件寿命服从正分 )34(,4(NX91X ,i)9,1i(X: 29 1i ii 个元件寿命表第设解附：正态分布表05.1x )x( 5.06915.0 75.07734.0 8531.0 07.18577.05468.017734.02 1)75.0(2)3/4 43()3/4 45()5X3(P )5468.0,100(BZkh53 9100Z)2(的台数，则元件寿命在台仪器中，嵌入的表这设服从近似的由中心极限定理，Z,78.24npq,58.54np )78.24,68.54(NZ 1423.08577.01)07.1(1 78.24 68.5460(1)60PZ1)60Z(P )YX2,Z2YX(COV ,ZY,21,21 )4,2(NZ,21Y),21(eX)10(4 XZXY 求协方差独立与且），（已知分2121221 )Y(D)X(D)Y,X(COV,0)Z,Y(COV ,4)Z(D,41)Y(D,4)X(D: XY 且解：由题知22221)Z,X(COV )Y,Z2(Cov)X2,Z2(Cov)Y,Y(Cov)X2,Y(Cov )Y,X(Cov)X2,X(Cov)YX2,Z2YX(Cov 41)2(4412142 )Z,X(Cov4)Y(D)Y,X(Cov)X(D2 )cm(8 ),(NX)12(5 2单位：个，测得内径如下批已加工的零件中任取从一其内径某车床加工某种零件，10.3, 10.4, 10.4 , 10.5, 10.3, 10.6, 10.2, 10.4 )05.0(cm5.10 ,)2( )( %95)1( 显著偏小比标准这批零件平均内径是否用假设检验判断取到小数点后一位的置信区间求这批零件平均内径的 分布表附t:未知解2975.021 ,3646.2)7(t)1n(t ,1246.0s,39.10 x,8n: pn78 95.0 975.08946.1 8595.1 3646.2 3060.2 )5.10,3.10(置信区间为3.1081246.03646.239.10 nS)1n(tx1 21 ）置信下限（5.1081246.03646.239.10 nS)1n(tx 21 置信上限 0100 H5.10H :)2( ：；：根据题意提出检验假设)7(t)1n(tn/SXTH 00 为真时当8496.1)7(t)1n(t,05.0 95.01 8496.1TWH0 的拒绝域：得8496.14970.28/1246.0 5.1039.10t 统计量观测值显著偏小。径比认为这批零件得平均内拒绝cm5.10,H 0 0 x,0 0 x,ex2),x(fX)12(6 2x32有密度设总体分 n1i 2i 2ix1n1i 3in2n n1i x3i2ex2 ex2)(L)1(:似然函数解.)2( ;)1( ,Xx,x,x, n21的无偏估计量是证明的极大似然估计量求的样本值是来自总体未知其中 n1i 2in1i i x1x3lnn22lnn)(LnL n1i 2i n1i 2i Xn21 :,xn21极大似然估计量为得极大似然估计值令,0 x 1n2d )(dLnL n1i 2i2 .)3(2)x(de)x(2 dxex2x21)X(E21)X(En21)(E)2( 0 2x22 0 x2322n1i 2i 2 2 密度函数的求题中，若令前面第分Z,YXZ2)6(7 应有，要被积函数解,0dx)xz,x(f)z(f: Z x2zx 1x0,xxz0 1x0即 2z 2/z2z 2/zZ z89|x23xdx3)z(f1z0 时，当).4z1(23|x23xdx3)z(f2z1 21 2/z21 2/zZ 时，当o 112 xz xz x2z 其它,0 ,2z1),4z1(23 ,1z0,z89)z(f 22Z 上学期概率期末考试题四川大学20072006一.单项选择题(3分/题) ._ ,1)A|B(P1)A(P0B,A.1成立则以下，且为两事件，设互斥与BA).A( AB).B( 0)AB(P).C( 0)B(P).D( 有联合分布律设)Y,X(.2 XY 1 201 0 0.40.4 0.2 _)Y,X(Cov 则 (A)0.16 (B). 0.22 (C).-0.22 (D).-0.16._)1,0(NYX.3成立分布，则以下都服从和设服从正态分布YX).A( 分布都服从222 Y,X).B( )2(YX).C( 222 分布服从FYX).D( 22 ._ ,)XX(n1S,)X(n1S XX,X,X),(NX.4 2 n1i 2i22n1i 2i21 n212的无偏估计量是则以下样本，记的是来自设总体 22S1nn)A( 21S1nn)B( 22Sn1n)C( 21Sn1n)D( ._ H1.0,3/S 3XT ,3:H;3:HX X,X,X),(NX.5 0 10 92122为的拒绝域时，当则统计量的样本，要检验是来自未知，设总体 )8(t|T|W)A( 95.0 )8(tTW)B( 90.0)8(tTW)C( 95.0 )8(tTW)D( 90.0答：1.C, 2.D, 3.B 4.A 5.D )102(.