弹塑性力学讲义-应变

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,位移,应变张量,应变与位移的关系,体积应变,刚体转动,应变分量的坐标转换 主应变 不变量,应变张量的分解,第,2,章 应变,u(x,、,y,、,z)=,r,x,R,x,v(x,、,y,、,z)=,r,y,R,y,w(x,、,y,、,z)=,r,z,R,z,位 移,应变,考察物体内任意一微小线段,长度的相对改变,正（线）应变,方向的相对改变,剪（角）应变,应变张量,三个方向线元的应变决定该点的应变状态,取与坐标轴相平行的三个方向,对称张量,张量的剪切应变分量,实际的剪切应变,应变与位移的关系（几何方程）,OA,和,OB,两线元的长度分别为,OA,=,dx,，,OB,=,dy,。,设,O,点的位移是,u,(,x,，,y,),和,v,(,x,，,y,),，,A,点的位移是,u,(,x,+,dx,，,y,),、,v,(,x,+,dx,，,y,),，,B,点的位移是,u,(,x,，,y,+,dy,),、,v,(,x,，,y,+,dy,),。,，,，,根据定义，导出,xy,平面内的应变分量,考虑小变形假定,其他应变分量,几何方程张量表示,位移梯度,应变张量是位移梯度的对称化,体积应变,变形前的体积是,V,0,=,dxdydz,变形后的体积是,体积应变,(1+,x,+,y,+,z,),dxdydz,x,+,y,+,z,刚体转动,A,点位移是：,u,(,x,、,y,、,z,),，,v,(,x,、,y,、,z,),，,w,(,x,、,y,、,z,),，,B,点位移是：,u,=,u,(,x,+,dx,、,y,+,dy,、,z,+,dz,),v,=,v,(,x,+,dx,、,y,+,dy,、,z,+,dz,),w,=,w,(,x,+,dx,、,y,+,dy,、,z,+,dz,),Taylor,级数将,B,点位移相对,A,点展开,矩阵表示,转动矢量,x,e,x,y,e,y,z,e,z,刚体转动：以,方向的直线为转轴，且转角为,变形分解,（,1,）随,A,点平动；,AB,A,B,（,2,）相对,A,点刚体转动；,A,B,A,B,（,3,）纯变形。,A,B,A,B,。,应变分量的坐标变换、主应变、不变量,将应力计算公式中的应力分量用应变分量替换，,例如求主应变的特征方程,(,x,),l,+,xy,m,+,xz,n,0,yx,l,+(,y,),m,+,yz,n,0,zx,l,+,zy,m,+(,z,),n,0,应变张量的分解,球形张量对应的应变状态只有体积等向膨胀或收缩，而没有形状畸变；,偏应变张量对应的变形状态，只有形状畸变而没有体积改变,变形协调方程,问题,根据几何方程去求位移分量，多组位移解,表明物体发生裂缝或者相互嵌入，产生不连续。,因此，,6,个应变分量不能任意给定，必须满足一定的协调关系，,位移单值连续的必要条件，对单连通体，其充分条件是,必要性证明,充分性证明,，,，,u,单值的条件是积分与路径无关，即,du,为全微分,位移的导数,A,、,B,、,C,单值就要求,x,、,y,、,z,必须单值,关于大变形,应变定义无限多种,但应满足两个条件,（,1,）物体只产生刚体位移是零,（,2,）在小变形时，与小变形的应变定义一致,已知三个主方向，及三个主伸长,1,，,2,，,3,