微积分(赵树嫄)第一章函数

微积分,刻苦 勤奋,求实 创新,祝新学期取得新的进步！,引言,（一）上大学学什麽？,珍惜时光,三个方面,学会自学,尝试研究性的学习方法：,提出问题、研究问题、解决问题,注重持续性学习：,有计划地安排学习,做人之道, 治学之方, 健身之术,学会向书本、老师、周围同学,（二）学数学学什麽？,数学的基本特征,抽象性,演绎性,广泛性,（研究对象）,（论证方法）,（应用）,假设,结论,logic,理性,思维,关于学习数学的要求,搞清概念，侧重思路,适当做题，掌握基本,广泛联想，多方应用,（三）这个学期学什麽？,一元函数微分,利用极限研究函数的种种表达及其诸多性质,极限的直观定义与计算,导数与微分的概念与计算,微分学应用,一元函数积分,不定积分,定积分概念与计算,积分学应用,简单微分方程,多元函数,偏导数,重积分,交作业时间： 星期一,微 积 分,微 积 分,在中学里接触到的大多是初等数学，即只讨论,简单的量的关系,，尤其只讨论,常量和固定图形,，这种数学思想一直沿袭到十七世纪初，尔后法国数学家,笛卡尔,(R.Descartes 1596-1650)把变量引进了数学，并创立了坐标概念，于是在数学中不再限制于考虑常量和固定图形，进而开始考虑变的量和图形。高等数学就应运而生。这主要归功于英国数学家,牛顿,(I.Newton 1643-1727)和法国数学家,莱布尼兹,(G.W.Leibniz 1646-1716)。这就是今后要学习的课程。,链接目录,第一章,函数,第二章,极限与连续,第三章,导数与微分,第四章,中值定理,导数的应用,第五章,不定积分,第六章,定积分,第七章,无穷级数(不要求),第八章,多元函数,第九章,微分方程,复习,参考书,1赵树嫄. 微积分. 中国人民出版社,2同济大学. 高等数学. 高等教育出版社,第一章 函数,集合,函数概念,函数的几种特性,反函数,复合函数,初等函数,函数,-,集合,集合是指具有特定性质的一些事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.,通常用大写拉丁字母表示集合，小写字母表示元素.,a是集合M的元素,记作,a,M,(读作a属于M)；,a不是集合M的元素,记作,a,M,(读作a不属于M).,集合定义,函数,-,集合,例子,1. 1990年10月1日在南宁市出生的人。,2. 彩电、电冰箱、VCD。,3. x,2,-5x+6=0的根。,集合具有确定性，即对某一个元素是否属于某个集合是确定的，是或不是二者必居其一。,由有限个元素构成的集合,，称为有限集合。,由无限多个元素构成的集合,，称为无限集合；,4. 全体偶数。,函数,-,集合,集合的表示法,1.,列举法,：,按任意顺序列出集合的所有元素,并用括起来。,例,： 由x,2,-5x+6=0的根所构成的集合A，可表示为：,A=2,3,注,：必须列出集合的所有元素，不得遗漏和重复。,函数,-,集合,2.,描述法,：,设P(a)为某个与a有关的条件或法则，A为满足P(a)的一切a构成的集合,，记为：,A=a|P(a),例,： 由x,2,-5x+6=0的根所构成的集合A，表示为：,A=x|x,2,-5x+6=0,例,：全体实数组成的集合通常记作R，即：,R=x|x为实数,函数,-,集合,子集,如果集合A的元素都是集合B的元素，即若 x,A则必x,B,，就说A是B的子集，记作A,B(读作A包含于B)或B,A(读作B包含A),如果A,B且或A,B，则称A与B相等。,A,A,即集合,A,是其自己的子集。,传递性,A,B、B,C,则,A,C。,A，,即空集是任何集合,A,的子集。,函数,-,集合,全集与空集,所研究的所有事物构成的集合称为全集,记为:,U,。,不含任何元素的集合称为空集，记为：,。,例1：x,2,+1=0实数根集合为空集。,例2：平面上两条平行线的交点集合为空集。,注：,0,及,都不是空集，前者有元素,0,，后者有元素,。,函数,-,集合,集合的运算,集合的并：,A,B=x|x,A 或x,B,集合的交：,A,B=x|x,A 且x,B,集合的差：,A,-,B=x|x,A 且x,B,函数,-,集合,区间,在一条直线上指定了一点作为,原点O,，再指定了,正向,，此外又规定了,单位长度,，这条直线就称为数轴。,数轴上的点与实数之间可以建立一一对应的关系。有时为了形象化起见，把,数x称为点x,，就是指数轴上与数x对应的那个点。,1,-1,0,O,x,函数,-,集合,闭区间：,a,b=x|axb,开区间：,(a,b)=x|axb,左闭右开区间：,a,b)=x|axb,左开右闭区间：,(a,b=x|axb,有限区间,O,x,a,b,O,x,a,b,O,x,a,b,O,x,a,b,函数,-,集合,a, +,)=x|ax,(-,b=x|xb,(-,b)=x|xb,无限区间,实数集(-,+,)=x | -,x+,O,x,a,O,x,b,(a, +,)=x|ax,O,x,b,O,x,a,函数,-,集合,邻域,(,a,),=,x| |x-a|,=,x|a-,xa+,=(,a-,a+,),称为点,a,的,邻域,。,a,称为邻域的中心，,称为邻域的半径。