第4章 根轨迹分析法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第,4,章,根轨迹分析法,4.1,根轨迹与根轨迹方程,4.1.1,根轨迹的基本概念,系统某个参数（如开环增益,K,*,）由,0,增加到时，闭环特征根在,s,平面移动的轨迹称为该系统的闭环根轨迹。,【,例,4-1】,单位反馈控制系统如图,4-1,，绘制,K,*,变化时，系统极点的变化情况。,解,：,特征方程为,D(s,)=s2+2s+2K*=0,特征根为,当,K,*=0,时，,s,1=0,，,s,2=2,。,当,K,*=0.5,时，,s,1=,s,2=1,。,当,K,*=1,时，,s,1,2=1,j1,。,当,K,*,时，,s,1,2=1,j,。,K,*,变化时，闭环特征根在,s,平面移动的轨迹如图,4-2,所示，这就是该系统的根轨迹,图,4-1,反馈控制系统方框图,图,4-2,例,4-1,的根轨迹,4.1.2,根轨迹方程,图,4-3,闭环系统结构图,既然根轨迹是闭环特征根随参数变化的轨迹，则描述其变化关系的闭环特征方程就是根轨迹方程。,一般闭环系统结构图如图,4-3,所示。系统的开环传递函数为,G,k=,G,(,s,),H,(,s,),，闭环传递函数为,（,4-1,）,图,4-3,闭环系统结构图,闭环特征方程为,1+,G,(,s,),H,(,s,)=0,即,G,k=1,（,4-2,）,满足方程式（,4-2,）的,s,值，都必须是根轨迹上的点，故称式（,4-2,）为根轨迹方程。根轨迹方程也即为闭环特征方程。,4.2,绘制根轨迹的基本条件,绘制根轨迹实质上是寻求闭环特征方程,1+,G,(,s,),H,(,s,)=0,的根，即寻求满足根轨迹方程式（,4-2,）的,s,值。因此，由式（,4-1,）两边幅值和相角分别相等的条件，可得,（,4-3,）,及,(,k,= 0,1,2,),（,4-4,）,式（,4-3,）、式（,4-4,）分别称为根轨迹的幅值条件和相角条件，,设系统开环传递函数为,（,4-5,）,式中，,K,*,根轨迹增益；,zi,开环零点；,pj,开环极点。,则根轨迹方程（系统闭环特征方程）为,1+,G,(,s,),H,(,s,)=0,即,（,4-6,）,显然，满足上式的,s,即是系统的闭环特征根。,当,K,*,从,0,变化到时，,n,个特征根将随之变化出,n,条轨迹。这,n,条轨迹就是系统的闭环根轨迹（简称根轨迹）。,由式（,4-4,）确定的根轨迹方程可以分解成相角条件和幅值条件，即,=,(2,k,+1),(,k,= 0,1,2,),（,4-7,）,（,4-8,）,对根轨迹说明如下。,（,1,）开环零点,zi,、开环极点,pj,是决定闭环根轨迹的条件。,（,2,）注意到式（,4-7,）定义的相角方程不含有,K,*,，这表明满足式（,4-8,）的任意,K,*,值均满足由相角方程定义的根轨迹，因此，相角方程是决定闭环根轨迹的充分必要条件。,（,3,）满足相角方程的闭环极点,s,值，代入幅值方程式（,4-8,），就可以求出对应的,K,*,值。,（,4,）任意特征方程,D,(,s,)=0,均可处理成,1+,G,(,s,),H,(,s,)=0,的形式，其中把,G,(,s,),H,(,s,),写成式（,4-5,）描述的形式就可以得到,K,*,值，所以说,K,*,可以是系统任意参数。,【,例,4-2】,设某单位反馈系统的开环传递函数为,试绘制该系统的根轨迹。,解：原开环传递函数为,开环有两个极点，即,P1 = 0,、,P2 = 0.5,，开环没有零点。,图,4-4,例,4-2,的根轨迹,4.3,绘制根轨迹的规则和方法,绘制控制系统根轨迹的一般规则和方法如下。