分分，共每空填空题二 ._2 34.1的概率是只，则此两球颜色不同中任取只，从只，白球袋中有大小相同的红球._)X3X2(E ,e22 1)x(fX.2 2 8 )1x( 2 则数学期望有密度若._)80X60(P ),7.0,100(BX.3 有由切比雪夫不等式，应若._)XY(E), 21,2,2,1,1(N)Y,X(.4 则若 )975.0)96.1(,95.0 )645.1(.(_%95 6.3 16 ):(4.5 的置信区间为信度为入的置万元，则该公司职工收得平均年收入为名职工，测司随机抽取的正态分布，今从该公万元单位标准差为某公司职工年收入服从)56.5,64.1)(5(;2)4(;79.0)3(;13)2(;74)1(答案：三.解答题 . 62DM ,100M)2();DM(P)1( .2.0,02.0,0D ).G)Y,X( G)Y,X(M),x(0y ,0 xxcosyG)10(1的概率次之间至内的次数是在用中心极限定理求次独立观察点作对求概率为一矩形区域设内服从二维均匀分布在即随机游动内均匀在随机点轴正向围成以及直线由曲线设区域分 附：正态分布表数据x 0.38 0.42 1.02 2.020.6480 0.6628 0.8461 0.9783)x( )1(,0 ,G)y,x(,1)y,x(f)Y,X( )2(1|xsinxdxcos)G(mG 2020分其它有联合密度分的面积解： )2(04.0)D(mdxdy1)DM(P)1( 04.02.02.0)D(mD D分的面积又 )2)(04.0,100(BYDM 100Y)2(分发生的次数，则件次独立观察事件中，事表示设 ),84.3,4(NY,84.3npq,4np近似服从故 1)02.1(2)84.3 42()84.3 46()6X2(P 分）3(6922.018461.02 有分布函数设连续型随机变量分X)10(2 xe211 ,Ax21,0)x(F 2x 0 x2 0 x )y(fY,eY)3();X(E)2(;A)1( YX2的密度求设求求 )2(41A),2(A21)2(F)02(F0)1(分得解： )2(,0 0 x,e21 0 x2,41)x(F)x(f).2( x分其它密度 )2( 35!22132dxex21dx4x)X(E 02 0 x222分 22 ey,e)Y(RY)3( 的值域显然， ,ylnx,ey x ylnY e.21y1 ,y41)2(|)y(ln|)y(lnf)y(f分 其它,0 1y,y21 1ye,y41 2 2 )2(分 )1 (6 15,10 ),51,10(Y),36,15(NX)8(3题表见注：正态分布的概率求两样本均值的差小于的样本，容量为从中分别随机抽取两个设两个总体分)15511036,1015()nn,(NYX 22212121 解：)6)(7,5(N分)2(6480.006480.0 )16.4()38(.)2)(7 56()756( )6YX6()6|YX(|P分分 有联合密度二维随机变量围成，由直线设区域分)Y,X( 0 x,2y,x2yG)18(4 其它,0 G)y,x(,y43)y,x(f ?YX)4(;),Y,X(Cov)3( );Y(D),X(D),Y(E),X(E)2( );y(f),x(fY,X)1( XY YX独立吗与问求求边缘数字特征的边缘密度求 )x1(23|y83ydy43)x(f),1,0(x)1(: 22x222x2X 解 Gy x12 x2y o)2(,0 1x0),x1(23)x(f 2X分其它 ,y83ydx43)y(f,2,0y 22y0Y 又)2(,0 2y0,y83)y(f 2 Y分其它 10 2 )1(,83dx)x1(x23)X(E)2(分 10 222 )1(,51dx)x1(x23)X(E分)1(0594.032019)83(51)X(D 2分 )1(83dyy83)Y(E 20 3分 )1(512dyy83)Y(E 10 42分)1(203)23(512)Y(D 2分 10 2x2 2G dx)dyy(x43ydxdy43xy)XY(E)3( )2(6.0dx)xx(2 10 4分 )2(375.080323836.0)Y,X(Cov分 )2(3974.0203320190375.0XY分 )2(YX),y(f)x(f)y,x(f)4( YX分不独立与故有密度的样本观察值。若为的一个容量是来自总体设分Xn Xx,x,x)12.(5 n21 其它,0 1x0,x)2()x(f 1计量的矩估计和极大似然估为未知参数。