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第 六 章 ： 平 行 四 边 形 四 边 形 平 行 四 边 形一 般 四 边 形 一 般 的 平 行 四 边 形特 殊 的平 行 四 边 形 菱 形矩 形正 方 形三 角 形 的 中 位 线 及 其 定 理 平 行 四 边 形 性 质 文 字 语 言 叙 述 几 何 符 号 表 述 对 边 平 行 且 相 等 对 角 相 等 ， 邻 角 互 补 对 角 线 互 相 平 分 在 ABCD中 四 边 形 ABCD是 ABCDA B CD O AB=CDAD=BC AB CDAD BC A C， = A+ B=1800OA=OCOB=OD判 别 两 组 对 边 分 别 平 行 的 两 组 对 边 分 别 相 等 的 一 组 对 边 平 行 且 相 等 的 对 角 线 互 相 平 分 的 四 边 形 平 行 四 边 形 在 四 边 形 ABCD中 1、 在 ABCD中 ， 已 知 AB=8， AO=3， B=50 则 CD=_， AC=_ A=_， D=_ AB C DAB C DO2、 在 ABCD中 ， A+ C= 150 那 么 A=_， D=_ 3、 在 ABCD中 ， A: B= 5:4， 那 么 B=_， C=_ 4、 请 在 横 线 上 写 出 结 论 ， 在 括 号 里 填 理 由 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 _( )8130 675 5010580 100 平 行 四 边 形 的 特 征 (5个 ,详 见 前 知 识 点 ) 矩 形定 义 ： 有 一 个 内 角 是 直 角 的 平 行 四 边 形 是 矩 形性 质 对 称 性 ： 是 轴 对 称 图 形判 别 （ 2） 有 三 个 角 都 是 直 角 的 四 边 形（ 4） 对 角 线 互 相 平 分 且 相 等 的 四 边 形（ 1） 有 一 个 角 是 直 角 的 平 行 四 边 形（ 3） 对 角 线 相 等 的 平 行 四 边 形 矩形A BCD O边 ： 对 边 平 行 且 相 等 对 角 线 ： 对 角 线 相 等 且 互 相 平 分 角 ： 四 个 角 都 是 直 角 A CDOB1、 如 图 ， 在 矩 形 ABCD中 ， AC、 BD相 交 于 点 O， AOB= 60 ， AB=6， 则 AC=_2、 已 知 矩 形 的 周 长 是 24， 相 邻 两 边 之 比 是 1： 2， 那 么 这 个 矩形 的 面 积 是 _3、 矩 形 的 两 条 对 角 线 的 夹 角 为 60 ， 一 条 对 角 线 与 短 边 的 和为 15， 则 短 边 长 为 _ A CDOB4、 请 在 横 线 上 写 出 原 因 ， 在 括 号 里 填 理 由 四 边 形 ABCD是 矩 形 _ ( )1232 5 5、 矩 形 具 有 而 一 般 的 平 行 四 边 形 不 具 有 的 性 质 是 ( ) A、 对 角 相 等 B、 对 边 相 等 C、 对 角 线 相 等 D、 对 角 线 互 相 平 分6、 把 一 张 长 方 形 的 纸 条 按 图 那 样 折 叠 ， 若 得 到 AME 70o ， 则 EMN （ ） A、 45o B、 50o C、 55o D、 60o N M FE D C B A7、 如 图 ， 矩 形 ABCD沿 AE折 叠 ， 使 D点 落 在 BC边 上 的 F点 处 ，如 果 BAF=60 ， 那 么 DAE等 于 （ ） A 15 B 30 C 45 D 60 AC C 菱 形 定 义 ： 有 一 组 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 是 菱 形性 质判 别 有 一 组 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 四 条 边 都 相 等 的 四 边 形 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 的 四 边 形 对 角 线 互 相 垂 直 的 平 行 四 边 形 菱形A B CDO边 ： 四 条 边 都 相 等 ， 对 边 平 行 对 角 线 ： 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 对 称 性 ： 即 是 轴 对 称 图 形 ， 又 是 中 心 对 称 图 形 角 ： 对 角 相 等 ， 邻 角 互 补 A B CDO1、 如 图 ， 在 菱 形 ABCD中 ， AB=10， OA=8，OB=6， 则 菱 形 的 周 长 是 _， 面 积 是_2、 如 图 ， 在 菱 形 ABCD中 ， B= 120 ， 则 DAC=_ A B CDA B CD3、 菱 形 的 一 个 内 角 为 120 ， 较 短 的 对 角 线 长为 10， 那 么 菱 形 的 周 长 是 _2两 对 角 线 之 积菱 形 面 积 96 4030 40 4、 菱 形 有 而 一 般 的 平 行 四 边 形 不 具 有 的 性 质 是 ( )A、 对 角 相 等 B、 对 角 线 互 相 平 分C、 对 边 平 行 且 相 等 D、 对 角 线 互 相 垂 直5、 如 图 ， 小 强 拿 一 张 正 方 形 的 纸 （ 图 (1)） ， 沿 虚 线 对 折一 次 得 图 （ 2） ， 再 对 折 一 次 得 图 （ 3） ， 然 后 用 剪 刀 沿 图 （ 3）中 的 虚 线 剪 成 两 部 分 ， 再 把 所 得 的 三 角 形 的 部 分 打 开 后 的形 状 一 定 是 （ ）A 一 般 的 平 行 四 边 形 B、 菱 形 C、 矩 形 D、 正 方 形 (1) (2) (3) DB 正 方 形定 义 ： 一 组 邻 边 相 等 且 有 一 个 角 是 直 角 的 四 边 