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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.,机器人运动学,ENTER,3.1,机器人正运动学方程,3.2,机器人逆运动学方程,本章主要内容,运动学研究的问题：,手在空间的运动,与,各个关节的运动,之间的关系。,3.1,机器人正运动学方程,定义：,描述机器人,手部,在空间相对于绝对坐标系或机座坐标系的,位置及姿态,的数学表达式,运动学方程的模型：,M,机器人手在空间的位姿,q,i,机器人各个关节变量,已知杆件几何参数和关节角矢量求机器人末端相对于参考坐标系的位置和姿态,3.1,机器人正运动学方程,3.1,机器人正运动学方程,连杆描述,连杆连接的描述,对连杆附加坐标系的规定,操作臂运动学,PUMA560,运动学方程,机器人的各连杆通过关节连接在一起，关节有,移动副,与,转动副,两种,。,关节,和连杆的编号：,机座,称 杆件,0,，,机座与杆件,1,的关节编号,关节,1,类推之,.,关节编号,3.1.1,连杆描述,描述一个连杆的两个参数,:,1.Link length,连杆长度,a,i-1,关节轴,i-1,和关节轴,i,之间的公垂线的长度,a,i-1,假设条件,把连杆看作是一个刚体,2.Link twist,连杆转角,i-1,假设作一个平面,并使该平面与两关节轴之间的公垂线垂直,然后把关节轴,i-1,和关节轴,i,投影到该平面上,在平面内轴,i-1,按照右手法则转向轴,i,测量两轴角之间的夹角为,i-1,.,3.1.1,连杆描述,下图中的连杆长度和连杆转角？,3.1.2,连杆连接的描述,描述连杆连接的两个参数,:,1),link offset,连杆偏距,d,i.,相邻两个连杆之间有一个公共的关节,沿着,两个相邻连杆公共法线线,的距离可以用一个参数描述为连杆偏距,d,i.,当,i,为移动关节时,连杆偏距为一变量,.,（,1,）连杆中的中间连杆,2),joint angle,关节角,i.,描述两个相邻连杆绕公共轴线旋转的夹角,i.,当,i,为转动关节时,关节角为一变量,.,3.1.2,连杆连接的描述,（,2,）连杆中的首尾连杆,对于运动链中的末端连杆,其参数习惯设为,0,即,从关节,2,到关节,n,的连杆偏距,d,i,和关节角,i.,是根据前面的规定进行定义,.,关节,1(,或,n),如果为,转动,关节,则,1,的零位可以任意选取,规定,d,1,=0.0,，,关节,1(,或,n),如果为,移动,关节,则,d,1,的零位可以任意选取,规定,1,=0.0;,3.1.2,连杆连接的描述,（,3,）连杆参数,对于转动关节,i,为关节变量,其他三个参数固定不变,;,对于移动关节,d,i,为关节变量,其他三个,参数,固定不变,;,这种用连杆参数描述机构运动关系的,方法,称为,Denavit-Hartenberg,法,对于一个,6,关节机器人,需要用,18,个参数就可以完全描述这些固定的运动学参数,可用,6,组,(a,i-1,i-1,d,i,),表示,，用,6,个关节变量,i,描述运动学中的变化部分。,3.1.3,连杆附加坐标系的规定,为了描述每个连杆和相邻连杆之间的相对位置关系,需要在每个连杆上定义一个固连坐标系,.,（,1,）连杆中的中间连杆,规定,:,坐标系,i-1,的,Z,轴,称为,Z,i-1,与关节轴,i-1,重合,;,坐标系,i-1,的,原点,位于公垂线,a,i-1,与关节轴,i-1,的交点处,.,X,i-1,轴,沿,a,i-1,方向由关节,i-1,指向关节,i,(,若,:,a,i-1,=0,则,X,i-1,垂直于,Z,i-1,和,Z,i,所在的平面,;,Y,i-1,轴,由右手定则确定,Y,i-1,=,Z,i-1,X,i-1,3.1.3,连杆附加坐标系的规定,坐标系,0,通常规定,:,Z,0,轴沿着,关节轴,1,的方向,当坐标系,1,的关节变量为,0,时,设定参考坐标系,0,与,1,重合,.