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,考点清单,方法技巧,栏目索引,专题十三推理与证明,高考理数,考点一合情推理与演绎推理,考点,清单,考向基础,考向突破,考向合情推理与演绎推理,例,(2018山东淄博部分学校摸底考试,10)聊斋志异中有这样一首诗:,“挑水砍柴不堪苦,请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上坟起终不悟.”,在这里,我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”:2,=,3,=,4,=,5,=,则按照以上规律,若8,=,具有“穿墙,术”,则,n,=,(),A.35B.48C.63D.80,解析,根据规律得3=1,3,8=2,4,15=3,5,24=4,6,所以,n,=7,9=63,选C.,答案,C,考点二直接证明与间接证明,考向基础,1.直接证明,综合法,分析法,定义,利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的,推理论证,最后推导出所要证,明的结论,成立,从,要证明的结论,出发,逐步寻求使它成立的,充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件,实质,由因导果,执果索因,框图表示,P,Q,1,Q,1,Q,2,Q,n,Q,Q,P,1,P,1,P,2,得到一个明显,成立的条件,文字语言,因为,所以,或由,得,要证,只需证,即证,反证法:假设原命题,不成立,(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的,推理,最后得出,矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证,明方法叫反证法.,2.间接证明,考向突破,考向一直接证明,例1,已知,x,+,y,+,z,=1,求证:,x,2,+,y,2,+,z,2,.,证明,x,2,+,y,2,2,xy,x,2,+,z,2,2,xz,y,2,+,z,2,2,yz,2,x,2,+2,y,2,+2,z,2,2,xy,+2,xz,+2,yz,3,x,2,+3,y,2,+3,z,2,x,2,+,y,2,+,z,2,+2,xy,+2,xz,+2,yz,即3(,x,2,+,y,2,+,z,2,),(,x,+,y,+,z,),2,x,+,y,+,z,=1,(,x,+,y,+,z,),2,=1,3(,x,2,+,y,2,+,z,2,),1,即,x,2,+,y,2,+,z,2,.,考向二间接证明,例2,(2019河北衡水第十三中学模拟,18)已知,ABC,的内角,A,B,C,对应的,边分别为,a,b,c,三边互不相等,且满足,b,2,ac,.,(1)比较,与,的大小,并证明你的结论;,(2)求证:,B,不可能是钝角.,解析,(1)结论:,.,证明如下:要证,只需证,0,则只需证,b,2,ac,.因为,b,2,ac,是已知条件,所以,.,(2)证明:假设,B,是钝角,则cos,B,0,这与cos,B,0矛盾,故假设不成立.所以,B,不可能是钝角.,考点三数学归纳法,考向基础,一般地,证明一个与正整数,n,有关的命题,可按下列步骤进行:,(1)(归纳奠基)证明当,n,取第一个值,n,=,n,0,(,n,0,N,*,)时,命题成立.,(2)(归纳递推)假设,n,=,k,(,k,n,0,k,N,*,)时,命题成立,证明当,n,=,k,+1,时,命题也成立.,只要完成以上两个步骤,就可以断定命题对于从,n,0,开始的所有正整数,n,都成立.,上述证明方法叫做数学归纳法.,注意:(1)两个步骤缺一不可.(2)初始值,n,0,不一定是1.(3)证明当,n,=,k,+1时命题,成立一定会用到归纳假设(即假设,n,=,k,(,k,n,0,k,N,*,)时命题成立).解题时要,特别注意从,n,=,k,到,n,=,k,+1增加了哪些项或减少了哪些项.,考向突破,考向数学归纳法,例,(2019辽宁抚顺第十中学期中,21)已知数列,a,n,的前,n,项和为,S,n,且,a,1,=1,S,n,=,n,2,a,n,(,n,N,*,).,(1)试求,S,1,S,2,S,3,S,4,并猜想,S,n,的表达式;,(2)证明你的猜想.,解析,(1),a,1,=1,S,n,=,n,2,a,n,(,n,N,*,),S,1,=,a,1,=1,S,2,=1+,a,2,=4,a,2,a,2,=,S,2,=,S,1,+,a,2,=1+,=,.,S,3,=,S,2,+,a,3,=9,a,3,a,3,=,S,3,=,S,2,+,a,3,=,+,=,=,=,.,S,4,=,S,3,+,a,4,=16,a,4,a,4,=,S,4,=,S,3,+,a,4,=,+,=,=,.,猜测:,S,n,=,.,(2)用数学归纳法证明如下:,当,n,=1时,S,1,=,=1,猜测显然正确.,假设当,n,=,k,(,k,1,k,N,*,)时,S,k,=,.,由,S,k,=,k,2,a,k,可得,=,k,2,a,k,a,k,=,.,当,n,=,k,+1时,S,k,+1,=,S,k,+,a,k,+1,=(,k,+1),2,a,k,+1,+,a,k,+1,=(,k,+1),2,a,k,+1,a,k,+1,=,S,k,+1,=,S,k,+,a,k,+1,=,+,=,=,.,当,n,=,k,+1时,猜测也是正确的.,由知,对一切,n,(,n,N,*,)都有,S,n,=,.,方法归纳推理与类比推理的应用,1.归纳推理的一般步骤,2.类比推理的一般步骤,方法技巧,例,(1)(2018湖北孝感模拟,7)二维空间中,圆的一维测度(周长),l,=2,r,二维,测度(面积),S,=,r,2,三维空间中,球的二维测度(表面积),S,=4,r,2,三维测度(体,积),V,=,r,3,应用合情推理,若四维空间中,“超球”的三维测度,V,=8,r,3,则其,四维测度,W,=,(),A.2,r,4,B.3,r,4,C.4,r,4,D.6,r,4,(2)德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形,单位分数是分子为,1,分母为正整数的分数,根据前6行的规律,第7行的第3个数是,.,解析,(1)二维空间中,圆的一维测度(周长),l,=2,r,二维测度(面积),S,=,r,2,(,r,2,)=,2,r,三维空间中,球的二维测度(表面积),S,=4,r,2,三维测度(体积),V,=,r,3,=4,r,2,四维空间中,“超球”的三维测度,V,=8,r,3,(2,r,4,)=8,r,3,“超球”的四维测度,W,=2,r,4,故选A.,(2)易知第7行的第一个数和最后一个数都是,第2个数加,要等于,所以,第2个数是,同理第3个数加,等于,故第3个数是,.,答案,(1)A(2),
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