形 叫 正 方 形性 质判 别 先 判 定 四 边 形 是 矩 形 ；再 判 定 这 个 矩 形 是 菱 形 先 判 定 四 边 形 是 菱 形 ；再 判 定 这 个 菱 形 是 矩 形 A BCD O对 称 性 ： 即 是 轴 对 称 图 形 又 是 中 心 对 称 图 形边 ： 四 条 边 都 相 等 ， 对 边 平 行 对 角 线 ： 对 角 线 相 等 且 互 相 垂 直 平 分 角 ： 四 个 角 都 是 直 角 A O DCB1、 如 图 ， 已 知 正 方 形 ABCD对 角 线 交 于 点 O，则 BOC=_2、 如 图 ， 以 定 点 A、 B为 其 中 两 个 顶 点 作 为 正 方 形 ，一 共 可 以 作 （ ）A、 4个 B、 3个 C、 2个 D、 1个 ABB90 三 角 形 的 中 位 线 的 性 质 ：三 角 形 的 中 位 线 平 行 于 第 三 边 ，并 且 等 于 它 的 一 半 。数 学 语 言 ： 在 ABC中 ， D 、 E分 别 是 AB 、 AC的 中 点 . DE BC, DE= BC21 AB CD E 平 行 四 边 形矩 形 菱 形正方形平 行 四 边 形 、 矩 形 、 菱 形 、 正 方 形 之 间 关 系 二 、 几 种 特 殊 四 边 形 的 性 质 平 行四 边 形矩 形菱 形正 方 形 边对 边 平 行 且 相 等对 边 平 行且 相 等对 边 平 行 ， 四条 边 都 相 等 对 边 平 行 ， 四 条 边 都 相 等 角对 角 相 等 ，邻 角 互 补 四 个 角都 是 直 角对 角 相 等 ,邻 角 互 补 四 个 角都 是 直 角 对 角 线对 角 线 互 相 平 分对 角 线 相 等 且 互 相 平 分对 角 线 互 相 垂 直 平 分 ，每 条 对 角 线 平 分 一 组 对 角对 角 线 互 相 垂 直 平 分 且相 等 ， 每 条 对 角 线 平 分一 组 对 角 对 称 性 轴 对 称 图 形（ 2条 ） 轴 对 称 图 形（ 2条 ） 轴 对 称 图 形（ 4条 ） 三 、 特 殊 四 边 形 的 常 用 判 定 方 法 平 行 四 边 形 （ 1） 两 组 对 边 分 别 平 行 ；（ 2） 两 组 对 边 分 别 相 等 ； （ 3） 两 组 对 角（ 4） 对 角 线 互 相 平 分 ； （ 5） 一 组 对 边 平 行 且 相 等矩 形 （ 1） 有 一 个 角 是 直 角 的 平 行 四 边 形 是 矩 形 ；（ 2） 有 三 个 角 是 直 角 的 四 边 形 是 矩 形 ； （ 3） 对 角 线 相 等 的 平 行 四 边 形 是 矩 形 。 菱 形 （ 1） 有 一 组 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 ；（ 2） 四 条 边 都 相 等 的 四 边 形 是 菱 形 ； （ 3） 对 角 线 互 相 垂 直 的 平 行 四 边 形 是 菱 形 。 正 方 形 （ 2） 有 一 组 邻 边 相 等 的 矩 形 是 正 方 形 ；（ 3） 有 一 个 角 是 直 角 的 菱 形 是 正 方 形 。分 别 相 等 ; （ 1） 有 一 个 角 是 直 角 且 有 一 组 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 是 正 方 形 ； 巩 固 练 习（ 一 ） 判 断 题 ：1.平 行 四 边 形 的 对 角 线 相 等 ； （ ）2.矩 形 的 四 个 角 都 相 等 ； （ ）3.菱 形 的 对 角 线 互 相 垂 直 平 分 ； （ ）4.有 一 个 角 是 直 角 且 邻 边 相 等 的 平 行 四 边 形 是 正 方 形 ； （ ）5.一 组 对 边 平 行 且 相 等 的 四 边 形 是 平 行 四 边 形 ； （ ）6.对 角 线 相 等 的 四 边 形 是 矩 形 ； （ ） （ 二 ） 选 择 题 ： D2.正 方 形 具 有 而 菱 形 不 一 定 具 有 的 性 质 是 （ ） 。 (A)对 角 线 互 相 平 分 。 (B)对 角 线 相 等 。（ C） 对 角 线 平 分 一 组 对 角 。 (D)对 角 线 互 相 垂 直 。B3.顺 次 连 结 四 边 形 各 边 中 点 所 得 到 的 四 边 形 一 定 是 （ ）(A)矩 形 。 (B)正 方 形 。 (C ) 菱 形 。 (D)平 行 四 边 形 D4.内 角 和 等 于 外 角 和 的 多 边 形 是 （ ）(A) 三 角 形 。 (B)四 边 形 。 (C )五 边 形 。 (D)六 边 形 。B 5.下 列 性 质 中 ， 平 行 四 边 形 不 一 定 具 备 的 是 （ ）(A)对 角 相 等 。 (B)邻 角 互 补 。 (C )对 角 互 补 。 (D)内 角 和 是 360 。C(A)一 组 对 边 平 行 ， 另 一 组 对 边 也 平 行 ； (B)一 组 对 角 相 等 ， 另 一 组 对 角 也 相 等 ；1.下 面 判 定 四 边 形 是 平 行 四 边 形 的 方 法 中 ， 错 误 的 是 （ ） 。(C )一 组 对 边 相 等 ， 另 一 组 对 边 也 相 等 ； (D)一 组 对 边 平 行 ， 另 一 组 对 边 相 等 6.能 够 判 定 一 个 四 边 形 是 平 行 四 边 形 的 条 件 是 （ ）(A)一 组 对 角 相 等 。 (B)两 条 对 角 线 互 相 平 分 。(C )两 条 对 角 线 互 相 垂 直 。 (D)一 对 邻 角 的 和 为 180 。B7.不 能 判 定 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 的 条 件 是 （ ）/(A) AB =CD, AD =BC。 (B) BC AD。(C ) AB/DC, AD/BC。 (D) AB =CD， AD/BC。 