分类计数原理与分步计数原理课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,分类计数原理,与,分步计数原理,更多资源xiti123.taobao,甲,问题1,从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车。一天中，火车有3班，汽车有2班。那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法？,乙,火 车 2,火 车 1,火 车 3,汽 车 1,汽 车 2,3+2=5（种）,分类计数原理,分类计数原理又称“加法原理”,完成一件事，有,n类办法,，在第1类办法中有m,1,种不同的方法，在第2类方法中有 m,2,种不同的方法，,，在第n类办法中有m,n,种不同的方法，那么完成这件事共有,N,m,1,m,2, ,m,n,种不同的方法,关于分类计数原理的几点注记：,各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；,分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然后在确定的分类标准下进行分类；,完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不同两类的两种方法都是不同的不重不漏,火 车 2,火 车 1,火 车 3,问题2,从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？,甲,乙,丙,汽 车 2,汽 车 1,火车1汽车1 火车1汽车2 火车2汽车1,火车2汽车2 火车3汽车1 火车3汽车2,分步计数原理,完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法做第步有种不同的方法那么完成这件事共有,N种不同的方法,分步计数原理又叫作“乘法原理”,关于分步计数原理的几点注记,各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数相乘，所以这个原理又叫做乘法原理 ；,分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后在确定的分步标准下分步；,完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一个步骤,更多资源xiti123.taobao,分类计数原理与分步计数原理的区别,分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法总数的问题区别在于：分类计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件事；分步计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才算做完这件事,例题,例1,书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书。,（1）从书架上任取一本书，有多少种取法？,（2）从书架的第1、2、3层各取1本书,有多少种不同的取法?,注意区别“分类”与“分步”,解,:,(1)从第1层任取一本,有4种取法,从第2层任取一本,有3种取法,从第3层任取一本,有2种取法,共有,4+3+2=9,种取法。,答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。,(2) 从书架的1 、 2 、 3层各取一本书,需要分三步完成, 第1步,从第1层取1本书,有4种取法,第2步,从第2层取1本书,有3种取法,第3步, 从第3层取1本书,有2种取法.由分步计数原理知,共有,4,32=24,种取法。,答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有24种不同的取法。,分类时要做到不重不漏,分步时做到不缺步,例2,一种号码锁有4个拨号盘,每个拨号盘上有从0到9共10个数字,这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码?,本题的,特点,是,数字可以重复使用，,例如0000，1111，1212等等，与分步计数原理比较，这里完成每一步的方法数 m=10，有n=4个步骤,结果是总个数,N=10,10,10,10=10,4,解,：由于号码锁的每个拨号盘有0到9这10个数字，每个,拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，4个拨,号盘上各取1数字组成的个数是,答：可以组成10000个四位数字号码。,N=10,4,。,一般的，,完成一件事有n个步骤，每一步骤的方法,数相同，都,是m,则完成这件事共有 种不同方法。 （牢记：,步骤数n是指数！,）,m,n,3. 四名研究生各从A、B、 C三位教授中选一位作自己的导师，共有,_,种选法；三名教授各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有,_,种选法。,2. 在120共20个整数中取两个数相加,使其和为偶数的不同取法共有多少种?,答.：(10,9+10,9)/2=,90,（种）,.,4,3,1. 某中学的一幢5层教学楼共有3处楼梯口,问从1楼到5楼共有多少种不同的走法?,答： 3333=3,4,=,81,（种）,练 习,3,4,例3,要从甲、乙、丙3名工人中选出2名分别上日班和晚班，有多少种不同的选法？,解,：,从3名工人中选出2名分别上日班和晚班，可以看成是经过先选1名上日班，再选1名上晚班这两个步骤完成。先选1名上日班，共有3种选法；,上日班的工人选定后,再,选1名上晚班，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数原理,所求的不同的选法数是,答：有6种不同的选法。,日班 晚班,甲,乙,丙,丙,乙,甲,乙,甲,丙,相应的排法,不同排法如下图所示,甲 乙,甲 丙,乙 甲,乙 丙,丙 甲,丙 乙,日班 晚班,练 习,P,86,练习 2、3、4、5,例4,有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数（各位上的数字许重复）？,解：,要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：,第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个数字，共有5种选法；,第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这仍有5种选法；,第三步确定十位上的数字，同理，它也有5种选法。,根据,分步计数原理,，得到组成的三位数的个数是：,N = 5 5 5 = 5,3,= 125,答：,可以组成125个三位数。,例5,:满足 A,B=1,2,的集合A ,B共有多少种?,解析:,法一,A, B均是,1,2,的子集:,1,2,1,2,但不是随便两个子集搭配都行,本题犹如含A B的 两元不定方程,其全部解分为四类,:,1. 当A=,时,只有B=,1,2,得1组解;,2. 当A=,1,时,B=,2,或,1,2,得2组解;,3. 当A=,2,时,B=,1,或,1,2,得2组解;,备选例题,4. 当A=,1,2,时,B=,或,1,或,2,或,1,2,得4组解由加法原理,共有1+2+2+4=9组解,法2: 设A,B为两个“口袋”,需将两种元素(1与2)装入,任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事:第1步装“1”,可装入A不装入B,也可装入B不装入A,还可既装入A又装入B,有3种装法;,第2步装“2”,同样有3种装法.由乘法原理,共有,3,3=9 种装法,1,一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一个人来完成这件工作，共有多少种选法？,2,乘积( a,1,+ a,2,+ a,3,)( b,1,+ b,2,+ b,3,+ b,4,)(c,1,+ c,2,+ c,3,+ c,4,+ ,5,)展开后共有项？,4 + 5 = 9,练习2：,1、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数是( ) A. 12 B.64 C.81 D.7,2、火车上有10名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的可能方式有 （ ）种,A. 5,10,B. 10,5,C. 50 D. 以上都不对,练习1：,C,A,总结,：,分类计数原理：,做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法中有m,1,种不同的方法，在第一类办法中有m,2,种不同的方法， ，在第n类办法中有m,n,种不同的方法。那麽完成这件事共有 N= m,1,+ m,2,+ + m,n,种不同的方法。,分步计数原理：,做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m,1,种不同的方法，做第二步有m,2,种不同的方法， ，做第n步有m,n,种不同的方法。那麽完成这件事共有,N= m,1, m,2, m,n,种不同的方法。,分类计数原理和分步计数原理的,共同点：,都是把一个事件分解成若干个分事件来完成；,不同点：,前者分类，后者分步；如果分事件相互独立，分类完备，就用分类计数原理；如果分事件相互关联，缺一 不可，就用分步计数原理。,