拉普拉斯变换1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 拉普拉斯变换,1,拉普拉斯变换的定义,定义：,设函数 当 时有定义，积分,(,是一个复数,),在 的某一区域内收敛，则称此积分,所确定的函数 为 的,拉普拉斯变换,，记为,即,也称为 的,象函数,。若 是 的拉普拉斯变换，,为 的,拉普拉斯逆变换,，记为,称,也称为 的,原象函数,。,1,、原象函数和象函数,例,2-1,：,求单位函数 的象函数。,解：,例,2-2,：,求 的象函数,(,为复常数,),解：,2,、拉普拉斯的存在定理,(1),及其,阶导数,当 时是单值连续或者,是分段连续的,称满足上述条件的原象函数 为 类，记作,关于实变量 的函数,满足下列条件,(2),当 时，的增长速度不超过某一指数函数,即存在常数,使 。,(,满足此条件,的函数称它的增长是指数级的,为它的增长指数,),。,本书中，为了记号方便，象函数和原象函数之间的对应符号用 表示并记作 或,存在性定理,若关于实变量 的函数,即,满足上述条件,(1)(2),则 的拉氏变换 在右半平面,上一定存在。右端的积分在,上绝对收敛且一致收敛，并且 在右半平面,内为解析函数,且,此定理的条件是充分的。物理学和工程技术中的常见,函数大都能够满足这两个条件。,t,充分大后,它们的增长是指数级的。,3,、象函数的基本性质,(1),唯一性定理,如果,并且,则,对应的原象函数在除去可能有的间断点以外所有点上相等,即,(2),象函数的解析性定理,由存在性定理可知，象函数,当,时是解析函数，即它可以展成幂级从而在级数的收敛域内可微分或积分任意次,.,(3),线性性,如果,并且,则,(4),4,、几个简单函数的象函数,1.,单位函数 的象函数,由例,2-1,知，,2.,指数,函数 的象函数,由例,2-2,知，,3.,三角函数,的象函数,4.,双曲函数,的象函数,2,拉普拉斯变换的性质,(1),原象函数的微分性,证,1,、微分性,若,则,例,2-3,：,已知,求 的象函数,解,特别当 时，有,一般地，对任意的自然数 ，若,则有,例,2-4,：,用微分性求 的象函数,解,即,(2),象函数的微分性,若 ，,一般地,由存在性定理证明即可得出结论,例：,求,同理,则,例,2-5,求,(,k,为实数,),的象函数,2,、积分性,若 ，,证,反复利用积分性质可得,(1),原象函数的积分性,则,例：,求 的象函数,解,(2),象函数的积分性,则,例,2-6,：,求 的象函数,解,若 ，,3,、相似定理,若,，,且,，,则对任意的常数,总有,证,令,则,例,2-7,：,试求 的象函数,解,：,4,、延迟性,(,关于时间,t,的位移性质,),若,又 时，则,对任一非负实数,有,证,由于,将函数 与 相比，是从 开始,有非零值的，而 是从 开始有非零值的,即延迟了一个时间 ，从图象上看 的图象,是由 的图象沿 轴向右平行移动 所得到。延,迟性表明，时间函数延迟 的拉普拉斯变换等于它的,象函数乘以因子 。,例,2-8,求 的象函数,解法,1,：,因,利用线性性得到,解法,2,：,令,而,于是有,借助于延迟性定理,大家想一下，解法,1,和解法,2,哪个是正确的？为什么？,注意：,延迟性定理的确切表达或者是不容易产生误解的表达应如下,若,则,例,2-9,：,求函数,的拉氏变换,.,1,t,O,已知,于是由延迟性定理知,例,2-9,：,求如图所示波形的象函数,1,1,解：已给波形的表达式为,可以把波形看成是,下图,虚线所示的两个波形相减而得,1,1,已知,由延迟性,5,、周期函数的象函数,设,是,内以,为周期的函数，且,在一周期内逐段光滑，则,例,2-11,求函数,的象函数,解,：,是以 为周期的周期函数,令,同时,由于,所以,6,、逐段连续或者逐段光滑函数的象函数,例,2-12,求函数,的象函数,3,1,解：由图象知,例,2-13,求函数,的象函数,解：由图象知,因而,例,2-14,求函数,的象函数,解：由图象知,因而,例,2-15,求函数,的象函数,解：由图象知,因而,例,8,：,求如图所示阶梯函数的拉氏变换,解,当 时,7,、阶梯函数的象函数,8,、关于 的位移性质,如果,且,，,则对任意的复常数,证明：事实上,例,2-16,求下列函数的象函数,解：,(1),由于,由位移性质,再由原象函数的微分性质,解：,(2),由于,由象函数的微分性质,再由位移性质,