D 例 1 如 图 ， E， F是 平 行 四边 形 ABCD的 对 角 线 AC上 的点 ， CE=AF， 请 你 猜 想 ：BE与 DF有 怎 样 的 关 系 ？并 对 你 的 猜 想 加 以 证 明 AB C DE F典 型 例 题 ： AB C DE F证 法 1： 四 边 形 ABCD是 平 行 四边 形 BC=AD， 1= 2在 BCE与 DAF中 BC=AD 1= 2 CE=AF BCE DAF BE=DF， 3= 4 BE DF AB C DE F123 4 猜 想 ：BE DF,BE=DF证 法 2： 连 接 BD， 交 AC于 点 O，连 接 DE,BF 四 边 形 ABCD是 平 行 四 边 形 BO=OD, AO=CO又 AF=CE AF-AO=CE-CO 即 EO=FO 四 边 形 BEDF是 平 行 四 边 形 BE=DF， BE DFo EM ND CB A 1234例 2如 图 ， 在 ABC中 ， AB=AC,AD BC,垂 足 为 点 D， AN是 三 角 形 外 角 CAM的 平 分 线 ， CE AN,垂 足 为 点 E.（ 1） 求 证 ： 四 边 形 为 矩 形 ；（ 2） 当 满 足 什 么 条 件 时 ， 四 边 形 是 正 方 形 ？证 明 你 的 结 论 。 第 七 章 ： 实 数 复 习 目 标1了 解 无 理 数 与 实 数 的 概 念 ， 学 会 区 分 无 理 数与 有 理 数 ,会 对 实 数 进 行 分 类2了 解 算 术 平 方 根 ， 平 方 根 ， 立 方 根 的 概 念 ，会 用 根 号 表 示 数 的 平 方 根 立 方 根 ， 掌 握 三者 的 区 别3掌 握 勾 股 定 理 及 其 逆 定 理 的 内 容 。 会 用 勾 股定 理 解 决 实 际 问 题 ， 会 用 逆 定 理 判 定 直 角三 角 形 （ 难 点 ） 算 术 平 方 根负 的 平 方 根 你 知 道 算 术 平 方 根 、 平 方 根 、 立 方 根 联 系 和 区 别 吗 ？算 术 平 方 根 平 方 根 立 方 根表 示 方 法a的 取 值性质 a 3 aa 0 a 是 任 何 数开方 a 0a正 数0负 数 正 数 （ 一 个 ）0没 有 互 为 相 反 数 （ 两 个 ）0没 有 正 数 （ 一 个 ）0负 数 （ 一 个 ）求 一 个 数 的 平 方 根的 运 算 叫 开 平 方 求 一 个 数 的 立 方 根的 运 算 叫 开 立 方是 本 身 0,1 0 0,1,-1 实数 有 理 数无 理 数 分 数整 数 正 整 数 0负 整 数正 分 数负 分 数 自 然 数正 无 理 数负 无 理 数无 限 不 循 环 小 数有 限 小 数 及 无 限 循 环 小 数一 般 有 三 种 情 况 、)1( 开 不 尽 的 数”“”“2 3，、 00010100100010.0)3( 类 似 于、 _64 _99练 习 ： 1、 8是 的 平 方 根 , 64的 平 方 根 是 ； 的 平 方 根 是 。2、 的 立 方 根 是 （ ） ， 的 平 方 根 是 （ ）3.当 x _ 时 ， 2x-1没 有 平 方 根4.一 个 正 数 x的 两 个 平 方 根 分 别 是 a+1和 a-3,则 a= ,x= 0.51 464 88 -4 323 3-64的 立 方 根 是 _ 64 81 1、 判 断 下 列 说 法 是 否 正 确 ：1.实 数 不 是 有 理 数 就 是 无 理 数 。 （ ）2.无 限 小 数 都 是 无 理 数 。 （ ）3.无 理 数 都 是 无 限 小 数 。 （ ）4.带 根 号 的 数 都 是 无 理 数 。 （ ） 5.两 个 无 理 数 之 和 一 定 是 无 理 数 。 （ ）6.所 有 的 有 理 数 都 可 以 在 数 轴 上 表 示 ， 反 过 来 ，数 轴 上 所 有 的 点 都 表 示 有 理 数 。 （ ）7.平 面 直 角 坐 标 系 中 的 点 与 有 序 实 数 对 之 间 是一 一 对 应 的 。 （ ） ,41,23 ,7, ,25 ,2 ,320,5 ,83,94 ,0 3737737773.0 （ 相 邻 两 个 3之 间 的 7的 个 数 逐 次 加 1）,8 3,41 ,25,94 ,0 ,23 ,7 , ,2 ,320,5 3737737773.0 不要遗漏 3.解 方 程 ： 4)3(9 2 y 323312 yy 或当 方 程 中 出 现 平 方 时 ， 若 有 解 ， 一 般 都 有两 个 解 01253227 3 ）（ x 1x当 方 程 中 出 现 立 方 时 ， 一 般 都 有 一 个 解(1).解 : 94)3( 2 y (2).解 : 125)32(27 3 x 27125)32( 3 x 3 2712532 x 3532x943 y 323y xx 22 24、 若 ， 则 x的 取 值 范 围 是 _ 5 cba 、 位 置 如 图 所 示 ，试 化 简 22)1( cbacbaa x2解 ： 原 式 -a-(b-a)+(c-a)-(c-b)=-a-b+a+c-a-c+b=-a 115 115_nm则6、 已 知 的 小 数 部 分 为 m,，的 小 数 部 分 为 n 1 1114311m 11-4n 11-4111-5 211-51 3-11-4- 4113 3-11m 3-118115 911584113 n ， 小 数 部 分 是的 整 数 部 分 是 ， 小 数 部 分 是的 整 数 部 分 是解 ： ba, 01332532 2 baba8、 已 知 等 腰 三 角 形 的 两 边 长 满 足， 求 三 角 形 的 周 长解 ： 由 题 意 ， 得 2a-3b+5=02a-3b-13=0 解 得 ： a=2b=3所 以 等 腰 三 角 形 的 三 边 为 2， 2， 3或 2， 3， 3所 以 ， 三 角 形 的 周 长 为 7或 87、 计 算 ： 3 31.44 0.16 1 8 （ 1） 解 ： 原 式 1.2+0.4+1-2 0.630 6425|3|)2( )538( 解 ： 原 式 3+5-1+4 11 aaa 43 a9、 已 知 ， 求 的 值 。