第9章 微分方程初值问题的数值解法-1

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九章 微分方程初值问题的数值解法,内容提纲,引言,Euler,法及其改进,Runge-Kutta,方法,线性多步法,误差分析,数值解法的收敛性、相容性和稳定性,边值问题数值解法简介,引言,初值问题的数值解法,:,求初值问题的解在一系列节点的值,y,(,x,n,),的近似值,y,n,的方法,.,本章数值解法的特点,:,都是采用“步进式”,即求解过程顺着节点排列的次序一步步向前推进,.,基本知识,:,(1),定理,1:,如果函数,f,(,x,y,),在区域 上连续,且关于,y,满足,Lipschitz,条件,常,微分方程初值问题,:,求未知函数,y,=,y,(,x,).,此时,Lipschitz,条件显然成立,.,故常用 在,D,上连续有界来代替,f,(,x,y,),关于,y,满足,Lipschitz,条件,.,注,:,如无特别说明,总假设,(1),的解存在唯一且足够光滑,.,在,f,(,x,y,),对变量,y,可微的情形下,若偏导数 连续有界,则可取,L,为,除了要保证,(1),有唯一解外,还需保证微分方程本身是稳定的,即,(1),的解连续依赖于初始值和函数,f,(,x,y,).,也就是说,当初始值,y,0,及函数,f,(,x,y,),有微小变化时,只能引起解的微小变化,.,(,其中,L,称为,Lipschitz,常数,),则对任何,初值问题,(1),在,a,b,上存在唯一连续可微解,y,=,y,(,x,).,定理,2:,如果函数,f,(,x,y,),在区域 上关于,y,满足,Lipschitz,条件,则,(1),是稳定的,.,单步迭代,:,计算,y,n,+1,时仅用,y,n,;,初值问题,(1),与下列积分方程的解等价,:,初值问题的数值解就是求一系列节点,上函数,y,=,y,(,x,),的近似值,.,称为步长,.,一般取等步长,h.,多步迭代,:,计算,y,n,+1,时除用,y,n,外,还要用到,y,n,-,1,y,n,-,2,;,k,步迭代要用到,y,n,-,1,y,n,-,2,y,n,-,k,+1,.,显式单步迭代,:,隐式单步迭代,:,(2),一、,Euler,方法及其改进,将,a,b,n,等分,记,微分法,:,积分法,:,积分项利用矩形公式计算,1.,显式,Euler,方法,(),Taylor,公式推导,:,Euler,公,式几何意义,:,P,1,P,2,P,k,也称折线法,P,0,x,y,2.,梯形法,称之为梯形公式,.,这是一个隐式公式,通常用迭代法求解,.,具体做法,:,取,先用,Euler,法求出初值,即,将其代入梯形公式的右端,使之转化为显式公式,即,注,:,当,f,(,x,y,),关于,y,满足,Lipschitz,条件且步长,h,满足,直至满足,:,若采用梯形公式计算,(),中的积分项,则有,类似地,可得,(),时,迭代格式,(),收敛,.,3.,改进的,Euler,方法,把,Euler,法作为预报,(,称为预估公式,),把隐式的梯形公式作为校正,(,称为校正公式,),则得改进的,Euler,方法,:,或,也称为预估,-,校正法,.,有时为了方便,预估,-,校正格式也写成下面形式,:,二、单步法的局部截断误差及精度,Def,1:,先假设,再估计误差,这种误差称为单步迭代法在,x,k,+1,处的局部截断误差,.,Def,2:,若某种数值方法的局部截断误差为,则称该数值方法的精度为,P,阶的,.,注,:,通常情况下,P,越大,h,越小,则截断误差越小,数值方法越精确,.,设,1,0,.Euler,方法是一阶方法,.,所以,Euler,方法为一阶方法,.,而,2,0,.,梯形法是二阶方法,.,Taylor,展开,将 代入上式,得,而,代入上式得,:,当,h,充分小时,若,则可选取,h,使得,故梯形法的精度为,2,.,同样可以证明,改进的,Euler,法也是二阶方法,.,梯形法的,局部截断误差,为,:,从而,例,1:,取,步长,h=,2/10,2/20,2/30,2/40,分别用欧拉法、改进的欧拉法和梯形法求解,.,解,:,记,f,(,x,y,)=,y,x y,2,x,k,=,k h,(,k=,0,1,2,n,),(1).Euler,法,:,y,k+,1,=,y,k,+h,(,y,k,x,k,y,k,2,)(,k=,0,1,n,),y,0,=1,当,h=,2/10,时,n,=10.,由,Euler,公式可得,:,k,0,1,2,3,4,y,k+,1,1.2,1.3824,1.506,1.53504,1.46503,k,5,6,7,8,9,y,k+,1,1.32877,1.17077,1.02113,0.89169,0.783788,(2).,改进的,Euler,法,:,k,0,1,2,3,4,y,k+,1,1.1912,1.34384,1.42348,1.41905,1.3473,k,5,6,7,8,9,y,k+,1,1.23726,1.11424,0.994151,0.884751,0.788666,(3).,梯形法,(,计算过程略,),n,10 20 30 40,h,0.2 0.1 0.0667 0.05,误差,0.1059 0.0521 0.0342 0.0256,Euler,法误差,:,改进的,Euler,法误差,:,n,10 20 30 40,h,0.2 0.1 0.0667 0.05,误差,0.0123 0.0026 0.0011 5.9612e,-,004,预,-,校方法,h,=0.2,时,误差最大值,:0.0123,欧拉,方法,h,=0.2,时,误差最大值,:0.1059,解析解,:,三、,Runge,-,Kutta,方法,1,、,Taylor,级数,法,设初值问题 有解,y,(,x,),由,Tayler,公式得,:,令,当 