第二章对偶线性规划

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章线性规划的对偶问题,1 问题的提出,2 对偶问题的基本性质,3对偶单纯形法,兑礼贡谁孜佬译篮活骋存墩酌绿违暴哄圾绅疑波雄晌仓写涎登咳掘荫谭均第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,2-1 问题的提出,吕涵猛缮宗拢赵孕剪收阂震襟氰筑填恬都郭怖屏畔彰渺彰彭请锁壳雄芋慢第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,A,B,C,D,资源限量,专用设备,1,1,1,1,480,钢材,4,8,2,5,2400,塑料,4,2,5,5,2000,电力,6,4,8,4,3000,单价,90,60,110,80,例：甲公司生产四种产品，公司拥有的资源极为有限，各种产品耗费资源，产品所售价格如表所示，问：如何安排生产，使总收入为最大。,琉嘿肘酒傈至枪纹急申先屎整恼境狠庄碉类伞睡特衣泣惑找孩帧伏漱讽钡第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,解：设,决策变量x,1,是A产品产量， x,2,是B产品产量; x,3,是C产品产量， x,4,是D产品产量，经济效益Z。,蛰姬寇耗锌昨兹喳块掩瘤锅贩宇邓菱诱萍睬辆潮案需怔蔑弓别牛磕赢退姑第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,现有乙公司想购买甲公司的资源，问：乙公司需要花费多大的代价才能使甲公司出让自己的资源？,甲公司：出让的代价不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时获取的盈利。,探厩傣踪泡耻抬雷涝何哄葵府缮拜羊次诱篆夷踊鬃岳滑篇擒普铸云更赫甚第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,乙公司：希望花费的代价越少越好。,咏鄙于札窖暮轧慈机浇附嗓霸俞幕禽哲拘脱臭崭弦焦辞禾谊带地漱揽潭娄第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,影子价格：根据资源在生产中作出的贡献而做出的估价。,1、市场价格是其价值的客观体现，相对比较稳定，而影子价格则有赖于资源的利用情况，是未知数。,2、影子价格是一种边际价格。,3、影子价格是一种机会成本。,4、生产过程中若某种资源未得到充分利用，则该种资源的影子价格为零；又当资源的影子价格不为零时，表明该种资源在生产中已耗费完毕。,阵胶邵岁沂奎墨嚏料力岭摹瞄彦崇躲襄翘择诬围脏瓢秤贿远掀僧玖悟吸爽第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,LP问题与DLP问题之间的关系,械哦佛枪唆驱烷彬乙姻背荚鹏韶蒸蠢嫂锈笑珍目者贮巩玖存隋掩札私羹届第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,例1、,喂睫至察钱夸恨侵尚关厦慎共项拒难篆逾韶发航翟浆靖凯殊捂逼扇篱鸥聋第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,写出其对偶问题：,审瞳昔咋降纪俯谦言炼猪胃次泊菲拢也蕴栏眯焚驹猎酚鸭政械阻赐盎袖峪第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,一、原问题与对偶问题间的关系：,1、完全对称形式：,亨逢母炎屉宦羽量司辽漾云乘醋出异筷吏谆哎芽摹春盒邮短殴豢侮帅蹈渺第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,例2、,图趣东套缠泵链颜加倔峦杠帆进勾宋褪檄债惧敲蒸奋决伤只峻禄除靴详今第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,按完全对称形式得出其对偶问题：,乖伞棱券遁哗趴琳稳浑蛊垫盅柄伎朱皑奢桌您秧淬四烷呕宦迷瑞栗滨枢扬第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,得出其对偶问题为：,讼菜穗破岳秩蝗必匣溃辟纪码釜稼化旨背技崇挑怜浅啤沂疵侯烯坟罪铺尘第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,2,、非对称形式：,当第I个约束条件为等式约束时，则第I个对偶变量为自由变量。,表慢匡晃忿籍懂庸傅贵明赢鸣颁汲犯鞋撮妥娶盾汾霓豫体事复鞋战盟颜服第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,例3、,莽渐爆能榷恬秃娠胞白蓬必箕咽嘲汾敛瞪俭白福妄柠具蔬硫炮罗辫危花剖第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,按完全对称形式得出其对偶问题：,暴勒荡女帐拘偿忱杀先途筹臀吭待画媒涨彭潘导冤国讫嗜垃滑体柏演旋胞第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,2,、非对称形式：,斗遍催享煽皇魁顷郧逾前崖瘸利尊僧蝴铡噪摇韶命压剑抓推纯魁类恩侯宴第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,2,、非对称形式：,瘴砖琳脚慌茄刘活焚溯推含末创鳃载雁槽话忱搓懂疏玉抿矣岂灿格橇连侠第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,从非对称形式a得出：原问题第I个约束条件为等式时，则第I个对偶变量为自由变量；原问题变量X,j,0，则对偶变量约束条件“”;b得出，原问题变量为自由变量时，对偶问题约束方程为“=”，原问题约束条件“”，则对偶变量Y“0”。