求其中 10 21 )2(32dxx)2()X(Em:分解)1(,32X: 分令 )2)(1X X32(分解之， )2()x()2(x)2()(L)2( n1i nn1i in1i分 )2(x)1()2ln(n)(Lln n1i i分 )2(02 x)2(2 nd )(Llnd n1i i分令： 得极大似然估计量,2xlnn n1i i )1()2Xlnn( 2n1i i分 如下关系产量之间有设某种化肥用量与水稻分)12.(6 )/kg10(x亩化肥用量)/kg10(y亩水稻产量1 240 42 355 357 458 560)1( xy)1(位系数取到小数点后的一元回归方程对请拟合出)05.0()2( 回归方程的显著性用相关系数检验法检验附：相关系数临界表2n 05.0 3878.0 4811.0 35,2910.1)x(x1,3x 2122 解：;333.165xy;9373.7)y(y,52y 222 )6(6.56667.1 3333.921 yxxy 分 )1(x6.52.35),1(2.35xy y 分回归方程分 811.091.021 yxxyR 又样本相关系数 回归效果显著统。个元件组成一个串联系未知，从中任取其中某批电子元件寿命分n ),1(eX)10.(7 仍服从指数分布命证明这个串联系统的寿Y)1(的无偏估计；是使求常数CYZC)2( .XZ3有效的两无偏估计量哪个更作为与）指出（ 0 x,e1)x(FX)1( x 有分布函数解：)2(XYiX ini1i min分个元件寿命，则是第设有分布函数Y 0y,e1)y(F11)y(F ynnY )2)(n(eY分 ,n)Y(D,n)Y(E)2( 22 nC,nC)Y(CE)CY(E)Z(E 22222 nn)Y(Dn)nY(D)Z(D)3( 更有效故X),Z(Dnn )X(D)X(D 22 年下学期期末考试试题2004 )53(.分单项选择题一：一定有、则独立，且与设事件_ ,0)()(.1 BA BPAPBA 互不相容与（BAA).相容与（BAB).互不独立与（BAC).不独立与（BAD). ABBPAPABPB ,0)().()().(:因为答 ：分别为的样本，则总体为来自设总体_)(),( ,.,),0(.2 21 XDXEX XXXaUX n122).( 2aaA和2).( naaB和 naaC 122).( 2和2).( aaD和1.4.6).(定理答：C ._ ),(.3 22的是则下列说话正确样本均值和样本方差，的分别来自正态总体与设NSX ,).( 22 SXA）)1,1()().( 2 2 nFSXB相关与22).( SXC不相关与22).( SXD4.4.6).(定理答：D ._,., 2,.4 21的矩估计量为则的样本，为来自未知，其中上服从均匀分布，在区间设总体 XXXXX n1).( XA XB 2).(1).(XC XD).( XXEA 12/)2()().( 答：._%95.5表示度进行区间估计，则置信对总体参数的概率含样本的值以%95).(B的值的含有%95).( A 的值平均含样本%95).(C值概率含以%95).( D )(D答：）。分布（服从近似的限定理，其寿命之和的样本，由中心极的容量为自总体为来单位：千小时服从指数分布设某电子元件寿命2002_ XZ50X X,.,X,X),)(21(e X).6( 50 1i i 5021 )504,2().( NA )200,100().( NB)100,50().( NC )400,100().( ND).148( 450250),().( 2P NnnNZB），（答： )53(. 填空题二._)|( ,97.0)(,2.0)|(,05.0)(.1 BAP BPABPAP则已知3103.0 2.005.0 )(1 )|()()( )()|( BP ABPAPBP ABPBAP解： ._)(21 ,0 10,3)(.2 2 YDX XY xxxfX发生的次数，则事件进行四次独立观察中，表示对，以其它有密度函数设 167)811(814)( ),81,4(,813)21(: 210 2 YD BYdxxXP故解._ )1|1(| 1),(.3 XPeX由切比雪夫不等式，为常数，其中若随机变量 11)/1( /11)1|1(| ,1)(,1)( 222 XP XDXE解： ._ )(2,.,),2,0(.4 26252423 21621分布服从的样本，则统计量为来自设总体XXXX XXXX XXXNX )4(4/ ),4(2 .6,.,1),1,0(2);1,0(2 )2,0(2 22625242321 21tVUXVU XXXXV iNXNXXU NXXi 独立，与所以：又，性，解：由正态分布的可加 ._ ,12.5 XY YXYX相关系数则有关系与设随机变量)128,1 P见书答：).( ,).3).(),().2.