,且,a,0,=0,0,=0,当关节,1,为转动关节,d,1,=0;,当关节,1,为移动关节,1,=0.,坐标系,n,通常规定,:,对于转动关节,n,设定,n,=0.0,此时,X,n,和,X,n-1,轴的方向相同,选取坐标系,n,的原点位置,使之满足,d,n,=0;,对于移动关节,n,设定,X,n,轴的方向使之满足,n,=0.0,当,d,n,=0,时,选取坐标系,n,的原点位于,X,n-1,轴与关节轴,n,的交点位置,.,（,2,）连杆中的首尾连杆,3.1.3,连杆附加坐标系的规定,（,3,）在连杆坐标系中对连杆参数的归纳,i,-1,通常规定,其余可正可负,.,按照上述规定的坐标系不是唯一的；,Zi,的指向有两种选择,;,如果关节轴相交,Xi,轴的指向也有两种选择,.,当相邻两轴平行时,坐标系原点可以任意选择,.,当关节为移动关节时,坐标系的选取具有一定任意性,.,3.1.3,连杆附加坐标系的规定,确定关节轴，并画出轴的延长线。,找出关节轴,i-1,和,i,的,公垂线或交点，作为坐标系,i-1,的,原点。,规定,Z,i-1,的,指向是沿着第,i-1,个,关节轴。,规定,X,i-1,轴,得指向是沿着轴,i-1,和,i,的,公垂线的方向，如果关节轴,i-1,和,i,相交,，,则,X,i-1,轴,垂直于关节轴,i-1,和,i,所在,的平面。,Y,i-1,轴,的方向由右手定则,确定,Y,i-1,=,Z,i-1,X,i-1,。,当第一个关节变量为,0,时，规定坐标系,0,和,1,重合，对于坐标系,N,，尽量选择坐标系使得连杆参数为,0.,（,4,）建立连杆坐标系的步骤,i,-1,3.1.3,连杆附加坐标系的规定,【,例题,1】,i,a,i-1,i-1,d,i,i,1,0,0,0,1,2,L,1,0,0,2,3,L,2,0,0,3,3.1.3,连杆附加坐标系的规定,【,例题,2】,i,a,i-1,i-1,d,i,i,1,0,0,0,1,2,0,90,d,2,0,3,0,0,L,2,3,3.1.3,连杆附加坐标系的规定,【,例题,3】,3.1.4,操作臂运动学方程,目的：,求出相邻连杆间的坐标变换的形式，进一步求出,连杆,n,相对于连杆,0,的位置和姿态,。,（,1,）,推导过程：,1.,坐标系,i-1,相对于坐标系,i,的变换是由连杆,四个,参数构成的函数，其中只有一个变量。,2.,为求解 ，对每个连杆建立坐标系，分解成,4,个变换子问题，每个子变换只包含一个连杆参数。,3.,定义三个中间坐标系,R Q,P,：,坐标系,R,是由坐标系,i-1,绕,X,i-1,轴,偏转,i-1,得到；,坐标系,Q,是由坐标系,R,沿着,X,i-1,轴,平移,a,i-1,得到,；,坐标系,P,是由坐标系,Q,绕,Z,i,轴,旋转,i,得到；,坐标系,i,是由坐标系,P,沿着,Z,i,轴,平移,d,i,得到,。,R,Q,P,3.1.4,操作臂运动学方程,最后，得到相邻连杆的一般变换为,：,（相对于运动坐标系，算子右乘）,3.,定义三个中间坐标系,R Q,P,：,坐标系,R,是由坐标系,i-1,绕,X,i-1,轴偏转,i-1,得到；,坐标系,Q,是由坐标系,R,沿着,X,i-1,轴平移,a,i-1,得到；,坐标系,P,是由坐标系,Q,绕,Z,i,轴旋转,i,得到；,坐标系,i,是由坐标系,P,沿着,Z,i,轴平移,d,i,得到。,3.1.4,操作臂运动学方程,化简：,这里：,根据变换过程：,即：,变换矩阵：,R,Q,P,3.1.4,操作臂运动学方程,（,2,）连续连杆变换,定义了连杆坐标系和相应得连杆参数，就能建立运动学方程，坐标系,N,相对于坐标系,0,的变换矩阵为：,变换矩阵 是关于,n,个关节变量的函数，,这些变量可以通过放置在关节上的传感器测得，则机器人末端连杆在基坐标系（笛卡尔坐标系）中的位置和姿态就能描述出来。