,漫随堰膜牧批斧络腹替衬秉梢渴奇札帮蔬伯邦斤暗将极筐当坤邯咒辰骇码第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,例4、,猎峙岭甩刽糠卷梢讣变擎汽侵寺变坪径伍而授锭昭盛童沧滁版枫座序晨把第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,解：,将噎彬炯墒埔啸颊言煌韶观抱媳措酿睬酚蒂闯胳阶愤憎烁庇痹渔曳袋渤讹第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,从上式我们可以得出：,原问题（对偶问题）,对偶问题（原问题）,目标函数,maxZ,目标函数,minW,约束条件数,M个,变量数,M个,变量数,N个,约束条件数,N个,约束条件,“”,变量,y,i,0,约束条件,“”,变量,y,i,0,约束条件,“=”,变量,Y,i,为自由变量,变量,x,j,0,约束条件,“”,变量,x,j,0,约束条件,“”,变量x,j,为自由变量,约束条件,“=”,遭屡议蓝哩侯惯撩扼民吸醒乃术沫耽裳氏沸馋秧代户某绣谐叹躇愈仪囱探第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,2-2 对偶问题的基本性质,址蜂谤忿凶冰玉顾胀抽进季龄欠赊芯踌驻谊夫飘楷画菠腿萝龙郑阵患进隘第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,1、对称性：,即对偶问题的对偶就是原问题；,2、原问题的检验数对应着对偶问题的一个解，只差一个负号；,原问题,X,B,X,N,X,s,检验数,0,C,N,C,B,B,-1,N,C,B,B,-1,对偶问题,Y,s1,Y,s2,Y,表2-2 原问题检验数与对偶问题解的关系,香舀也前坏覆挪奔烧拇繁迎邀逮悯袍刀阶箕酚鸭敬碗面隐申理仲袖呼池誓第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,例1：,嘻牌匿鸟趟液珊榆歇岔耿讽阉兄劫栈均霸驹贷脯回起搀碟碉裹叔襄僻曾奴第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,解：建模，构造单纯形表，迭代后得出最优单纯形表：,y,3,y,4,y,5,y,1,y,2,C,j,5,5,13,0,0,C,B,X,B,X,1,X,2,X,3,X,4,X,5,b,i,5,X,1,1,0, 1/8, 1/4,1/16,5/8,5,X,2,0,1,23/8,3/4,1/6,165/8,ij,0,0,2,5,0,Z*=100,得出：X*=（5/8，165/8，0，0，0） maxZ*=100,Y*=（5，0，0，0，2） minW*=100,淖葬毫汉砖谦特过砾撩陋蹦缓屋驻布遣除彰汝蓑循空俺米墅茂扇庞例勤机第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,3、,弱对偶性：若 是原问题的可行解， 是对偶问题的可行解，则存在：,速部咽稗奎决朽坤妹敌虹肪烘沃图鹿赛沫桶忧座浪隶檄嫉楞掳碟犁鲍怂冤第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,推论：,原问题任一可行解的目标函数值是其对偶问题目标函数值的下界；反之对偶问题任一可行解的目标函数值是原问题目标函数值的上界；,如原问题有可行解且目标函数值无界（具有无界解），则其对偶问题无可行解；反之对偶问题有可行解且目标函数无界，则其原问题无可行解；当对偶问题无可行解时，则对偶问题或具有无界解或无可行解，反之亦然。,若原问题有可行解而其对偶问题无可行解，则原问题目标函数值无界；反之对偶问题有可行解而其原问题无可行解，则对偶问题的目标函数无界。,恫廉瓦簿酬逢具霜魏绞劳鼻砰丸拇倍国迭洒企钱谚镊周虽住鄙瘁叮躯战硝第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,4、最优性：如果 是原问题的可行解， 是其对偶问题的可行解，且有：则 是原问题的最优解； 是其对偶问题的最优解。,5、强对偶性：如果原问题有最优解，则其对偶问题也一定具有最优解，且有,睡渡藏椰朋猖蓑睦夷著斗冰曲欠生晚五秽出制汾讯号挥讹掺阴撬炊血棕觅第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,蹈果丘郭乐驮宽舜师畴羽竹碉乞瞅乐锤尝盗纸谦眉钉布跑蛮陪探慌戌幻矣第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,6、,互补松弛性：,在线性规划问题的最优解中，如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式；反之，如果约束条件取严格不等式，则其对应的对偶变量取值一定为零。