10、 已 知 322 xxy ， 求 y-x的 算 术平 方 根解 ： 由 题 意 得 ： a-40 解 得 a4 a-3+ aa 4 34 a a-4=9 a=13解 ： 由 题 意 ， 得 ： X-202-x0解 得 ： x2x2 x=2当 x=2时 ， y=3 123 xy 勾 股 定 理 逆 定 理两 直 角 边 的 平 方和 等 于 斜 边 的 平方 即 cba 222 若 三 角 形 的 三边 满 足 则 三 角 形 是 直角 三 角 形 cba 222 是 直 角 三 角 形的 性 质 用 来 判 定 三 角形 是 否 是 直 角三 角 形内容用途 勾 股 定 理 与 逆 定 理 典 型 题 目1、 张 大 爷 家 屋 前 9米 远 处 有 一 棵 大 树 。在 一 次 强 风 中 ， 这 棵 大 树 从 离 地 面 6米 处折 断 倒 下 ， 量 得 倒 下 部 分 的 长 是 10米 。大 树 倒 下 时 能 砸 到 张 大 爷 的 房 子 吗 ？ 请你 通 过 计 算 、 分 析 后 给 出 正 确 的 答 案 10 6 3、 直 角 三 角 形 两 条 直 角 边 的 长 为1和 ， 求 斜 边 上 的 高 。 57或2、 三 角 形 三 边 a,b,c满 足 则 此 三 角 形 为 _. 022 )8()( 22 cba b等 腰 直 角 三 角 形 23 在 Rt ABC其 中 两 边 a,b满 足 则 此 三 角 形 c边 长 为 _. 04b3 a3 4、 已 知 ： 如 图 ， 四 边 形 ABCD中， B 900， AB 3， BC 4，CD 12， AD 13,求 四 边 形ABCD的 面 积 ?AB C DS四 边 形 ABCD=363 4 12 135 S四 边 形 ABCD=？ 一 、 知 识 导 图不 等 号 的 两 边 都 是 整式 ,而 且 只 有 一 个 未 知数 ,未 知 数 的 最 高 次 数 是 一 次 数 轴 、定 点 、定 方 向 用 不 等 号 连 接而 成 的 数 学 式子 叫 做 不 等 式 一 、 知 识 点 总 结 ： 1、 不 等 号 ： 表 示 不 等 关 系 的 符 号 称 为 不 等 号 。 一 般 包 括 “ ”、“ 大 于 左 边 的 量 大 于 右 边 的 量 32小 于 号 小 于 左 边 的 量 小 于 右 边 的 量 -5 2.不 等 式 :用 不 等 号 连 接 起 来 的 式 子 . 例 用 适 当 的 符 号 表 示 下 列 关 系 : (1)a的 2倍 比 8小 ; (2)y的 3倍 与 1的 和 大 于 3; (3).x除 以 2的 商 加 上 2至 多 为 5; (4).a与 b两 数 和 的 平 方 不 大 于 2. (5).x与 y的 差 为 非 正 数 ; (6).a与 4的 和 不 小 于 2.注 ： 列 不等 式 与 列等 式 一 样 。 3.不 等 到 式 的 基 本 性 质 :性 质 1:不 等 式 的 两 边 都 加 上 (或 减 去 )同 一 个 整 式 ,不 等 号 的方 向 不 变 .性 质 2:不 等 式 的 两 边 都 乘 以 (或 除 以 )同 一 个 正 数 ,不 等 号 的方 向 不 变 .性 质 3:不 等 式 的 两 边 都 乘 以 (或 除 以 )同 一 个 负 数 ,不 等 号的 方 向 改 变 .例 : (1).由 a0; B.m0; C.m0; D.m0.D(2).下 列 变 形 中 正 确 的 是 ( )A.由 ab,得 ; B.由 mn,得 mxb,得 -2+3a-2+3b; D.由 7x3x-2,得 x-3的 解 ？ 4呢 ？解 ： 当 X=-2时 ,2x-1=2 (-2)-1=5-3,即 不 等 式 左 边 -3.的 解 .当 x=4时 ,2x-1=2 4-1=7-3,即 不 等 式 左边 右 边 ,所 以 x=4是 不 等 式 2x-1-3的 解 .5、 不 等 式 的 解 集 ： 一 个 含 有 未 知 数 的 不 等 式 的 所 有 解 ，组 成 了 这 个 不 等 式 的 解 集 。例 ： x5是 不 等 式 3x-52x的 解 集 ， 则 下 列 说 法 正 确 的 有（ ） 个 。 5是 不 等 式 3x-52x的 一 个 解 ； 0是 不 等 式 3x-52x的 一 个 解 ； x4也 是 不 等 式 3x-52x的 解 集 ； 所 有 小 于 4的 数 都 是 不 等 式3x-52x的 解 。剖 析 ： x5是 不 等 式 3x-52x的 解 集 ， 说 明 任 何 一 个 小 于 5的 数 都 是不 等 式 3x-52x的 一 个 解 ， 当 然 小 于 4的 值 也 一 定 是 不 等 式 3x-52x 的 解 ， 但 xa或 xa或 xa xa xa xaa a a a大 于 向 右 画 ,小 于 向 左 画 .例 : 1.关 于 x的 不 等 式 2x-a-1的 解 集 如 图 所 示 ,则 a的 取 值 是 ( )A.0; B.-3; C.-2; D.-1 0-1-2-3-4 1 2 3 D2.如 图 ,表 示 的 是 不 等 式 的 解 集 ,或 中 错 误 的 是 ( ) 0 1-1-2x-1 0-2 1 2-1x0A B C D用 数 轴 表 示 不 等 式 的 一 般 步 骤 ;(1)画 数 轴 ;(2)定 界 点 ;(3)定 方 向 .C 8、 不 等 式 解 集 中 最 值 问 题 ：对 于 不 等 式 xa的 解 集 有 最 小 值 ， 最 小 值 为 x=a； 对 于不 等 式 xa的 解 集 有 最 大 值 ， 最 大 值 为 x=a， 而 不 等 式xa的 解 集 没 有 最 小 值 ， xa没 有 最 大 值 。