, 根据给定控制系统的特征方程，按照基本规则求系统的等效开环传递函数,G,k(,s,),，并将其写成零、极点的规范形式,如式（,4-5,）所示,，以此作为绘制根轨迹的依据。, 找出,s,平面上所有满足相角条件式（,4-7,）的点，将它们连接起来即为系统的根轨迹。, 根据需要，可用幅值条件式（,4-8,）确定根轨迹上某些点的开环根轨迹增益值。,绘图规则是各种绘制根轨迹方法的重要依据，下面就将其主要内容介绍如下。,规则,1,根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点；如果开环零点个数,m,小于开环极点个数,，则有,n,m,条根轨迹终止于无穷远处。,规则,2,根轨迹的分支数、对称性和连续性：根轨迹的分支数与开环零点数,m,、 开环极点数,n,中的大者相等，根轨迹连续并且对称于实轴。,规则,3,实轴上的根轨迹：实轴上的某一区域，若其右边开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是根轨迹。,规则,4,根轨迹的渐近线：当系统开环极点个数,n,大于开环零点个数,m,时，有,n,m,条根轨迹分支沿着与实轴夹角为,a,、,交点为,a,的一组渐近线趋向于无穷远处，且有,(,k,= 0,1,2,n,m,1),（,4-10,）,证明：渐近线就是,s,时的根轨迹，因此渐近线也一定对称于实轴。根轨迹方程式（,4-8,）可写成,=,=,（,4-11,）,式中，,，,分别为系统开环零点之和及开环极点之和。,当,K,*,时，由于,n,m,，应有,s,。式（,4-11,）可近似表示为,即有,或,将上式左端用牛顿二项式定理展开，并取线性项近似，有,令,有,以,(,k,= 0,1,2,),代入上式，有,这就是当,s,时根轨迹的渐近线方程。它表明渐近线与实轴的交点坐标为,渐近线与实轴夹角为,(,k,=0,1,2,),【,例,4-3】,单位反馈系统开环传递函数为,图,4-6,开环零、极点及渐近线,试根据已知的基本规则，绘制根轨迹的渐近线。,解：将开环零、极点标在,s,平面上，如图,4-6,所示。根据规则，系统有,4,条根轨迹分支，且有,n,m,=3,条根轨迹趋于无穷远处，其渐近线与实轴的交点及夹角为,3,条渐近线如图,4-6,所示,规则,5,根轨迹的分离点：两条或两条以上根轨迹分支在,s,平面上相遇又分离的点，称为根轨迹的分离点，分离点的坐标,d,是方程,【,例,4-4】,控制系统开环传递函数为,（,4-12,）,的解。,试概略绘制系统根轨迹。,解：将系统开环零、极点标于,s,平面，如图,4-7,所示。,根据法则，系统有,3,条根轨迹分支，且有,=2,条根轨迹趋于无穷远处。根轨迹绘制步骤如下。,（,1,）实轴上的根轨迹：根据法则,3,，实轴上的根轨迹区段为, 4, 2,，,1, 0,（,2,）渐近线：根据法则,4,，根轨迹的渐近线与实轴交点和夹角为,（,3,）分离点：根据法则,5,，分离点坐标为,经整理得,(,d,+ 4)(,d,+ 4,d,+ 2) = 0,故,d,1 = 4,，,d,2 = 3.414,，,d,3 = 0.586,，显然分离点位于实轴上,1, 0,，故取,d,= 0.586,。,根据上述讨论，可绘制出系统根轨迹，如图,4-7,所示。,图,4-7,例,4-4,的根轨迹,规则,6,根轨迹与虚轴的交点：若根轨迹与虚轴相交，意味着闭环特征方程出现纯虚根。,【,例,4-5】,某单位反馈系统开环传递函数为,试概略绘制系统根轨迹。,解：根轨迹绘制步骤如下。