(?)1( 0,0 0,)(8.(1 2yf XYXDXEA x xeAxxf X Y x求令求求有密度函数分）设随机变量三简答题 ).2( 21,2)3(1).1( 0 2分解： AAAdxeAx x )1.(12)5(2121.)( )2(,3)4(21.)(.2 0 222 0 2分分）（ dxexxXE dxeAxxXE xx分）1(3312)( 2 XD 2 25 2222 2.)(21|)(|)()( ,1.5.3,0),0(.).3( y yXY Yey yeyyyfyf yR 由定理显然)2(0,0 ,0,)( 25分故： y yeyyf yY ).()3();()2();()1(: .,5.0,5.0,0 ),2,1(),2,1(),2,1().9.(2 2WEWDWE ZYXW NZNYNX YZXZXY求令且已知分 )2.(1)1( 11)()()()(分解： ZEYEXEWE )1.10 25.0225.020222 2()()(2)()(2 )()(2)()()( )2)(,(2),(2),(2 )()()()()().2(分（分）分 ZDXDZDYD YDXDZDYDXD ZXCovZYCovYXCov ZDYDXDZYXDWD XZYZ XY )()( ),( YDXD YXCovXY 注：上面使用了公式：)2.(11110)()()(.3 22分）（ WEWDWE是否相互独立？与问求其它有联合密度函数设分YX YXCovYDXDYEXE yxyxyxf YX XY ).5(,).4( ),().3(),(),().2(),(),().1(: ,0 10,10,),( ),().14(3 :),10.21 |)21()()().1( 10210故（解： xx yxydyyxxf yyX 分）其它1(,0 ,10,21)( xxxf X )10 ,10,21)(分（，其它同理： yyyfY )1.(127)21()( 1 0分故： dxxxXE分）同理1.(127)(. YE )3.(14411)127(125)( ,125)21()().2( 210 22分又 XD dxxxXE 分）同理：1.(14411)( YD 31)32()()().3( 10 210 10 dxxxdxdyyxxyXYE )2.(1441)127(31 )()()(),( 2分 YEXEXYEYXCov 分）2.(111 144/11144/11 144/1)()( ),().4( YDXD YXCovXY )2( ),().(),(1,01,0.5分不独立。与故内，在）（YX yfxfyxf YX载的概率。理计算该车不超水泥，请用中心极限定袋只准该车装为了不超载，有关部门标准差为装水泥，每袋平均重吨的汽车运输袋一最大载重量为分98 ,5,505)8.(4 kgkg正态分布表x 1 2 1.01 2.02 (x) 0.8413 0.9772 0.8438 0.9783 )2.(255)( ,50),2分（袋重量第解：设 i iiXD kgXEiX )2).2450,4900()2598,5098( ),(,1( 2981分（近似服从则分），记NN nnNYXY i i )3.(9783.0 02.2)245049005000()5000(分）（要使车不超载，应有： YP 题）正态分别表同第的概率于之差的绝对值小独立样本，求样本均值的两个及中抽取容量为及分别从设总体分4.(12 2416 ),18,20(),4,30().9.(5 YX NYNX )2.4.6完全类似注意：此题与例)2(),2418,20(),164,30( ,2.4.6 )2(,241,161 241161分有：则由定理分解：记NYNX YYXX i ii i )2(),1,0()2418164,2030(分NNYX 分）3(,9772.009772.0)22()2( )1 1012()11012()12|(| YXP 超标。物质含量是否显著检验化工厂废水中有害）（区间。的置信的量求出有害物质的平均含设水中有害物质含量单位：量如下：测得费水中有害物质含次，随机检验现环保部门对某化工厂含量不超过流的废水中有害物质的 工厂倾入河分）根据环保规定，化.2 %90).1( ).,( )/10(,5.3,8.2,4.3,5.3,7.2,6.3,9.2,3.3,1.3 9,/ 10310.(6 2 6 6NX LkgLkg 8331.1)9(,3830.1)9( ,8595.1)8(,3968.1)8(: 95.09.0 95.09.0 tt ttt分布表，附 )2(),).1(,).1( 2/12/1分（的置信区间：解：nSntXnSntX )1(,408.3 33354.08595.12.3)1( )1(,992.2 33354.08595.12.3)1( )1(,1.0 ,9,3354.0,2.32/1 2/1分分分由题设得： nsntx nsntx nsx )408.3,992.2(所求置信区间为)2).