例 ： x2时 x的 最 小 值 是 a， x5时 x的 最 大 值 是 b， 试 求ba的 值 。解 ： 根 据 已 知 条 件 ， 得 a=2,b=5则 ba=52=259、 一 元 一 次 不 等 式 ：不 等 式 的 左 右 两 边 都 是 整 式 ， 只 含 有 一 个 未 知 数 ， 并 且 未知 数 的 最 高 次 数 是 1， 像 这 样 的 不 等 式 ， 叫 做 一 元 一 次 不等 式 。 解 一 元 一 次 不 等 式 和 解 一 元 一 次 方 程 类 似 ,有 去 分 母 去 括 号 移 项 合 并 同 类 项 系 数 化 为 1等 步 骤 . 与 一 元 一 次 方 程 解 法 区 别 在 哪 里 ?在 系 数 化 为 1的 这 一 步 中 ,要 特 别 注 意 不 等 式 的 两边 都 乘 以 (或 除 以 )一 个 负 数 时 ,不 等 号 的 方 向 必 须改 变 方 向 .10、 一 元 一 次 不 等 式 的 解 法 8x-415x-608x-15x-60+4 -7x-56 x8去 分 母 得 :去 括 号 得 :移 项 得 :合 并 同 类 项 得 :化 系 数 为 1得 : 与 解 一 元 一 次方 程 方 法 类 似解 : 同 乘 最 简公 分 母 12,方 向 不 变同 除 以 -7,方 向 改 变2 1 51. 5,3 4 .x x 解 不 等 式并 把 它 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来)545(12)12(4 xx0 1 2-1 3 4 5 6 7 8例 ： 2求 不 等 式 3x+14x-5的 正 整 数 解 移 项 得 :合 并 同 类 项 得 :化 系 数 为 1得 :解 : 3x 4x-5-1 x -6x6所 以 不 等 式 的 正 整 数 解 为 ：1、 2、 3、 4、 5、 6 练 习 1.解 下 列 不 等 式 ， 并 把 它 们 的 解 集 在 数 轴 上 表 示 出 来 。(1).2(5x+3) x-3(1-2x)11)(x22x(2). 5x456 110 x3 12x(3). 2.不 等 式 2x-70,kx+b0?(2).x取 何 值 时 ,x+32? y -5 -1-2-3-4 1 2 3 4 x1234-1-2 解 :(1).当 x-3时 ,x+30;(2).当 x-3时 ,x+3-1时 ,x+32; 12、 利 用 两 个 一 次 函 数 的 图 象 求 一 元 一 次 不 等 式 的 解 集 ：对 于 两 个 一 次 函 数 y1=k1x+b1和 y2=k2x+b2， 若 比 较 y1与 y2的 大 小 ，则 为 比 较 k1x+b1与 k2x+b2的 大 小 ， 即 为 求 不 等 式 k1x+b1k2x+b2（ 或 k1x+b1y2， 则 一 次 函数 y1=k1x+b1的 图 象 在 一 次 函 y2=k2x+b2的 图 象 的 上 方 ， 从 而 找 出对 应 的 x的 取 值 范 围 即 可 ； 若 y1y2（ 3） 、 当 x取 何 值 时 ， y1y2? y-5 -1-2-3-4 1 2 3 4 x1234-1-2解 ： （ 1） x=1;(2).x1 Y1=x+1 13、 一 元 一 次 不 等 式 组 ：一 般 地 ， 关 于 同 一 未 知 数 的 几 个 一 元 一 次 不 等 式 合 在 一 起 ， 就 组成 一 个 一 元 一 次 不 等 式 组 。14、 一 元 一 次 不 等 式 组 的 解 集 ：一 般 地 ， 一 元 一 次 不 等 式 组 中 各 个 不 等 式 解 集 的 公 共 部 分 ， 叫 这 个一 元 一 次 不 等 式 组 的 解 集 。15、 一 元 一 次 不 等 式 组 的 解 集 的 取 法 ：最 简 不 等 式 组 （ aaxbxaxaxbxb a ba ba ba b xbxaaxb无 解 同 大 取 大同 小 取 小大 小 小 大 取 中 间大 大 小 小 解 不 了 16、 一 元 一 次 不 等 式 组 的 解 法 ：步 骤 ： （ 1） 先 分 别 解 不 等 式 组 中 的 每 一 个 不 等 式 ， 分 别 求出 它 们 的 解 集 ；（ 2） 将 每 个 不 等 式 的 解 集 在 同 一 条 数 轴 上 表 示 出 来 ， 找出 它 们 的 公 共 部 分 ， 注 意 ： 公 共 部 分 可 能 没 有 ， 也 可 能 是一 个 点 。（ 3） 根 据 公 共 部 分 写 出 不 等 式 组 的 解 集 ， 若 没 有 公 共部 分 ， 则 说 明 不 等 式 组 无 解 。特 别 注 意 ： 用 数 轴 表 示 不 等 式 的 解 集 时 ， ” 、 “ 用 空 心 ， ” 、 “ 用 实 心 。 ” 、 “ 向右 画 ， ” 、 “ 向 左 画 。 例 1： 解 不 等 式 组 : 33)4(2 5453 12 xx xx由 不 等 式 得 : x8由 不 等 式 得 : x5 原 不 等 式 组 的 解 集 为 :5x8解 : 0 1 2-1 3 4 5 6 7 8 与 解 方 程 组 的方 法 完 全 不 同 2.求 不 等 式 组 的 整 数 解 .2 1 51( 2) 32xx 解 : 0 4由 不 等 式 得 : x 2由 不 等 式 得 : x4 不 等 式 组 的 解 集 为 :2 x41 2-1 3 5 6 7 8不 等 式 组 的 整 数 解 为 ： 3、 4 练 习 ： 解 下 列 不 等 式 组 ： 112x 43x(1). x242x1 42)3(xx(2). 4 1x3x 13x1)2(x(3). 32xx31 45x13x(4). 