,（,1,）实轴上的根轨迹：,（, 5,，,1, 0,（,2,）渐近线：,（,3,）分离点：,经整理得,3,d,+ 12,d,+ 5 = 0,解出,d,1 = 3.5,d,2 = 0.47,显然，分离点位于实轴上,1, 0,，故取,d,=0.47,。,（,4,）与虚轴交点：,方法,1,系统闭环特征方程为,D,(,s,)=,s,+6,s,+5,s,+,K,*=0,令,s,=j,，则,D,(j,)=(j,),+6(j,),+5(j,)+,K,*,=j6+j5,+,K,*,=0,令实部、虚部分别为零，有,解得,显然，第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为,，对应的根轨迹增益,K,*,=30,。,例,4-5,的,MATLAB,程序如下。,Num=1;,Den=conv(1,0,conv(1 1,1 5);,Rlocus(Num,Den,),方法,2,用劳斯稳定判断依据求根轨迹与虚轴的交点。列劳斯表为,s,3 1 5,s,2 6,K,*,s,1 (30 ,K,*)/6 0,s,0,K,*,当,K,*=30,时，,s,1,行元素全为零，系统存在共轭虚根。共轭虚根可由,s,2,行的辅助方程求得,得,为根轨迹与虚轴的交点。根据上述讨论，可绘制出系统根轨迹，如图,4-8,所示,。,图,4-8,例,4-5,的根轨迹,规则,7,根轨迹的起始角和终止角：根轨迹离开开环复数极点处的切线与正实轴的夹角，称为起始角，,以,表示；,根轨迹进入开环复数零点处的切线与正实轴的夹角，称为终止角，,以,表示,【,例,4-6】,设系统开环传递函数为,试概略绘制系统根轨迹。,解：将开环零、极点标于,s,平面上，绘制根轨迹步骤如下。,（,1,）实轴上的根轨迹：,1.5, 0,，（, 2.5,（,2,）起始角和终止角：先求起始角。,由相角条件式（,4-7,）得,解得起始角,p,2,= 79,（见图,4-9,）。,图,4-9,根轨迹的起始角和终止角,图,4-10,例,4-6,的根轨迹,同理，作各开环零、极点到复数零点（,2+j,）的向量，可算出复数零点（,2+j,）处的,终止,角,2,=145,（见图,4-9,）。作出系统的根轨迹，如图,4-10,所示。,规则,8,根之和：当系统开环传递函数,G,(,s,),H,(,s,),的分子、分母阶次差,n,m,2,时，系统闭环极点之和等于系统开环极点之和。,n,m,2,式中，,1, ,2, ,n,为系统的闭环极点（特征根）；,p,1, p,2, ,pn,为系统的开环极点。,【,例,4-7】,某单位反馈系统开环传递函数为,试概略绘制系统根轨迹，并求临界根轨迹增益及该增益对应的的,3,个闭环极点。,解：系统有,3,条根轨迹分支，且有,n,m,=3,条根轨迹趋于无穷远处。绘制根轨迹步骤如下。,（,1,）轴上的根轨迹：,(, 2,，,1, 0,（,2,）渐近线：,（,3,）分离点：,经整理得,3,d,+ 6,d,+ 2 = 0,故,d,1 = 1.577,d,2 = 0.423,显然，分离点位于实轴上,1, 0,，故取,d,= 0.423,。,由于满足,n,m,2,，闭环根之和为常数，当,K,*,增大时，两支根轨迹向右移动的速度慢于一支向左的根轨迹速度，因此分离点,|,d,|,0.5,是合理的。,（,4,）与虚轴交点：系统闭环特征方程为,D,(,s,) =,s,+ 3,s,+ 2,s,+,K,* = 0,令,s,= j,，则,D,(j,) = (j,),+ 3 (j,),+ 2 (j,) +,K,*,= j, 3 + j2,+,K,*,= 0,令实部、虚部分别为零，有,解得,显然，第一组解是根轨迹的起点，故舍去。