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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,第三章圆锥曲线的方程,3.1,椭圆,3.1.1,椭圆及其标准方程,学习目标,素养要求,1,经历从具体情景中抽象出椭圆模型的过程，掌握椭圆的定义,数学抽象,2,掌握椭圆标准方程的两种形式及其推导过程,数学抽象,3,能根据条件确定椭圆的标准方程，掌握运用定义法，待定系数法求椭圆的标准方程的方法,数学运算,|,自 学 导 引,|,椭圆的,定义,1,平面内与两个定点,F,1,，,F,2,的距离的和等于,_(,大于,_),的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距,2,椭圆的定义用集合语言叙述为：,P,M,|,MF,1,|,|,MF,1,|,2,a,2,a,|,F,1,F,2,|,常数,|,F,1,F,2,|,1,思维辨析,(,对的画,“”,，错的画,“”,),(1),已知点,F,1,(,4,0),，,F,2,(4,0),，平面内到,F,1,，,F,2,两点的距离之和等于,8,的点的轨迹是椭圆,(,),(2),已知点,F,1,(,4,0),，,F,2,(4,0),，平面内到,F,1,，,F,2,两点的距离之和等于,6,的点的轨迹是椭圆,(,),【,预习自测,】,(3),平面内到点,F,1,(,4,0),，,F,2,(4,0),两点的距离之和等于点,M,(5,3),到,F,1,，,F,2,的距离之和的点的轨迹是椭圆,(,),(4),平面内到点,F,1,(,4,0),，,F,2,(4,0),距离相等的点的轨迹是椭圆,(,),【答案】,(1),(2),(3),(4,),【解析】,(1),因为,2,a,|,F,1,F,2,|,8,，动点的轨迹是线段,F,1,F,2,，不是椭圆,(2)2,a,|,F,1,F,2,|,，动点不存在，因此轨迹不存在,(3),符合椭圆的定义,(4),平面内到点,F,1,(,4,0),，,F,2,(4,0),距离相等的点的轨迹是线段,F,1,F,2,的垂直平分线,【答案】,D,定义中的常数不满足,2,a,|,F,1,F,2,|,时点的轨迹是什么？,【答案】,提示：,(1),当,|,PF,1,|,|,PF,1,|,2,a,|,F,1,F,1,|,时，点,P,的轨迹不存在,(2),当,|,PF,1,|,|,PF,1,|,2,a,|,F,1,F,2,|,时，点,P,的轨迹为以,F,1,，,F,2,为端点的线段,微思考,椭圆的标准方程,椭圆标准方程的两种形式,(,c,0),，,(,c,0),(0,，,c,),，,(0,，,c,),a,2,b,2,c,2,若一个椭圆的长轴长是短轴长的,3,倍，焦距为,8,，则这个椭圆的标准方程为,_,【,预习自测,】,从椭圆的标准方程如何判断椭圆焦点的位置？,【答案】,提示：判断椭圆焦点在哪个轴上就要判断椭圆标准方程中,x,2,项和,y,2,项的分母哪个更大一些，即,“,谁大在谁上,”,微思考,|,课 堂 互 动,|,题型,1,求椭圆的标准方程,求适合下列条件的椭圆的标准方程：,(1),两个焦点的坐标分别是,(,4,0),，,(4,0),，椭圆上一点,P,到两焦点距离的和是,10,；,(2),焦点在,y,轴上，且经过两个点,(0,2),和,(1,0),(3),找关系：依据已知条件，建立关于,a,，,b,，,c,或,m,，,n,的方程组,(4),得方程：解方程组，将,a,，,b,，,c,或,m,，,n,代入所设方程即为所求,提醒：,焦点所在坐标轴不同，其标准方程的形式也不同,1,求适合下列条件的椭圆的标准方程：,(1),两个焦点坐标分别是,(,3,0),，,(3,0),，椭圆经过点,(5,0),；,(2),