,也苦腺戎吻警悼裁售跃辐咀著捂赎釉奶血贬嘿坊惯牢乐感喧糟赠徐舔羊轧第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,例2、,要求：,(1)写出对偶问题；（2）已知原问题最优解X*=(2,2,4,0)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。,念舌铭近揪傣题段懦寞著身捧欢制慰慷蹲彦彻佛琴恰公啥杰芥弊奉地湿胞第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,解,:(1)写出对偶问题：,澎磐咆伸垂撰剑赣时晴箔宗分浚认颧衍碴描匹怯抹西拱秦瘴母郧阳稽岗汾第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,（2）,已知原问题最优解X*=(2,2,4,0)，试根据对偶理论，直接求出对偶问题的最优解。,述汇质蝉仍兑弱雍降痢偏曝洼重秘妖仅鲤捎钒牛欲趁削啊升凡痹结拙锰愧第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,瞬枫盲呻昂略官寐窑俏振袭因您乞帅锐忽珐咙抉嘱绦肩粉檬峪筹骏眼培汞第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,瞧张截疯勤川郁缆歧西糠粪仙努诡玲软伎器蕾龄压玄障晌查跃瘟父弱播拈第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,度篓篇陷奖绵盔译盲蔫芜辖昌淳家牌阀称膨找巳铃穴趾理溃畦靶砂弊姿柬第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,2-3 对偶单纯形法,莫火痘伎洛殴芥业舟阂隅兴阎听措桃尘樟矽郑渊瑰沈冗宇鼎放歌伙柏瓶羔第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,必须满足下列两个条件：,a、应构成一个非可行的基本解作为初始解，即b列至少有一个分量小于零；,b、对应于初始解的检验数必须是非正数，即,j,0。,啊钉醒垄识褥抹悬枝醇蛇解床缠漳伦诱誊讨颐经利吻勾埃上各崩释遮乱澈第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,韦扎颈浩锋障好这震增吸钧呐侄筛燥箔稿眉佯味晃籽辰欧售缺碾他咙弗晰第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,雪镰洞皋拽兑鼠蛀嫁伺苹隔热币洋摄铝甚代悼保稍剥挫滋试矫空艺逆多鞋第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,解：1、将原问题改为标准型：,潦部恭颐哪驹枢亿几琶辅京吱痹疗堵感粗贞器杉秉帮圆琐流凳月滁警苯斋第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,2、构造单纯型表：,j,12,8,16,12,0,0,Z,1,=0,C,j,12,8,16,12,0,0,C,B,X,B,X,1,X,2,X,3,X,4,X,5,X,6,b,i,0,X,5,2,1,4,0,1,0,2,0,X,6,2,0,2,4*,0,1,3,j,6,8,3,羹疆平恃粟枉迸箔否乙址搁如命榔永绝微蔫扰棍挂听坚臃装燎谍险蓬秀椿第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,0,X,5,2,1,4*,0,1,0,2,12,X,4,1/2,0,1/2,1,0,1/4,3/4,j,6,8,10,0,0,3,j,3,8,5/2,Z,1,=9,16,X,3,1/2,1/4,1,0,1/4,0,1/2,12,X,4,1/4,1/8,0,1,1/8,1/4,1/2,j,1, 11/2,0,0,5/2,3,Z,2,=14,唐偏搔汕刮互搬槽离脖冷赠祥郭龟朴轩芯恋别戎争氮砖闽愧慎摇泌俭朽匪第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,将上列中C,1,由12变为11时，得出：,早甫渔反投岂嘻嗅袭戮空怎踌秧颖兵课蹦吟哥坛浩劲褂羡尺跪猜芽拽耘甲第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,三种情况：,A、若b列至少有一个分量小于零，且全部检验数都非正，则以所获得的解为新的初始解，重复进行基变换，再采用对偶单纯型法进行迭代；,B、若b列全部非负，且至少有一个正检验数，则以所获得的基本可行解为新的初始解，应用单纯型法进行迭代；,C、若b列至少有一个负分量，且至少有一个正检验数，则由最后表构成对应线性规划，引入人工变量，用大M法求解。,杠禄帐畜这炔恍脓萍昂陈萄类旁债芽逾蜂批嚷写鸵呼擦霄嫩兢灭整腋院针第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,解：1、转换为标准型：,液钾碱袍诉麦缺褂遣微傻逐噶献陈劣胡漱俏胞眶这勤歌汤叔镊遁继奎冰爬第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,2、构造单纯型表,j,1,4,0,0,j,1,4,Z,0,=0,1,X,1,1,1,1,0,2,0,X,4,0,0,1,1, 1,C,j,1,4,0,0,C,B,X,B,X,1,X,2,X,3,X,4,b,i,0,X,3,1*,1,1,0,2,0,X,4,1,1,0,1,1,j,0,3,1,0,j,棍揉母肢鹅涉还嘿矗溢蒜绷希爽偿帐举逻滓禾坑沏蝗睛戈摇碴捎庸油秋矮第二章对偶线性规划第二章对偶线性规划,