根轨迹与虚轴的交点为,，对应的根轨迹增益为,K,*,=6,，因为当,0,K,*,6,时系统稳定，故,K,*,=6,为临界根轨迹增益，根轨迹与虚轴的交点为对应的两个闭环极点，第三个闭环极点可由根之和法则求得，即,0 1 2 =,1,+ ,2,+ ,3,=,1,+,3,= 3,系统根轨迹如图,4-11,所示。,图,4-11,例,4-7,的根轨迹,表,4-1,绘制根轨迹的基本法则,序号,内 容,法 则,1,根轨迹的起点和终点,根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点,2,根轨迹的分支数、对称性和连续性,根轨迹的分支数与开环零点数,m,和开环极点数,n,中的大者相等，根轨迹是连续的，并且对称于实轴,3,实轴上的根轨迹,实轴上的某一区域，若其右端开环实数零、极点个数之和为奇数，则该区域必是,180,根轨迹。,*,实轴上的某一区域，若其右端开环实数零、极点个数之和为偶数，则该区域必是,0,根轨迹,渐近线与实轴的交点：,渐近线与实轴夹角：,分离点的坐标,d,是下列方程,4,根轨迹的渐近线,5,根轨迹的分离点,的解,(,k,=0, 1, 2),(,k,=0,1,2,),6,根轨迹与虚轴的交点,根轨迹与虚轴交点坐标,及其对应的,K,*,值可用劳斯稳定判断依据确定，也可令闭环特征方程中,s,= j,的，然后分别令其实部和虚部为零求得,7,根轨迹的起始角和终止角,8,根之和,(,n,m,2),(,k,=0,1,2,),4.4,控制系统根轨迹的性能分析,4.4.1,开环零、极点对根轨迹的影响,1,增加开环零点对根轨迹的影响,大量实例表明：增加位于,s,左半平面的开环极点，将使根轨迹向右半平面移动，系统的稳定性能降低。例如，设系统的开环传递函数为,(,a,1,0),（,4-19,）,则可绘制系统的根轨迹，如图,4-16,（,a,）所示。若增加一个开环极点,p,3=,a,2,，根据这时的开环传递函数,(,a,2,0),（,4-20,）,可绘制系统的根轨迹，如图,4-16,（,b,）所示。,一般来说，增加的开环极点越靠近虚轴，其影响越大，使根轨迹向右半平面弯曲就越严重，因而系统稳定性能的降低便越明显。,图,4-16,增加开环极点对根轨迹的影响,2,增加开环零点对控制系统的影响,一般来说，开环传递函数,G,(,s,),H,(,s,),增加零点，相当于引入微分作用，使根轨迹向左半,s,平面移动，将提高系统的稳定性。,例如，图,4-17,（,a,）所示为式（,4-19,）增加一个零点,z,=2,的根轨迹（并设,a,1=1,），轨迹向左半,s,平面移动，且成为一个圆，结果使控制系统的稳定性提高。图,4-17,（,b,）所示为式（,4-19,）增加一对共轭复数零点的根轨迹。,图,4-17,增加开环零点对根轨迹的影响,4.4.2,闭环零、极点与阶跃响应关系,系统的单位阶跃响应为,上式表明，系统的单位阶跃响应由,A,j,、,s,j,决定，即与系统闭环零、极点的分布有关,分析上述各式，可知闭环零、极点的分布对系统性能影响的一般规律如下。,（,1,）稳定性。系统稳定要求其闭环极点全部位于左半,s,平面，欲使系统稳定工作，其响应的根轨迹必须全部位于,s,平面的左半部。,（,2,）运动形态。如果系统的某一闭环零点和系统的某一闭环极点重合，二者构成,个闭环偶极子。,（,3,）平稳性。系统响应的平稳性由系统阶跃响应的超调量来度量。,（,4,）快速性。要使系统具有好的响应快速性，其响应的各暂态分量应具有较大的衰减因子且各暂态分量的系数应尽可能小。,4.4.3,利用根轨迹确定系统参数,下面讨论当闭环特征根已经选定在根轨迹的某特定位置时如何确定应取的参数值。