第五讲_原函数与不定积分_柯西积分公式_解析函数的高阶导数课件

Click to edit Master title style,Click to edit Master text styles,Second level,Third level,Fourth level,Fifth level,11/7/2009,#,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第五讲,原函数与不定积分Cauchy积分公式解析函数的高阶导数,第五讲 原函数与不定积分Cauchy积分公式解析,1.原函数与不定积分的概念,2.积分计算公式,3.4 原函数与不定积分,1.原函数与不定积分的概念3.4 原函数与不定积分,1.原函数与不定积分的概念,由2基本定理的推论知：设,f,(,z,)在单连通区域B内解析，则对B中任意曲线C,积分,c,fdz,与路径无关，只与起点和终点有关。,当起点固定在,z,0,终点,z,在B内变动,c,f,(,z,),dz,在B内就定义了一个变上限的单值函数，记作,定理,设,f,(,z,)在单连通区域B内解析，则,F,(,z,)在,B内解析，且,1.原函数与不定积分的概念 由2基本定理的,定义,若函数,(,z,),在区域B内的导数等于,f,(,z,),，即,称,(,z,),为,f,(,z,),在B内的原函数.,上面定理表明 是,f,(,z,),的一个,原函数。,设,H,(,z,)与,G,(,z,)是,f,(,z,)的任何两个原函数，,这表明：,f,(,z,),的任何两个原函数相差一个常数。,(见第二章2例3),定义 若函数(z)在区域B内的导数等于f(z)，,2.积分计算公式,定义,设,F,(,z,)是,f,(,z,),的一个原函数，称,F,(,z,)+c(c为,任意常数)为,f,(,z,)的不定积分，记作,定理,设,f,(,z,)在单连通区域B内解析，,F,(,z,)是,f,(,z,),的一个原函数，则,此公式类似于微积分学中的牛顿莱布尼兹公式.,但是要求函数是,解析,的,比以前的,连续,条件要强,2.积分计算公式定义 设F(z)是f(z)的一个原,例1,计算下列积分：,解1),例1 计算下列积分：解1),解2),解2),例3,计算下列积分：,例3 计算下列积分：,小结 求积分的方法,小结 求积分的方法,利用Cauchy-Goursat基本定理在多连通域上,的推广,即复合闭路定理,导出一个用边界值表示解,析函数内部值的积分公式,该公式不仅给出了解析,函数的一个积分表达式，从而成为研究解析函数,的有力工具，而且提供了计算某些复变函数沿闭,路积分的方法.,内 容 简 介,3.5 Cauchy积分公式,利用Cauchy-Goursat基本定理在,分析,D,C,z,0,C,1,分析DCz0C1,D,C,z,0,C,1,猜想积分,DCz0C1猜想积分,定理(,Cauchy,积分公式),证明,定理(Cauchy 积分公式)证明,第五讲_原函数与不定积分_柯西积分公式_解析函数的高阶导数课件,一个解析函数在圆心处的值等于它在,圆周上的平均值.,一个解析函数在圆心处的值等于它在,例1,解,例1解,例2,解,C,C,1,C,2,1,x,y,o,例2解CC1C21xyo,例3,解,例3解,内 容 简 介,本节研究解析函数的无穷次可导性，并导出高阶导数计算公式。研究表明：一个解析函数不仅有一阶导数，而且有各阶导数，它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示。这一点与实变函数有本质区别。,6 解析函数的高阶导数,内 容 简 介 本节研究解析函数的无穷次可导,形式上，,以下将对这些公式的正确性加以证明。,形式上，以下将对这些公式的正确性加以证明。,定理,证明,用数学归纳法和导数定义。,定理证明 用数学归纳法和导数定义。,令为I,令为I,第五讲_原函数与不定积分_柯西积分公式_解析函数的高阶导数课件,依次类推，用数学归纳法可得,依次类推，用数学归纳法可得,一个解析函数的导数仍为解析函数。,一个解析函数的导数仍为解析函数。,例1,解,例1解,第五讲_原函数与不定积分_柯西积分公式_解析函数的高阶导数课件,第五讲_原函数与不定积分_柯西积分公式_解析函数的高阶导数课件,作业,P100 7(3)(5)(7)(9)8(1)(2)9(3)(5),作业P100 7(3)(5)(7)(9)8(1)(2,