(1( ,/ )1.(:;3:),2( 1 00 0100分的拒绝域为：则取统计量分：由题意，提出假设检验 nTTW HnSXT HH 分）拒绝域查表对1.(3968.1 ,3968.1)8()1(,1.0 90.01 TW tnt )1(, ,7889.13/3554.0 32.3 0分认为超标。拒绝故H WTT 更有效。比来估计证明：以的；证明这个估计量是无偏的极大似然估计量求）（的样本观察值。为来自总体未知，其中设总体分222 2221 22).3( ).2( ;.1 ,., ),0().12.(7 SXxxx NXn ni xnnxx ni ii eeL Rxexf 1 222222 2 2()()2(21)( ,21)(.1(: 2122 22分）似然函数：）解 )1(,2ln22ln2)( 21 222分 ni ixnnLnL )1.(022)(ln 41 222 2分 ni ixndLd )2 1 21 22分估计（的极大似然为所以： ni ixn )3(, )0(1)()(1 )(1)(.2 2 1 21 21 22分）（ nini ii ni i nXEXDn XEnE )1(,)(,)().3( 2222分均无偏 ESE )1(,12)(),1(2)1( ),1()1( 42 2 2 22 2分所以又 nSDnSnD nSn 分布定义，有：独立，由且它们相互又因为2 ,.,2,1),1,0( niNXi )1()1()( ),(1 1 22241 22 21 22 ni ini ini i XDnXnDD nX 故：)(1222. 24424 SDnnnn )1( 22分更有效。比所以：S 杂例._,)( ,.,1 2221 SSXD XXXX n是样本方差，则的样本，是来自总体的无偏估计，是（).A的极大似然估计是).(B;).(的一致估计是C .).相互独立与（XD )191().( 22 PSC的一致估计是说明：答：的一致估计。是试证的无偏估计量，且是设 n nnn D ,0)(lim.2 有对故由切比雪夫不等式，证明：因为,0 ,)( nE 1)(1(lim)|(|lim ,)(1)|(| 22 nnnn nn DP DP从而：.1)|(|lim ,1)|(| nn nP P因此必有：另一方面的一致估计。是由一致分布的定义，知n 选）练习题（往年期末试题的协方差矩阵。与求的相关系数和求求：令同一分布设随机变量独立且服从YX VUYDUD YXVYXU P XY).3( ;).2();(),()1( .2,2 ),(.1 围成。轴及由直线其中其它密度函数：有联合（设二维连续型随机变量1,0 ),(,6),( ),.2 xxxyG Gyxyyxf YX)(),().1( YEXE求数学期望 XYYXCov YDXD 及相关系数求协方差求方差),().3( );(),().2(。证明这个估计是无偏的的矩估计求）（的样本。是来自总体又设未知已知，其中其它有密度函数设总体).2(;.1 ,., ,0 ,1)(.3 21 XXXX xexf X nx )05.0 ,/72).2( %95).1( .67,69,70,66,70,78,68,65,67,54 :)/( 10.4 （显著差异？者与正常人的脉搏有无问中毒分次设正常人平均脉搏为区间。的置信的求慢性中毒者平均脉搏布。设人类脉搏服从正态分为分单位：次例慢性中毒者的脉搏某医生测得2281.2)10(,2622.2)9( 8125.1)10(,8331.1)9( 975.0975.0 95.095.0 tt tt附： 5.设保险丝的熔化时间服从正态分布，现从一批保险丝中随机地抽取8根，测得熔化时间（单位:ms）如下：50, 48, 52, 53, 51, 55, 52, 51(1) 求这批保险丝熔化时间的方差的90%的置信区间(取到小数点后一位);(2)这批保险丝熔化时间的方差是否比3显著大(=0.1)答案:(1)置信区间(2.1, 13.8) (2)右侧检验,方差不必3显著偏大.),2005( 2分布表略去 ),2005( ).100()2().1( .2 ),31;9,4;1,3(),(.6正态分布表略求概率的密度函数；写出令设二维随机变量 ZPZYXZ NYX 7738.0)2()17,5().1( 8.4.4130，例提示：见书NZ P ),2005( ).5.139)()2( ;82.1|(|:,91 ,),9,(.7 291 291 921分布表表和略去原题中的正态分布求概率样本，记的是来自设总体 i i i iXXP XPXX XXXXNX 4.4.6,05.0)2(2.4.6,9312.0)1(定理；定理答：