由根轨迹的幅值条件可知，所有在根轨迹上的点必须满足式（,4-8,），即,因此根据要求的闭环极点,s,=,s,0,可以由此求得应取的,K,*,值。,【,例,4-10】,设开环传递函数为,它的根轨迹如图,4-18,所示，要求闭环极点位于使系统具有,=0.5,的阻尼比的位置，那么增益,K,*,应是多大？,（,4-21,）,解：在图,4-18,中画出,=0.5,的射线，与根轨迹相交得闭环极点的要求位置,s0,。再画出,Gk(s,),的极点到,s0,的,3,个向量,s0+p1,、,s0+p2,、,s0+p3,，由幅值条件,得,由向量长度,可得,K,*= 4.0,2.1,7.7,65,具有式（,4-21,）开环传递函数的系统，因为有一个积分环节，因此是,型系统，在跟踪斜坡输入时的稳态误差取决于速度增益,Kv,，本例中,图,4-18,根轨迹增益的确定,【,例,4-11】,已知开环传递函数为,试绘制其根轨迹，并确定使闭环系统的一对共轭复数主导极点的阻尼比,=0.5,的,K*,值。,解：对于上述给定系统，其幅角条件为,其幅值条件为,绘制根轨迹的典型步骤如下。,（,1,）开环极点为,0,、,1,、,2,，见图,4-19,，它们是根轨迹各分支上的起点。由于开环无有限零点，故根轨迹各分支都将趋向无穷。,（,2,）一共有,3,个分支，且根轨迹是对称于实轴的。,（,3,）确定根轨迹的渐近线。,3,个分支的渐近线方向，可按式（,4-10,）来求，即,(,k,= 1, 2,),因为当,k,值变化时，相角值是重复出现的，所以渐近线不相同的相角值只有,60,、,60,和,180,。因此，该系统有,3,条渐近线，其中相角等于,180,的一条是负实轴。,渐近线与实轴的交点按式（,4-10,）求，即,该渐近线如图,4-19,中细虚线所示。,（,4,）确定实轴上的根轨迹。在原点与,1,点间，以及,2,点的左边都有根轨迹。,（,5,）确定分离点。在实轴上，原点与,1,点间的根轨迹分支是从原点和,1,点出发的，最后必然会相遇而离开实轴。分离点可按下式计算,解得,s,= 0.423,和,s,= 1.577,因为,1,s,0,，所以分离点必然是,s,= 0.423,（由于在,1,和,2,间实轴上没有根轨迹，故,s,= 1.577,显然不是要求的分离点）。,（,6,）确定根轨迹与虚轴的交点。应用劳斯稳定判断依据，可以确定这些交点。因为所讨论的系统特征方程为,s,+ 3,s,+ 2,s,+ 2,K,* = 0,所以其劳斯阵列为,s,3,1 2,s,2,3 2,K,*,s,0,2,K,*,s,1,使第一列中,s,1,项等于零，则求得,K,*=3,。解由,s,2,行得到的辅助方程,3,s,2 + 2,K,* = 3,s,2 + 6 = 0,可求得根轨迹与虚轴的交点为,虚轴上交点的频率为,，与交点相应的增益值为,K,*=3,。,（,7,）在,j,轴与原点附近通过选取实验点，找出足够数量的满足相角条件的点,并根据上面所得结果，画出完整的根轨迹，如图,4-19,所示。,（,8,）确定一对共轭复数闭环主导极点，使它的阻尼比,=0.5,。,由图,4-19,可以看出，当,=0.5,时，这一对闭环主导极点为,s,1 = 0.33 + j0.58,s,2 = 0.33 j0.58,与这对极点相对应的,K,*,值可根据幅值条件求得,2,所以,K,* = 0.53,利用这一,K,*,值，可求得第,3,个极点为,s,= 2.33,。,图,4-19,例,4-11,的根轨迹,4.4.4,利用根轨迹分析系统的动态性能,【,例,4-12】,已知系统结构如图,4-20,所示。