时,有,.,此时,为,p,阶,Taylor,方法,.,p,=1,时即为,Euler,公式,.,称之为,Taylor,级数法,.,其中,例,2:,取步长,h,=0.1,用一阶、二阶和四阶,Taylor,方法求解下列初值问题,解,:(1),一阶,Taylor,法,k,0,1,2,3,4,y,k+,1,1.1,1.221,1.37008,1.55779,1.80046,(2),二阶,Taylor,法,k,0,1,2,3,4,y,k+,1,1.11,1.24689,1.42175,1.65263,1.97088,(3),四阶,Taylor,法,k,0,1,2,3,4,y,k+,1,1.1111,1.24996,1.42848,1.66644,1.99942,记,由,得,称为,x,k,x,k,+1,上的平均斜率,.,故,2,、,Runge,-,Kutta,方法,只要对,K,*,提供不同的算法,就会得出不同的计算公式,.,如取,则得改进的,Euler,公式,它是利用,x,k,x,k,+1,两点的斜率值,K,1,K,2,的算术平均值作为,K,*,精度比,Euler,法高,.,则得,Euler,公式,;,取,Runge-Kutta,法的,基本思想,:,设法在,x,k,x,k,+1,内多预报几个点的斜率,再将它们的加权平均值作为平均斜率,K,*,一般显式,Runge-Kutta,公式,为,:,其中 为待定参数,且,.,称为,r,级,Runge-Kutta,方法计算公式,.,注,:,式中待定参数的确定,:,先将式右端在,(,x,k,y,k,),处展成,h,的幂级数,(,即将,y,k,+1,展成,h,的幂级数,);,再将,y,(,x,k,+1,),作,Taylor,级数展开,;,最后比较两式中,h,k,(,k,=0,1,2,),的系数,以确定出所有待定参数,.,即可得,p,个方程,从而确定出待定参数,.,代入表达式即可得到计算公式,.,如果要求两个表达式的前,p+1,项完全重合,即局部截断误差达到,则称式为,p,阶,r,级,的,Runge-Kutta,方法,.,常用的是,r,=2,3,4,级的,R-K,方法,且适当选取参数使得,p,=,r,.,如要求,:,Runge-Kutta,方法的推导,(,以,r,=2,为例,):,当,r,=2,时,则,记,又,(1),常用的二阶,Runge-Kutta,方法,:,预估,-,校正算法,(2),这是一个四个参数三个方程的非线性方程组,.,它有一个自由度,.,称满足上述方程组的一族公式为二级二阶,Runge-Kutta,方法,.,为使局部截断误差为,比较上述两式右端同次幂系数,应,取,注,:,二级,Runge-Kutta,方法的精度最高是二阶的,不可能达到三阶,.,要提高计算方法的阶,就必须增加预报点,.,常用的三阶,Runge-Kutta,方法,(,r,=3):,(1),Heun,(,休恩,),方法,中间点方法,(3),三阶,Kutta,方法,(1),三阶,Heun,方法,标准,(,经典,),四阶,Runge-Kutta,方法,(2),常用的四阶,Runge-Kutta,方法,(,r,=4):,(2),称为,Gill(,吉尔,),方法,注,:,从理论上讲,可以构造任意高阶的计算方法,.,但事实上,精度的阶数与预报点的个数之间并非等量关系,.,预报点的个数,r,1,2,3,4,5,6,7,8,9,r,10,精度的阶数,1,2,3,4,4,5,6,6,7,r,-,2,一般情况下,四阶,Runge-Kutta,方法已可满足精度要求,.,例,3:,用经典,Runge-Kutta,方法求解下列初值问题,(,取,h,=0.1),解,:,标准,Runge-Kutta,公式为,:,计算结果见下表,.,为比较在相同计算量条件下近似解的精度,表中列出了,Euler,法,(,h,=0.025),和改进的,Euler,法,(,h,=0.05),在相应节点上的计算结果,.,x,i,Euler,法,h,=0.025,改进,Euler,法,h,=0.05,经典,R-K,法,h,=0.1,准确解,0.1,1.111439,1.115380,1.115512,1.115513,0.2,1.255209,1.263914,1.264208,1.264208,0.3,1.434667,1.449089,1.449576,1.449576,0.4,1.653517,1.674756,1.675473,1.675474,0.5,1.915849,1.945171,1.946162,1.946164,0.6,2.226178,2.265040,2.266354,2.266356,0.7,2.589485,2.639561,2.641255,2.641258,0.8,3.011271,3.074479,3.076619,3.076623,0.9,3.497606,3.576144,3.578804,3.578809,1.0,4.055192,4.151573,4.154839,4.154845,注,:,用表中每种方法计算,y,i,都需要计算四次,f,的值,即它们的计算量基本相等,.,四、,单步,法的进一步讨论,收敛性、相容性与稳定性,注,:,由定义可知,数值方法的收敛性并不涉及计算过程的舍入误差,只与方法的截断误差有关,.,若格式收敛,则整体截断误差必趋于零,.,Def,:,(,整体截断误差,),称,为某一数值方法在点,x,k,处的整体截断误差,.,它不仅与,x,k,有关,也与,x,k,-1,x,k,-2,x,1,x,0,有关,.,则称该单步法收敛,.,Def,:,对满足解存在唯一性条件的初值问题,(1),如果一个显式单步法,(3),产生的近似解对于任一固定的,均有,1.,收敛性,由于,且 关于,y,满足,Lipschitz,条件,得,则存在常数,c,0,使得,且单步法中函数 关于,y,满足,Lipschitz,条件,则,定理,1:,若初值问题的一个单步法的局部截断误差为,记,证,:,由局部截断误差