不 等 式 (组 )在 实 际 生 活 中 的 应 用 当 应 用 题 中 出 现 以 下 的 关 键 词 ,如 大 ,小 ,多 ,少 ,不 小 于 ,不 大 于 ,至 少 ,至 多 等 ,应 属 列 不 等 式(组 )来 解 决 的 问 题 ,而 不 能 列 方 程 (组 )来 解 . （ 1） 、 利 用 不 等 式 解 决 方 案 设 计 问 题 ：例 1： 某 校 在 “ 五 一 ” 期 间 组 织 学 生 外 出 旅 游 ， 如 果 单 独 租 用 45座的 客 车 若 干 辆 ， 恰 好 坐 满 ； 如 果 单 独 租 用 60座 的 客 车 ， 可 少 租 一 辆 ，并 且 有 一 辆 不 空 也 不 满 。（ 1） 求 外 出 旅 游 的 学 生 人 数 是 多 少 ？（ 2） 已 知 45座 客 车 座 客 车 每 辆 租 金 250元 ， 60座 客 车 每 辆 租 金 300元 ， 为 了 节 省 租 金 ， 并 保 证 每 个 学 生 都 能 有 座 ， 决 定 怎 样 租 用 客 车 ，使 得 租 金 最 少 ？解 ： 设 单 独 租 用 45座 的 客 车 x辆 ， 则 单 独 租 用 了 （ x-1）辆 60座 的 客 车 。 根 据 题 意 得 ：045x-60(x-2)60 解 得 :4x8所 以 学 生 数 为 ： 45 5=225人 、 45 6=270人 或 45 7=315人 。 例 2： 某 单 位 急 需 用 车 ， 但 以 不 准 备 买 车 ， 他 们 准 备 和 一 个 个 体 车 主 或 一 国 营 出租 车 公 司 中 一 家 签 订 月 租 车 合 同 ， 设 汽 车 每 月 行 驶 x千 米 ， 应 付 给 个 体 车 主 有 月租 费 用 是 y1元 ， 应 付 给 国 营 出 租 车 公 司 的 月 租 费 用 是 y2元 ， y1、 y2分 别 与 x之 间的 函 数 关 系 （ 两 条 射 线 ） 如 图 所 示 ， 回 答 下 列 问 题 ：（ 1） 分 别 写 出 y1、 y2与 x的 函 数 关 系 式 ？ （ 2） 每 月 行 驶 的 路 程 在 什 么 范 围 内 ，租 国 营 出 租 车 公 司 的 车 合 算 ？ 在 什 么 范 围 内 租 个 体 车 主 的 车 合 算 ？ （ 3） 每 月 行驶 的 路 程 是 多 少 千 米 时 ， 租 两 家 车 的 费 用 相 同 ？ （ 4） 如 果 这 个 单 位 估 计 每 月 行驶 的 路 程 为 2300米 ， 那 么 这 个 单 位 租 哪 家 的 车 合 算 ？ 1000200030002500 5001000 1500 2000 x（ 千 米 ）y(元 ）O 解 ： 设 y1与 x之 间 的 函 数 关 系 式 为 y1=k1x+b,由 于 该 函 数 图 象 过 (0,1000),(1500,2500)， 所以 有所 以 y1=x+1000。 设 y2与 x之 间 的 函 数 关 系 式为 y2=k2x， 由 于 该 函 数 图 象 过 （ 1500，3000） ， 所 以 1500k2=3000所 以 k2=2,所 以y2=2x;(2)根 据 题 意 ， 得 y2y1， 即b=10001500k1+b=2500 k1=1b=1000解 得2xx+1000， 解 得 xy1， 即 2xx+1000， 解 得 x1000。 所 以 当 每 月 行 驶 的 路 程小 于 1000千 米 时 ， 租 国 营 出 租 四 公 司 的 车 合 算 ； 当 每 月 行 驶 的 路 程 大 于 1000千 米 时 ， 租个 体 车 主 和 车 合 算 ； （ 3） 由 题 意 得 y1=y2， 即 2x=x+1000,解 得 x=1000， 所 以 每 月 行 驶 的路 程 为 1000千 米 时 ， 租 两 家 车 的 费 用 相 同 ； （ 4） 因 23001000， 所 以 租 个 体 车 主 和 车 合算 。 例 3、 某 饮 料 厂 为 了 开 发 新 产 品 ， 用 A、 B两 种 果 汁 原 料 各 19千 克 、17.2千 克 试 制 甲 、 乙 两 种 新 型 饮 料 共 50千 克 ， 下 表 是 实 验 的 相 关 数据 ： 每 千 克 会 含 量 饮 料A（ 单 位 ： 千 克 ）B（ 单 位 ： 千 克 ） 甲 乙0.5 0.20.3 0.4 (1)假 设 甲 种 饮 料 需 配制 x千 克 ,请 你 写 出 满足 题 意 的 不 等 式 组 ,并求 出 其 解 集 .(2)若 甲 种 饮 料 每 千 克 成 本 为 4元 ,乙 种 饮 料 每 千 克 成 本 为 3元 ,设 这 两种 饮 料 的 成 本 总 额 为 y元 ,请 写 出 y与 x的 函 数 关 系 式 (不 要 求 写 自 变 量的 取 值 范 围 ),并 根 据 (1)的 运 算 结 果 ,确 定 当 甲 种 饮 料 配 制 多 少 千 克 时 ,甲 、 乙 两 种 饮 料 的 成 本 总 额 最 少 ？解 ： （ 1） 由 题 意 得 ：解 不 等 式 组 ， 得 （ 2） y=4x+3(50-x)， 即 y=x+150。 因 为 x越 小 ， y越 小 ， 所 以 当x=28时 ， y最 小 。 即 当 甲 种 饮 料 配 制 28千 克 时 ， 甲 、 乙 两 种 饮 料 的成 本 总 额 最 少 。 0.5x+0.2(50-x) 190.3x+0.4(50-x) 17.228x30 练 习 ： 绵 阳 市 “ 全 国 文 明 村 ” 江 油 白 玉 村 果 农 王 灿 收 获 枇 杷 20吨 ，桃 子 12吨 。 现 计 划 租 用 甲 、 乙 两 种 货 车 共 8辆 将 这 批 水 果 全 部 运 往外 地 销 售 ， 已 知 一 辆 甲 种 货 车 可 装 枇 杷 4吨 和 桃 子 1吨 ， 一 辆 乙 种 货车 可 装 枇 杷 和 桃 子 各 2吨 。（ 1） 王 灿 如 何 安 排 甲 、 乙 两 种 货 车 可 一 次 性 地 运 到 销 售 地 ？ 有 几种 方 案 ？