收敛数列的性质

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.2,收敛数列的性质,1,、唯一性,2,、,有界性,3,、保号性,4,、保不等式性,5,、四则运算,6,、迫敛性,7,、子数列的收敛性,1,、唯一性,定理,2.2,每个收敛的数列只有一个极限,.,证,由定义,故收敛数列极限唯一,.,2,、,有界性,例如,有界,无界,定理,2.3,收敛的数列必定有界,.,证,由定义,注意：,有界性是数列收敛的必要条件,.,推论,无界数列必定发散,.,例,1,证,由定义,区间长度为,1.,不可能同时位于,长度为,1,的,区间内,.,3,保序性,从而,定理,2.6(,收敛数列的保号性,),如果数列,x,n,收敛于,a,且,a,0(,或,a,0),那么存在正整数,N,当,n,N,时,有,x,n,0(,或,x,n,0),4,保号性,推论,如果数列,x,n,从某项起有,x,n,0(,或,x,n,0),且数列,x,n,收敛于,a,那么,a,0(,或,a,0),这说明若数列 收敛且极限不为零，则当,n,充分大时，与,0,的距离不能任意小,.,这一事实在后面讨论极限的四则运算时会用到,.,证,5,迫敛性,(,双逼原理,),上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限,例,2,解,由夹逼定理得,6,绝对值收敛性,:,(,注意反之不成立,).,推论,设,数列,和,收,敛,则,7,数列极限的四则运算法则,定理,2.8,设有数列,x,n,和,y,n,如果,那么,例,5,求,例,4,求,解：,分,a=1,，,|a|1,三种情况,解,：（分子有理化）,例,3,求,8,、子数列的收敛性,注意：,例如，,定理,7,收敛数列的任一子数列也收敛且极限相同,证,证毕,例,6,对于数列,x,n,证,此时有,此时有,总之：,恒有,Th,(,数列收,敛充要条件,),收,敛,Th,(,数列收,敛,充要条件,),收,敛,子列,和,收,敛,于同一极限,.,的任何子列收敛,于同一极限,.,Th,(,数列收,敛,充要条件,),收,敛,子列,、,都收,敛,.,和,思考题,证明,要使,只要使,从而由,得,取,当 时，必有 成立,思考题解答,（等价）,证明中所采用的,实际上就是不等式,即证明中没有采用,“,适当放大,”,的值,从而 时，,仅有 成立，,但不是 的充分条件,反而缩小为,小结,(1),唯一性,;,(2),有界性,;,(3),保号性,;,(4),四则运算法则,;,(5),不等式性,;,(6),收敛数列与其子列的关系,.,