教育专题：三角形的内切圆

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,三角形的内切圆,小,明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，且使圆的面积最大。,下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下。,思考,A,B,C,思考,如何确定一个与三角形三边都相切的圆的圆心位置与半径的长？,C,A,B,A,B,C,M,已知：,ABC（,如图）,求作：和,ABC,的各边都相切的圆,作法：1.作,ABC、ACB,的平分线,BM,和,CN，,交点为,I.,N,I,D,例1 作圆，使它和已知三角形的各边都相切,2.,过点,I,作,IDBC，,垂足为,D.,3.,以,I,为圆心，,ID,为半径作,I.,I,就是所求的圆.,1,、定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的,内切圆,，内切圆的圆心叫做三角形的,内心,，,内心是三角形三条角平分线的交点,.,这个三角形叫做圆的,外切三角形,。,识记,2,、性质,:,内心到三角形三边的,距离相等,；内心与顶点连线,平分内角,。,O,图,2,A,B,C,名称,确定方法,图形,性质,外心：,三角形外接圆的圆心,内心：,三角形内切圆的圆心,三角形三边垂直,平分线的交点,1.OA=OB=OC,2.,外心不一定在三角形的内部,三角形三条角平分线,的交点,1.,到三边的距离,相等；,2.OA,、,OB,、,OC,分别平分,BAC,、,ABC,、,ACB,3.,内心在三角形内部,o,A,B,C,O,A,B,C,1.,如图1，,ABC,是,O,的,三角形。,O,是,ABC,的,圆，,点,O,叫,ABC,的,，,它是三角形,的交点。,外接,内接,外心,三边垂直平分线,2.,如图2，,DEF,是,I,的,三角形，,I,是,DEF,的,圆，,点,I,是,DEF,的,心，,它是三角形,的交点。,A,B,C,O,图1,I,D,E,F,图2,外切,内切,内,三个角的平分线,D,E,F,G,.,O,3.,如上图，四边形,DEFG,是,O,的,四边形，,O,是四边形,DEFG,的,圆.,内切,外切,例,2,已知：如图,ABC,的内切圆,O,与,BC,、,CA,、,AB,分别相交于点,D,、,E,、,F,，且,AB,9,厘米，,BC,14,厘米,CA,13,厘米,求,AF,、,BD,、,CE,的长,。,A,E,C,D,B,F,O,（2）若,A=80,，,则,BOC=,度。,（3）若,BOC=100,，,则,A=,度。,解:,130,20,（1）,点,O,是,ABC,的内心，,BOC=180(1 3),=180(25 35),练习,1.,如图，在,ABC,中，点,O,是内心，（1）若,ABC=50，ACB=70，,求,BOC,的度数,A,B,C,O,=120,),1,(,3,2,),4,(,同理,3=4=ACB=,70,=35,1=2=ABC=,50,=25,理由：点,O,是,ABC,的内心，,1 3=（ABC+ACB）,1=ABC，3=ACB,=180（90 A）,=（180 A）,=90+,A,=90 A,答：,BOC=90 +A,（4）试探索：,A,与,BOC,之间存在怎样的数量关系？请说明理由。,A,B,C,O,),1,(,3,2,),4,(,在,OBC,中，,BOC=180（1 3）,练习,2,：,ABC,的内切圆的半径为,r,，,ABC,周长为,L,，,求,ABC,的面积,S,。,C,O,B,A,D,E,F,三角形面积,（,L,为三角形周长，,r,为内切圆半径）,rL,S,2,1,=,r,练习,3.,如图，ABC中，O是内心，A的平分线和ABC的外接圆相交于点D.,求证：DODB,证明：连接BO，,AD是,B,AC的平分线,1=,2，,同理,3=,4，,而,BOD=,1+,3，,OBD=,4+,5，,又,2=,5，,BOD=,OBD.,DO=DB.,