（ 2） 若 甲 种 货 车 每 辆 要 付 运 费 300元 ， 乙 种 货 车 每 辆 要 付 运 费 240元 ， 则 果 农 王 灿 应 选 择 哪 种 方 案 ， 使 运 费 最 少 ？ 最 少 运 费 是 多 少 ？解 ： （ 1） 设 安 排 甲 种 货 车 x辆 ， 则 安 排 乙 种 货 车 (8-x)辆 ， 依 题 意 得4x+2(8-x) 20， 且 x+2(8-x) 12， 解 得 2x4。 因 为 x是 正 整 数 ， 所 以x可 取 的 值 为 2， 3， 4。 因 此 安 排 甲 、 乙 两 种 货 车 有 三 种 方 案 ： 甲 种 货 车 乙 种 货 车方 案 一 2辆 6辆方 案 二 3辆 5辆方 案 三 4辆 4辆 （ 2） 方 案 一 所 需 运 费 300 2+240 6=2040（ 元 ） ； 方 案 二 所 需 运 费300 3+240 5=2100（ 元 ） ； 方 案 三 所 需运 费 300 4+240 4=2160（ 元 ） 。 所 以 五灿 应 选 择 方 案 一 运 费 最 少 ， 最 少 运 费 是 2040元 。 解 不 等 式 的 步 骤 去 分 母 去 括 号 移 项 合 并 同 类 项 未 知 数 的 系 数 化 为 1注 意 用 不 等 式 性 质 3， 即 不 等 式 两 边 乘 或除 以 一 个 负 数 时 ， 改 变 不 等 号 的 方 向 。 返 回 解 不 等 式 组 的 四 种 基 本 结 果类 型 （ ab） 解 集 数 轴 显 示 语 言 叙 述两 大 选 取 大两 小 应 选 小大 于 小 小 于大 中 间 找小 于 小 大 于大 无 处 挑 ax bx3 ax bx2 ax bx4 ax bx1 ab ab ab abxabxax0)xyx 2)2(2114)1( 题 型 3： 利 用 )0()( 2 aaa 进 行 分 解 因 式例 ： 分 解 因 式 ：2)1( 2 x 22 32)2( yx 22)2( 22 xxx yxyxyx 3232)3()2( 22 3 x 12 5x 1 xx 303 xx 得 ：由 25052 xx 得 ：由 01001 xxxx 且得 ：由 2( 3) _ 1x 2(1 ) _x 2( 2) 2x x 2( 7) 17xx 3 1x 3、 二 次 根 式 的 混 合 运 算计 算 6)5048)(1( )6227()2762)(2( )2352()2453)(3( 第 10章 一 次 函 数（ 复 习 课 ） 1 回 顾 并 理 解 掌 握 正 比 例 函 数 、 一 次 函 数 的 概 念 、 图 象 、 性 质 及 解 析 式 的 确 定 ， 查 漏 补 缺 ； 理 解 回 顾 一 次 函 数 与 一 元 一 次 方 程 、 一 元 一 次 不 等 式 、 二 元 一 次 方 程 组 的 关 系 。 会 用 相 关 知 识 解 决 实 际 问 题 。 2 提 升 学 生 自 主 构 建 知 识 体 系 的 能 力 ， 进 一 步 提 高 学 生 数 形 结 合 思 想 和 用 函 数 思 想 解 决 问 题 的 能 力 。 3.在 学 习 过 程 中 ， 培 养 学 生 独 立 思 考 、 合 作 探 究 的 意 识 和 能 力 ， 进 一 步 激 发 学 生 学 习 数 学 的 兴 趣 。 1 一 次 函 数 的 图 象 及 性 质 的 归 纳 和 总 结 。 2 通 过 一 次 函 数 图 象 深 刻 认 识 方 程 （ 组 ） 、不 等 式 （ 组 ） 的 解 。 3.运 用 一 次 函 数 的 图 象 及 其 性 质 解 决 有 关 实 际 问 题 。 1.一 次 函 数 的 实 际 应 用 。 2. 函 数 思 想 、 数 形 结 合 的 渗 透 和 应 用 变 化 的世 界 函数定 义函 数 关 系 的表 示 方 法 图象法列表法表达式 一次函数 定 义图 象性 质函 数 与 一元 一 次 方程 （ 组 ）的 关 系函 数 与 一元 一 次 不等 式 的 关 系应 用 Y=kx+b(k0)直 线对 应 性增 减 性实 际 应 用待 定 系 数 法正比例函数 一 .常 量 、 变 量 ： 在 一 个 变 化 过 程 中 ,数 值 发 生 变 化 的 量 叫 做 变量 ； 数 值 始 终 不 变 的 量 叫 做 常 量 ； 返 回 引 入二 、 函 数 的 概 念 ：函 数 的 定 义 ： 一 般 的 ， 在 一 个 变 化 过 程 中 ,如 果 有 两个 变 量 x与 y， 并 且 对 于 x的 每 一 个 确 定 的 值 ， y都 有唯 一 确 定 的 值 与 其 对 应 ， 那 么 我 们 就 说 x是 自 变 量 ，y是 x的 函 数 三 、 函 数 中 自 变 量 取 值 范 围 的 求 法 ：（ 1） .用 整 式 表 示 的 函 数 ， 自 变 量 的 取 值 范 围 是 全 体 实 数 。（ 2） 用 分 式 表 示 的 函 数 ， 自 变 量 的 取 值 范 围 是 使 分 母 不 为 0的一 切 实 数 。（ 3） 用 奇 次 根 式 表 示 的 函 数 ， 自 变 量 的 取 值 范 围 是 全 体 实 数 。 用 偶 次 根 式 表 示 的 函 数 ， 自 变 量 的 取 值 范 围 是 使 被 开 方 数为 非 负 数 的 一 切 实 数 。（ 4） 若 解 析 式 由 上 述 几 种 形 式 综 合 而 成 ， 须 先 求 出 各 部 分 的 取值 范 围 ， 然 后 再 求 其 公 共 范 围 ， 即 为 自 变 量 的 取 值 范 围 。（ 5） 对 于 与 实 际 问 题 有 关 系 的 ， 自 变 量 的 取 值 范 围 应 使 实 际 问题 有 意 义 。 四 . 函 数 图 象 的 定 义 ： 一 般 的 ， 对 于 一 个 函 数 ，如 果 把 自 变 量 与 函 数 的 每 对 对 应 值 分 别 作 为 点的 横 、 纵 坐 标 ， 那 么 在 坐 标 平 面 内 由 这 些 点 组成 的 图 形 ， 就 是 这 个 函 数 的 图 象 下 面 的 个 图 形 中 ， 哪 个 图 象 中 y是 关 于 x的 函 数 图 图 1、 列 表 （ 表 中 给 出 一 些 自 变 量 的 值 及 其对 应 的 函 数 值 。 ） 2、 描 点 ： （ 在 直 角 坐 标 系 中 ， 以 自 变 量 的 值 为 横 坐标 ， 相 应 的 函 数 值 为 纵 坐 标 ， 描 出 表 格 中 数 值 对 应 的各 点 。 3、 连 线 ： （ 按 照 横 坐 标 由 小 到 大 的 顺 序 把 所 描 的 各 点用 平 滑 的 曲 线 连 接 起 来 ） 。 五 、 用 描 点 法 画 函 数 的 图 象 的 一 般 步 骤 ：注 意 ： 列 表 时 自 变 量 由 小 到 大 ， 相 差 一 样 ，有 时 需 对 称 。 （ 1） 解 析 式 法（ 2） 列 表 法（ 3） 图 象 法正 方 形 的 面 积 S 与 边 长 x的 函 数 关 系 为 ： S=x2 (x 0)六 、 函 数 有 三 种 表 示 形 式 ： 一 次 函 数 的 概 念 ： 如 果 函 数 y=_(k、 b为常 数 ， 且 k_)， 那 么 y叫 做 x的 一 次 函 数 。kx b kx 理 解 一 次 函 数 概 念 应 注 意 下 面 两 点 ： 、 解 析 式 中 自 变 量 x的 次 数 是 _次 ， 、 比 例 系 数 _。 1k0 特 别 地 ， 当 b_时 ， 函 数 y=_(k_)叫 做 正 比例 函 数 。 = 2.一 次 函 数 的 概 念 思 考y=k xn +b为 一 次 函 数 的 条 件 是 什 么 ?一 . 指 数 n=1二 . 系 数 k 0 xyxyxyxy 2)4(1)3(1)2(2)1( 1.下 列 函 数 中 ,哪 些 是 一 次 函 数 ?m =2答 : (1)是 (2)不 是 (3)是 (4)不 是2:函 数 y=(m +2)x+( -4)为 正 比 例函 数 ,则 m为 何 值 2m 3. 冲 击 中 考 演 练 ：1.求 m为 何 值 时 ， 关 于 x的 函 数 y=（ m+1） x2- +3是 一 次 函 数 ， 并 写 出 其 函 数 关 系 式 。（ 点 评 ： 本 题 在 考 查 一 次 函 数 的 定 义 ， 由 定 义 可得 且 ， 解 得 ： 解 析 式 为 ：2- =1 m+10 m=1y=2x+3 解 由 题 意 得 ： 2- =1 m+10 解 之 得 ： m=1把 m=1代 入 Y=（ m+1） x 2- +3得解 析 式 ： y=2x+3书 写 格 式 a. 正 比 例 函 数 y=kx(k0)的 图 象 是 过 点 （ _） ， (_)的 _。 b.一 次 函 数 y=kx+b(k0)的 图 象 是 过 点 （ 0， _),（ _，0)的 _。 0， 01， k 一 条 直 线 b一 条 直 线bkk_0， b_0 k_0， b_0 k_0， b_0 k_0， b_0 2.一 次 函 数 的 图 象c.一 次 函 数 y=kx+b(k0)的 图 象 与 k,b符 号 的 关 系 ： 一 次 函 数 y=kx+b(k 0)的 性 质 ： 当 k0时 ， y随 x的 增 大 而 _。 当 k0时 ， y随 x的 增 大 而 _。 增 大减 小例 ： 点 A（ 5， y1） 和 B（ 2， y2） 都 在 直 线 y= -x+1上 ，则 y1与 y2的 关 系 是 （ ） A、 y1 y2 B、 y1 y2 C、 y 1 y2 D、 y1 y2C 3.一 次 函 数 的 性 质（ 1） 增 减 性 从 表 中 可以 看 出 ：由 一 次 函数 经 过 的象 限 可 以判 断 k、 b的 符 号 ， 反 过来 ， 由 k、b的 符 号也 可 以 判断 图 象 经过 的 象 限 .（ 2） k.b的 符 号 与 图 象 所 在 位 置 对 应 性 、 直 线 y=kx+b经 过 一 、 二 、 四 象 限 ， 则K 0, b 0 此 时 ， 直 线 y=bx k的 图 象 只 能 是 ( ) D练 习 ： 2、 根 据 下 列 一 次 函 数 y=kx+b(k 0)的 草 图回 答 出 各 图 中 k、 b的 符 号 ：k_0， k_0 k_0， k_0 b_0， b_0 b_0， b_0 4、 一 次 函 数 y=ax+b与 y=ax+c(a0)在 同 一 坐 标 系 中 的图 象 可 能 是 （ ）xyo xyoxyoxyoA B C D 3、 已 知 一 次 函 数 y=kx+b,y随 着 x的 增 大 而 减 小 ,且 kb0 ,b0b0 a0 ,b0b0, a0 ,b0b0, a0 ,b0b0, a0D 6. 一 支 蜡 烛 长 20厘 米 ,点 燃 后 每 小 时 燃 烧5厘 米 ,燃 烧 时 剩 下 的 高 度 h(厘 米 )与 燃 烧 时间 t(时 )的 函 数 关 系 的 图 象 是 ( ) AC BD D 3、 已 知 一 次 函 数 y=(1-2m)x+m-1 , 求 满 足 下 列条 件 的 m的 值 ：（ 1） 函 数 值 y 随 x的 增 大 而 增 大 ；（ 2） 函 数 图 象 与 y 轴 的 负 半 轴 相 交 ；（ 3） 函 数 的 图 象 过 第 二 、 三 、 四 象 限 ；（ 4） 函 数 的 图 象 过 原 点 。 21m 211 mm 且 121 m1m l一 次 函 数 y=b 3x， y随 x的 增 大 而l一 次 函 数 y= 2x+b图 象 过 （ 1， 2） ， 则 b=l一 次 函 数 y= x+4的 图 象 经 过 象 限l直 线 y=kx+b经 过 一 、 二 、 三 象 限 ， 那 么y=bx k经 过 象 限l函 数 y=(m 2)x中 ， 已 知 x1x2时 ， y1y2， 则m 的 范 围 是l直
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