2.4导数的计算(1-33)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,2.4,导数的计算,1,0,基本的求导公式及求导法则,(1),可导与连续的关系,定理,(,可导与连续的关系,),如果,y,=,f,(,x,),在,x,0,处可导,则,f,(,x,),必在,x,=,x,0,处连续,反之不然,证明,需证,由,f,(,x,),在,x,0,处可导,得,所以,因此,f,(,x,),在,x,0,处连续,反过来结论不成立,反例,则有,可知,f,(,x,),在,x,=0,处连续,但是,不存在,所以,f,(,x,),在,x,=0,处不可导,(2),可导的充要条件,定理,(,可导的充要条件,),函数,y,=,f,(,x,),在点,x,0,处,可导的充要条件,是,证明,说明：,若,f,(,x,),在,x,0,处可导,则有,f,(,x,),在,x,0,处的右导数：,f,(,x,),在,x,0,处,的左导数：,定理,(,可导与单侧导数的关系,),函数,y,=,f,(,x,),在,x,0,处可导的充要条件是它的左,导数 和右导数 存在而且相等,即,例,设,问,a,b,为何值时,f,(,x,),在,x=,0,处可导,?,解,根据可导与连续的关系可知,要,f,(,x,),在,x,=0,处可导,必须要使,f,(,x,),在,x,=0,处连续,.,所以为使,f,(,x,),在,x,=0,处连续,b,=-1,需有,1+,b,=0,即,又 存在,现在,得,a,=2,当,b,=-1,a,=2,时,函数,f,(,x,),在,x,=0,处可导,且,此时,所以,(3),求导法则及基本求导公式,定理,(,求导的四则运算法则,),设,u,(,x,),v,(,x,),在,x,处可导,k,1,k,2,R,为常数,则,证明,(3),对任意,利用导数定义,有,下面推导一些常用的求导公式,证明,同理可证,证明,同理可得,证明,证明,定理,(,反函数的求导法则,),设,y,=,f,(,x,),是严格单调,的连续函数,是它的,(,本义,),反函数,且,在点,y,(,y,=,f,(,x,),处有导数,则,f,(,x,),在,x,处也有导数,而且有,即,证明,因为,y,=,f,(,x,),严格单调,所以反函数,存在,.,对任意的,记,则,所以,又,f,(,x,),在,x,处连续,则当 时,故有,证明,因为,y,=,a,x,在,R,上连续且严格单调,其反函数,根据反函数求导法则有,证明,因为,y=,arcsin,x,在,(-1,1),上连续,严格单调,其反函数,x=,sin,y,在,上可导,且,根据反函数求导法则有,同理可得,定理,(,复合函数的求导法则,),设 在,x,点,处可导,y,=,f,(,u,),在 处可导,则复合函数,在,x,处可导,而且,证明,由 在,x,点处可导,y,=,f,(,u,),在,u,处可导,则有,其中,于是有,两边同除以,得,由 在,x,点处可导,可知 在,x,处连续,从而有,所以,证明,因为,若令,则根据复合函数求导法则,有,2,0,显函数求导法举例,例,解,例,解,例,解,例,解,例,解,例,解,3,0,隐函数的求导法,隐函数：,变量,x,y,之间的函数关系由方程,F(,x,y,),=,0,所确定的函数,隐函数的求导法：,不从方程,F(,x,y,),=,0,中解出,y,而求出,的方法,.,例,求由 确定的隐函数在,(2,4),处的导数,解,将,y,=,y,(,x,),代入方程有,两边对,x,求导,有,解得,令,x,=2,y,=4,得,例,对于由方程 确定的函数,求,解,把,y,看作,x,的函数,两边对,x,求导,有,解得,例,y,=,y,(,x,),由方程 确定,求,解,两边对,x,求导得,(,y,是,x,的函数,),解得,作为隐函数求导法的应用,下面介绍,对数求导法,.,先介绍一个求导公式,例,则当,x,0,时,当,x,0,时,解,例,解,将以上函数两边取绝对值和对数,有,将上式两边对,x,求导,得,所以有,例,解,将以上函数两边取对数,有,将上式两边对,x,求导,得,4,0,由参数方程所确定的函数的求导方法,问题：,设,x,y,间的函数关系由参数方程,确定,分析：,设,x,=,x,(,t,),的反函数存在,即,则,若再设 在,x,处可导,y,=,y,(,t,),在,t,处可导,则有,为计算,利用反函数求导法则,若,x,=,x,(,t,),严格,单调,连续且有导数,则可得,故有以下结论：,设,(1),x,=,x,(,t,),严格单调,连续且有导数,(2),y,=,y,(,t,),可导,则有,例,质点的运动方程为,求时刻,t,时在曲线,L,上对应点的切线与,x,轴交点,M,的速度,解,在时刻,t,时,曲线,L,上对应点为,其切线斜率为,切线方程：,与,x,轴的交点：,所以，,M,点的速度：,5,0,极坐标系下曲线的切线问题,设曲线,计算曲线,在点 处的切线方程,将曲线写成参数方程,得,则,按点斜式方程写出直线方程,例,求心形线,在对应点,处的切线方程,解,心形线的参数方程为,切线斜率,所对应的点,(0,a,),切线方程,:,