,3.1.5 PUMA 560,型机器人运动学方程,3.1.5 PUMA 560,型机器人运动学方程,3.1.5 PUMA 560,型机器人运动学方程,1.,确定,D-H,坐标系,2.,确定各连杆,D-H,参数和关节变量,i-1,=,沿,X,i-1,轴,从,Z,i-1,到,Z,i,的距离；,a,i-1,=,绕,X,i-1,轴,从,Z,i-1,到,Z,i,的角度；,d,i,=,沿,Z,i,轴,从,X,i-1,到,X,i,的距离,;,i,=,绕,Z,i,轴,从,X,i-1,旋转到,X,i,的角度,;,i,i-1,a,i-1,d,i,i,1,0,0,0,1,(90,),2,0,-90,d,2,2,(0,),3,2,0,0,3,(-90,),4,3,-90,d,4,4,(0,),5,0,90,0,5,(0,),6,0,-90,0,6,(0,),3.,求出两杆间的位姿矩阵,3.1.5 PUMA 560,型机器人运动学方程,不同的坐标系下,D-H,矩阵是不同的，关键是约定,!,3.1.5 PUMA 560,型机器人运动学方程,4.,求末杆的位姿矩阵,3.1.5 PUMA 560,型机器人运动学方程,3.1.5 PUMA 560,型机器人运动学方程,3.1.5 PUMA 560,型机器人运动学方程,5.,验证,与图示情况一致。,3.2,机器人逆运动学方程,实质：,已知,T,6,（即已知矢量,n,、,o,、,a,和,p,）求解,，从而确定与末端位置有关的所有关节的位置,-,实际工程问题,已知操作机杆件的几何参数，给定操作机末端执行器相对于参考坐标系的期望位置和姿态（位姿），,操作机能否使其末端执行器达到这个预期的位姿？,如能达到，那么操作机,有几种不同形态可以满足同样的条件,？,3.2,机器人逆运动学,可解性,多解性,求解方法,PUMA560,逆解过程,3.2.1,可解性,解的存在问题取决于操作臂的,工作空间,（,Workspace,）,工作空间：操作臂末端执行器所能到达的范围,（反解存在的区域）,所有具有转动和移动关节的机器人系统，在一个单一串联链中共有个,6,自由度或小于,6,个自由度时是可解的。其通解是数值解，不是解析表达式，是利用数值迭代原理求解得到的，其计算量比求解析解大得多。要使机器人有,解析解，设计时就要使机器人的结构尽量简单,，而且尽量满足,连续三个旋转关节的旋转轴交会于一点,，或,连续三个关节轴互相平行,的充分条件。（,Pieper,准则）,3.2.2,多解性,对于给定的位置与姿态，它具有多组解。造成机器人运动学逆解具有多解是,由于解反三角函数方程,产生的。对于一个真实的机器人，只有一组解与实际情况对应，为此必须做出判断，以选择合适的解。通常采用剔除多余解的方法：为此必须做出判断，以选择合适的解。通常,(1),根据关节运动空间来选择合适的解。,(2),选择一个最接近的解。,(3),根据避障要求选择合适的解。,(4),逐级剔除多余解。,3.2.3,求解方法,操作臂全部求解方法分为：,封闭解和数值解法,。数值解法是利用迭代性质求解，速度慢。,封闭解,是我们主要的求解方法。,封闭解分为代数解和几何解,（,1,）代数解,3.2.3,求解方法,通过比较，我们得出四个方程：,求得：,3.2.3,求解方法,几何方法中，首先将操作臂的空间几何参数分解成为平面几何参数，然后应用平面几何方法求出关节角度,（,2,）几何解,3.2.4 PUMA560,机器人逆运动学方程,问题：已知,求：各转角,再利用三角代换,:,和 ，其中,3.2.4 PUMA560,机器人逆运动学方程,首先求,1,，将 等式两端左乘 ，得,上式两端的元素（,2,，,4,）对应相等，得：,把它们代入代换前的式子得：,再求,3,。再令矩阵方程两端的元素（,1,4,）和（,3,4,）分别对应相等得：,3.2.4 PUMA560,机器人逆运动学方程,两边平方相加得：,合并同类项并整理得：,令,，再利用三角代换可得：,式中正，负号对应着,3,的两种可能解。,3.2,机器人逆运动学,然后,求,2,：,将展开并整理得：,同样再利用三角代换容易求得,2,的四种可能解：
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