4-6_函数的凸凹性与函数作图

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,函数曲线除了有升有降之外,还有不同的弯曲方向,如何根据函数本身判断函数曲线的弯曲方向呢？,4-6,函数的凸凹性与函数作图,1.,函数的凸凹性,函数的,凸,(,向上凸,),凹,(,向下凸,),性,定义,设 在 上可导,若对于每一点,都有,则称 在 是,凸,的,;,则称 在 是,凹,的,.,(,曲线弧总是在它的切线的下方,),(,曲线弧总是在它的切线的上方,),曲,线,的,凹凸性,定义,设,f,(,x,),在区间,I,上连续,对,I,上任意两点,x,1,x,2,如果,恒有,那么称,f,(,x,),在,I,上的图形是凹的,那么称,f,(,x,),在,I,上的图形是凸的,如果恒有,观察与思考,:,f,(,x,),的图形的凹凸性与,f,(,x,),的单调性的关系,.,1),f,(,x,),的图形是凹的,2),f,(,x,),的图形是凸的,f,(,x,),单调增加,;,f,(,x,),单调减少,.,定理,(,曲线凹凸性的判定法,),设,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内具有二阶导数,.,若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凹的,若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凸的,例,判断曲线,y,x,3,的凹凸性,解,y,3,x,2,y,6,x,由,y,0,得,x,0,.,因为当,x,0,时,y,0,时,y,0,所以曲线在,0,),上是凹的,定理,(,曲线凹凸性的判定法,),设,f,(,x,),在,a,b,上连续,在,(,a,b,),内具有二阶导数,.,若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凹的,若在,(,a,b,),内,f,(,x,)0,则,f,(,x,),在,a,b,上的图形是凸的,拐点,连续曲线,y,f,(,x,),上凹弧与凸弧的分界点称为该曲线的拐点,定理,如果在的左右两侧,异号,则,是拐点,.,在拐点处,不存在,.,拐点,是的拐点，,设在 内有连续的二阶导数,若点,则,讨论,曲线,y,x,4,是否有拐点？,例,解,二阶导数无零点,;,当,x,0,时,二阶导数不存在,因为当,x,0,当,x,0,时,y,0,所以,点,(0,0),是曲线的拐点,只有,f,(,x,0,),等于零或不存在,(,x,0,f,(,x,0,),才可能是拐点,.,如果在,x,0,的左右两侧,f,(,x,),异号,则,(,x,0,f,(,x,0,),是拐点,.,虽然,y,(0)0,但,(0,0),不是,拐点,.,y,O,x,y=x,4,例,求曲线,y,3,x,4,4,x,3,1,的拐点及凹、凸的区间,解,(1),函数,y,3,x,4,4,x,3,1,的定义域为,(,),(4),列表判断,在区间,(,0,和,2/3,),上曲线是凹的,;,在区间,0,2/3,上曲线是凸的,点,(0,1),和,(2/3,11/27),是曲线的拐点,(,0),0,(,0 2/3),2/3,(2/3,),0,0,1,11/27,y,(,x,),y,(,x,),x,只有,f,(,x,0,),等于零或不存在,(,x,0,f,(,x,0,),才可能是拐点,.,如果在,x,0,的左右两侧,f,(,x,),异号,则,(,x,0,f,(,x,0,),是拐点,.,例,求曲线,y,3,x,4,4,x,3,1,的拐点及凹、凸的区间,只有,f,(,x,0,),等于零或不存在,(,x,0,f,(,x,0,),才可能是拐点,.,如果在,x,0,的左右两侧,f,(,x,),异号,则,(,x,0,f,(,x,0,),是拐点,.,在区间,(,0,和,2/3,),上曲线是凹的,;,在区间,0,2/3,上曲线是凸的,点,(0,1),和,(2/3,11/27),是曲线的拐点,渐近线,2.,函数作图,证,此时 为,水平渐近线,；,若,若当 或,(,或,),时 或,，此时为,垂直渐近线,定理,3,设函数 在 上有定义,则直线,是 当 时之渐近线,函数作图的一般步骤,利用函数特性描绘函数图形,.,第一步,第二步,第三步,第四步,确定函数图形的水平,渐近线,、垂直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势,;,列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点和拐点,:,不存在,拐点,极值点,间断点,小结,函数图形的描绘是函数导数特性的综合应用,.,最大值,最小值,极大值,极小值,拐点,凹的,凸的,单增,单减,M,1,M,2,N,1,N,2,观察曲线的弯曲线程度与切线的关系,：,*,4-7,曲线的曲率,一条曲线的,弯曲程度,可以根据它在单位长度内切线转过的角度的大小来表达,.,C,M,0,M,M,D,s,),),s,x,y,O,设曲线,C,是光滑的，曲线,线,C,上从点,M,到点,M,的弧长为,D,s,切线的转角为 ,设在 上连续，且在 内有二阶导数曲线弧 上任一点处的切线与,轴的夹角,定义,:,曲线的曲率,所以,曲线弧 上处的,曲率,为,时，称为曲线在该点处的,曲率半径,曲线在,M,点的曲率中心,y,=,f,(,x,),x,y,O,D,r,曲线在,M,点的曲率半径,曲线在,M,点的曲率圆,M,