两个焦点坐标分别是,(0,5),，,(0,，,5),，椭圆上一点,P,到两焦点的距离和为,26,【例题迁移,1,】,(,变换条件,),把本例条件,“,PF,1,F,2,120,”,改为,“,F,1,PF,2,60,”,，求,PF,1,F,2,的面积,【例题迁移,2,】,(,改变问法,),在本例题设条件不变的情况下，求点,P,的坐标,解：,如图，因为,|,AF,1,|,|,AF,2,|,2,a,，,|,BF,1,|,|,BF,2,|,2,a,，,所以,ABF,2,的周长,|,AB,|,|,AF,2,|,|,BF,2,|,|,AF,1,|,|,AF,2,|,|,BF,1,|,|,BF,2,|,2,a,2,a,4,a,，,所以,ABF,2,的周长为,4,a,【答案】,B,解决与椭圆有关的轨迹问题的两种方法,(1),定义法：用定义法求椭圆方程的思路是先观察、分析已知条件，看所求动点轨迹是否符合椭圆的定义若符合椭圆的定义，则用待定系数法求解即可,(2),相关点法：有些问题中的动点轨迹是由另一动点按照某种规律运动而形成的，只要把所求动点的坐标,“,转移,”,到另一个动点在运动中所遵循的条件中去，即可解决问题，这种方法称为相关点法,3,求过点,P,(3,0),且与圆,x,2,6,x,y,2,91,0,相内切的动圆圆心的轨迹方程,解：,圆方程配方整理得,(,x,3),2,y,2,10,2,，圆心为,C,1,(,3,0),，半径为,R,10,设所求动圆圆心为,C,(,x,，,y,),，依题意有,|,CC,1,|,R,r,，,|,PC,|,r,，,R,|,PC,|,|,CC,1,|,，即,|,PC,|,|,CC,1,|,R,，即,|,PC,|,|,CC,1,|,10,错解分析：,错误的原因是没有注意椭圆的标准方程中,a,b,这个条件，当,a,b,时，方程并不表示椭圆,|,素 养 达 成,|,1,对椭圆定义的三点说明,(1),椭圆是在平面内定义的，所以,“,平面内,”,这一条件不能忽视,(2),定义中到两定点的距离之和是常数，而不能是变量,(3),常数,2,a,必须大于两定点间的距离，否则轨迹不是椭圆，这是判断一曲线是否为椭圆的限制条件,2,椭圆定义的两个应用,(1),若,|,MF,1,|,|,MF,2,|,2,a,(2,a,|,F,1,F,2,|),，则动点,M,的轨迹是椭圆,(2),若点,M,在椭圆上，则,|,MF,1,|,|,MF,2,|,2,a,3,椭圆标准方程的特点,(1),方程形式：从方程结构上看，在标准方程中，左边是两个平方相加，右边是,“1”,，,x,2,，,y,2,的系数均为正且不相等有时可简记作：,Ax,2,By,2,1(,其中,A,0,，,B,0,，,A,B,),(,2),焦点的位置：利用标准方程判断焦点的位置的方法是看大小，即看,x,2,，,y,2,的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上较大的分母是,a,2,，较小的分母是,b,2,(3),a,，,b,，,c,三个量的关系：椭圆的标准方程中，,a,表示椭圆上的点,M,到两焦点间距离的和的一半，可借助图形帮助记忆,a,，,b,，,c,(,都是正数,),恰是构成一个直角三角形的三条边，,a,是斜边，所以,a,b,，,a,c,，且,a,2,b,2,c,2,(,如图所示,),【答案】,D,【答案】,C,【答案】,B,4,(,题型,1),椭圆,9,x,2,16,y,2,144,的焦点坐标为,_,5,(,题型,3),已知圆,M,：,(,x,1),2,y,2,1,，圆,N,：,(,x,1),2,y,2,9,，动圆,P,与圆,M,外切并且与圆,M,为切，圆心,P,的轨迹为曲线,C,，求,C,的方程,
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