画出其根轨迹，并求出当闭环共轭复数极点呈现阻尼比,=0.707,时，系统的单位阶跃响应,。,解：系统的开环传递函数为,（,1,）根轨迹起始于,0,、,2,、,4,，终止于,2,和无穷远处。,（,2,）根轨迹的渐近线为,a,= 2,，,a,= 90,，,270,（,3,）根轨迹的分离点为,d,= 2,。,系统的根轨迹如图,4-21,所示。,图,4-21,例,4-12,的根轨迹,图,4-20,例,4-12,系统结构图,=0.707,的等阻尼比线交根轨迹于,A,点，求得此时闭环共轭复数极点为,s1,2= 2,j2,，相应的,K*=8,，,K=2,。,系统的闭环传递函数为,单位阶跃响应的拉氏变换式为,相应的单位阶跃响应为,4.5,应用,MATLAB,绘制根轨迹举例,【,例,4-13】,控制系统的开环传递函数为,绘制系统的根轨迹。,解：利用,rlocus,函数可直接作出系统的根轨迹，程序如下：,% example4-13,%,num=1,5;,dun=1,6,11,6,0;,rlocus(num,dun,),执行该程序后，可得到如图,4-22,所示的根轨迹。,图,4-22,例,4-13,的根轨迹,利用,rolcus,函数画出系统的根轨迹后，可用,rlocfind,函数在根轨迹上选择任意极点，得到相应的开环增益,K,和其他闭环极点。,【,例,4-14】,控制系统的开环传递函数为,绘制系统的根轨迹，并确定根轨迹的分离点及相应的开环增益,K,。,解：将开环传递函数写为,MATLAB,程序如下,：,% example4-14,%,num=1;,den=0.0002,0.03,1,0;,rlocus(num,den,),title(Root,Locus),k,p,=,rlocfind(num,den,),程序执行过程中，先绘出系统的根轨迹，并在图形窗口中出现十字光标，提示用户在根轨迹上选择一点，这时，将十字光标移到所选择的地方，可得到该处对应的系统开环增益及其他闭环极点。此例中，将十字光标移至根轨迹的分离点处，可得到,k =,9.6115,p =,107.7277,21.9341,20.3383,若光标能准确定位在分离点处，则应有两个重极点，即,p,2,与,p,3,相等。程序执行后，得到的根轨迹如图,4-23,所示。,图,4-23,例,4-14,的根轨迹,4.6,本 章 要 点,（,1,）掌握根轨迹的两个基本条件：幅值条件和相角条件，并能利用这两个基本条件确定根轨迹上的点及相应的增益值。,（,2,）掌握绘制根轨迹的基本规则。,（,3,）对于结构和参数已确定的系统，能够用根轨迹分析法分析出主要特性。掌握闭环主导极点与动态性能之间的关系，对于主导极点以外的其他闭环极点和零点，应能定性分析出它们对动态性能的影响。,（,4,）掌握增加开环零点和开环极点对系统动态性能的影响。,本章难点如下。,（,1,）依据系统特征方程或与其等价的幅角条件绘制控制系统的根轨迹。,（,2,）应用根轨迹分析法，定量地确定闭环零、极点分布和估算系统的性能。,4.7,本 章 习 题,1,画出下列开环传递函数的零、极点图，并指出它们的根轨迹增益是什么？开环增益是什么？,（,1,）,（,3,）,（,2,）,（,4,）,2,如果单位反馈控制系统的开环传递函数为,试绘制闭环系统的根轨迹，并判断下列点是否在闭环系统的根轨迹上：,2,、,5,、,j3,、,j1,、,3+j2,、,6j2,。,3,系统的开环传递函数如下，试确定分离点的坐标。,（,1,）,（,2,）,（,3,）,4,画出,K,*,为正值时的根轨迹，系统开环传递函数如下所示。确定根轨迹与虚轴的交点并求出相应的,K,*,值。,（,1,）,（,2,）,（,3,）,（,4,）,