大学数学实验7-差分方程

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,差 分 方 程,差分方程是在离散时段上描述现实世界中变化过程的数学模型,.,现实中的问题通常是连续变化的，但我们常常只能在离散的时间点上对其进行观测和描述。为了表述这一类的数学模型，我们引入了差分方程的方法。,x,k+1,=(1+r),x,k,k=0,1,2 ,以,k=0,时,x,0,=M,代入，递推,n,次可得,n,年后本息为,例,1,、某种货币,1,年期存款的年利率是,r,，现存入,M,元，问,n,年后的本金与利息之和是多少？,记第,k,天的污水浓度为,c,k,则第,k+1,天,的污水浓度为,c,k+1,=(1-q),c,k,k=0,1,2,从,k=0,开始递推,n,次得,以,c,n,=,c,0,/2,代入即求解。,例,2,污水处理厂每天可将处理池的污水浓度降低一个固定比例,q,，问多长时间才能将污水浓度降低一半？,一阶线性常系数差分方程,濒危物种的自然演变和人工孵化,问题：,Florida,沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为,1.94%,，而在中等和较差环境下年均增长率分别为,-3.24%,和,-3.82%,，如果在某自然保护区内开始有,100,只鹤，建立描述其数量变化规律的模型，并作,数值计算。,模型建立,记第,k,年沙丘鹤的数量为,x,k,年均增长率为,r,，则第,k+1,年鹤的数量为,x,k+1,=(1+r),x,k k=0,1,2,已知,x,0,=100,在较好、中等和较差的自然环境下,r=0.0194,-0.0324,和,-0.0382,我们利用,Matlab,编程，递推,20,年后观察沙丘鹤的数量变化情况,Matlab,实现,首先建立一个关于变量,n,，,r,的函数,function x=exf11(x0,n,r),%,建立名为,exf11,的函数,M,文件，,x0,n,r,可调节,a=1+r;,x=x0;%,赋初值,for k=1:n,x(k+1)=a*,x(k,);,迭代计算,end,在,command,窗口里调用,exf11,函数,clear all,%x0:初始值；,x0=100;n=20;,k=(0:n);,y1=,exf11,(x0,n,0.0194);,%给定x0,n,r，b,调用exf,11,计算,y2=,exf11,(x0,n,-0.0324);,y3=,exf11,(x0,n,-0.0382);,exam02011,round(k,y1,y2,y3),%对结果四舍五入取整,plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,-),%将3条线画在一个图上,gtext(r=0.0194),gtext(r=-0.0324),gtext(r=-0.0382),%在图上做标记,人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如果每年孵化,5,只鹤放入保护区，观察在中等自然条件下沙丘鹤的数量如何变化,x,k+1,=,a,x,k,+5 ,a=1+r,如果我们想考察每年孵化多少只比较合适，可以令,x,k+1,=,a,x,k,+b ,a=1+r,exam0201,也可以观察,200,年的发展趋势，以及在较差条件下的发展趋势，也可以考察每年孵化数量变化的影响。,自然环境下,b=0,人工孵化条件下,结果分析,在 中,令,x,k,=,x,k+1,=,x,得,称为差分方程的平衡点,k,时，,x,k,x,称平衡点是稳定的，否则平衡点是不稳定的。,显然平衡点稳定的充要条件是,|a|0.191,线性常系数差分方程组,当我们研究的对象是若干变量构成的一个向量的离散动态过程时，用差分方程组描述比较方便,汽车租赁公司的运营,一家汽车租赁公司在,3,个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租赁期内在,A,市租赁的汽车在,A,B,C,市归还的比例分别为,0.6,0.3,0.1,;,在,B,市租赁的汽车归还比例,0.2,0.7,0.1,;C,市租赁的归还比例分别为,0.1,0.3,0.6,。若公司开业时将,600,辆汽车平均分配到,3,个城市，建立运营过程中汽车数量在,3,个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。,0.6,0.3,A B C,A B C,A B C,假设在,每个租,赁期开,始能把,汽车都,租出去，,并都在,租赁期,末归还,0.1,0.7,0.2,0.1,0.6,0.3,0.1,模型及其求解,记第,k,个租赁期末公司在,ABC,市的汽车数量分别为,x1(k),x2(k),x3(k),（也是第,k+1,个租赁期开始各个城市租出去的汽车数量），很容易写出第,k+1,个租赁期末公司在,ABC,市的汽车数量为,(k=0,1,2,3),用矩阵表示,用,matlab,编程，计算,x(k,),观察,n,个租赁期以后,3,个城市的汽车数量变化情况,clear all,A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6;,x(:,1)=200,200,200;%,赋初值,n=10;,for k=1:n,x(:,k+1)=A*,x(:,k,);%,迭代计算,end,round(x,),k=0:10;,plot(k,x),grid,gtext(x1(k),gtext(x2(k),gtext(x3(k),exam0204,可以看到时间充分长以后,3,个城市汽车数量趋于,180,，,300,，,120,可以考察这个结果与初始条件是否有关,若最开始,600,辆汽车都在,A,市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关,直接输入,x(:,1)=600,0,0;,的值即可,结果分析,为了证实上面的猜想，记稳定值为,x,，则,x,应满足,Ax=x,这表明矩阵,A,的一个特征根是,1,，且,x,是对应的特征向量。,事实上，从矩阵各列之和为,1,，可知它有特征根,1.,不同年龄组的繁殖率和死亡率不同,建立差分方程模型，讨论稳定状况下种群的增长规律,假设与建模,种群按年龄大小等分为,n,个年龄组，记,i=,1,2,n,时间离散为时段，长度与年龄组区间相等，记,k=,1,2,以雌性个体数量为对象,第,i,年龄组,1,雌性个体在,1,时段内的,繁殖率,为,b,i,第,i,年龄组在,1,时段内的死亡率为,d,i,存活率,为,s,i,=,1,-d,i,按年龄分组的种群增长,假设,与,建模,x,i,(,k,),时段,k,第,i,年龄组的种群数量,按年龄组的分布向量,预测任意时段种群按年龄组的分布,Leslie,矩阵,(L,矩阵,),(,设至少,1,个,b,i,0),离散形式的阻滞增长模型,(logistic,模型,),两个人口模型：,1,、指数增长模型：英国人口学家,Malthus,在假设人口增长率是,r,保持不变的情况下，得到的模型,这里，时刻,t,的人口为,x,(,t,),，并且,x,(,t,),是连续、可微函数,解这个常微分方程得,离散形式为,一阶线性常系数差分方程,此模型用作短期的人口预测可以得到较好的结果，但是，长期来说，人口增长率是在不断变化的，所以需要修改人口增长率是常数这个基本假设。,2,、阻滞增长模型：是荷兰生物学家,Verhulst,提出的，当增长受到制约时，设最大人口数量为,r,为固有增长率,离散形式为：,非线性差分方程,其中,N,为种群最大容量，研究,k,充分大以后种群的增长趋势。,exam0206,设,N=1,r=0.3,1.8,2.5,，初值为,0.1,时的情况,结果分析,:,将上述非线性差分方程写为,令,得到,解得,这是非线性差分方程的两个平衡点。,