,x,a,a-,a+,例,：,(,2 ,1,)=,x | |x-2|1,=,x | 1x3,=(,1, 3,),x,2,1,3,=1,=1,函数,-,集合,空心邻域,( a ,)=,x | 0|x-a|,=,x | a-,xa,或,axa+,=,(,a-,a,)U(,a , a+,),称为点,a,的,空心邻域,。,x,a,a-,a+,例,：,U,(,2,1,)=,x|0|x-2|1,=,x|1x2,或,2x0,3,x,-2 1,x,2/3,x, 1,D=(2/3,1),(1,+,),例2：,确定函数,y=arcsin,的定义域。,25-,x,2,1,x-,1,5,+,解：,解：,x-,1,5,1,25-,x,2,0,25-,x,2,0,-,4,x,6,|x-,1|,5,25-,x,2,0,-,5,x0,tgx ,0,tg,x,1,x,(,k, k,+ ),解：,x,k,+,2,2,x,(,k,+ , k,+ ),4,2,x,(,k,+ , k,+ ), k=0,1,2,3,为所求的定义域,4,2,函数,-,函数的性质,1函数的有界性:,M,-M,y,x,o,y=f(x),X,有界,M,-M,y,x,o,X,无界,函数,-,函数的性质,例1:f(,x,)=sin,x,在(,-,+,)内是有界的。,因为|,sin,x,|,1。,例2:f(,x,)=1/,x,在(,0 ,1,)内是无界的。在1,+,)内有界。,例3:,函数,-,函数的性质,2函数的单调性:,x,y,o,函数,-,函数的性质,x,y,o,函数,-,函数的性质,例1:,判断函数,y=,x,3,的单调性。,解：,对于任意的,x,l,、,x,2,，设,x,l,x,2,x,2,3,-x,1,3,0,所以,x,2,3,x,1,3,，故,y=,x,3,在(,-,+,)是单调增加的。,当,x,1,x,2,0,时,x,1,2,+,x,1,x,2,+,x,2,2,0,所以,f(,x,2,),-,f(,x,1,)0,f(,x,2,),-,f(,x,1,)=,x,2,3,-,x,1,3,=,(,x,2,-,x,1,)(,x,1,2,+,x,1,x,2,+,x,2,2,),当,x,1,x,2,0,所以,f(,x,2,),-,f(,x,1,)0,函数,-,函数的性质,例2:,判断函数,y=2,x,2,+1,的单调性。,解：,x,l,、,x,2,R,，设,x,l,x,2,(,x,1,+x,2,)0,f,(,x,1,),f,(,x,2,),f,(,x,)单调减少,(,x,1,+x,2,)0,当 x,l,、,x,2,0,+,),f,(,x,1,),-f,(,x,2,)0,f,(,x,1,)0,a,1),对数函数,y=,log,a,x,(,a,是常数,a,0,a,1),三角函数,y=,sin,x, y=,cos,x, y=,tg,x, y=,ctg,x,y=,sec,x, y=,csc,x;,反三角函数,y=,arcsin,x, y=,arccos,x, y=,arctg,x, y=,arcctg,x .,0,过(0,0),(1,1),在(0, +)递增,1递增,0,a,1递增,0,a,1递减,由常数及基本初等函数经过有限次四则运算及有限次的复合所构成并可以用一个式子表示的函数，叫,初等函数,。,函数,-,初等函数,三角函数,y=,sin,x, y=,cos,x, y=,tg,x, y=,ctg,x,y=,sec,x, y=,csc,x;,函数,定义域,值域,周期,奇偶,单调,y=sinx,(-, +),-1,1,2,奇,(-,/2+2k,/2+2k,)递增,(,/2+2k, 3,/2+2k,)递减,y=cosx,(-, +),-1,1,2,偶,(,+2k, 2,+2k,)递增,(2k,+2k,)递减,y=tgx,x,/2+k,(-, +),奇,(-,/2+k,/2+k,)递增,y=ctgx,x,k,(-, +),奇,(k,+k,)递减,y=secx,x,/2+k,(-, -1U,1, +),2,偶,(2k,/2+2k,),(,/2+2k,+2k,) 递增,(-,/2+2k,2k,),(,+2k,3,/2+2k,)递减,y=cscx,x,k,(-, -1U,1, +),2,奇,(-,/2+2k,2k,),(2k,/2+2k,)递增,(,/2+2k,+2k,),(,+2k, 3,/2+2k,)递减,函数,-,初等函数,y=,csc,x,y=,sec,x,y=,ctg,x,y=tgx,y=,cosx,y=,sin,x,函数,-,初等函数,y=,arcsin,x,y=,arccos,x,y=,arcctg,x,y=,arctg,x,作业,P43 37. 38. 39. 55. 56,习题选讲,例,设,f,(,x,)=,1 |,x,|1,g,(,x,)=e,x,求fg(,x,)和gf(,x,),并画图。,D,f,=(-,+),W,f,=-1,0,1,D,g,=(-,+),W,g,=(0, +),D,f,W,g,=,W,g,=(0, +),所以定义域为：,D=D,g,=(-, +),1 |g(,x,)|1 i.e,x,1 i.e,x,0,fg(,x,)=,D,g,W,f,=,W,f,=-1,0,1,所以定义域为：,D=D,f,=(-, +),e,1,|,x,|1,gf(,x,)=,e,f(,x,),=,e,|,x,|1,gf(,x,)=,e,f(,x,),=,