计算机数学02

,第二章导数与微分,后页,首页,前页,第二章导数与微分,后页,首页,前页,根本要求、重点难点,2.1导数概念,2.2导数的根本公式与运算法那么,2.3殊函数求导法及高阶导数,2.4变化率问题实例,2.5微分,2.6演示与实验二,根本要求,掌握导数的概念、根本公式与运算法那么，并会用定义求一些简单函数的导数。,了解导数在各种领域的应用并观察其自变量有微小改变时，函数大体上的变化。,掌握特殊函数求导法和高阶导数。,重点难点,重点：,微分概念的理论和实际应用。,导数在各种领域的应用。,导数的概念、导数公式和求导法那么。,难点：,导数的概念、导数公式和求导法那么。,2.1导数概念,2.1.1引例,当,M,沿曲线,C,趋向于,M,0,时，割线,M,0,M,的极限位置是直线,M,0,T,，这正是曲线,C,在点,M,0,处的切线。因此，切线的斜率为：,若这个极限不存在,(,且不是无穷大,),，则曲线在,M,0,处无切线。,2.1.2导数的定义,定义,2.1,设函数,y,f,(,x,),在点,x,0,的某个邻域内有定义。当自变量,x,在,x,0,处有增量,x,(,x,0),时，相应的函数值有增量,y,f,(,x,0,+,x,),f,(,x,0,),。如果当,x,0,时，,y,x,的极限存在，即,存在，那么称此极限值为,f,(,x,),在,x,0,处的导数，并称函数,f,(,x,),在,x,0,处可导。,f,(,x,),在,x,0,处的导数记作,y,/,x,称为,f,(,x,),在区间,x,0,，,x,0,+,x,上的,平均变化率,。导数,f,(,x,0,),也称为,f,(,x,),在,x,0,处的,瞬时变化率,(,简称变化率,),。,定义2.2,假设函数f(x)在区间(a，b)内每一点都可导，那么称函数f(x)在区间(a，b)上可导。这时函数f(x)对于(a，b)内每一个确定的值，都对应一个确定的导数值，因此构成了一个新的函数，这个函数叫做f(x)的导函数，简称导数，记作,f(x)或dy/dx。,2.1.3导数的几何意义,从引例可以看出，函数,y,f,(,x,),在点,x,0,处的导数,f,(,x,0,),就是曲线,y,f,(,x,),在点,(,x,0,，,f,(,x,0,),处的切线的斜率。,如,f,(,x,),x,3,，,f,(1),3,，说明曲线,y,x,3,在点,(1,，,1),处的切线斜率为,3,。,由直线的点斜式方程可知，曲线,y,f,(,x,),在点,(,x,0,，,f,(,x,0,),处的切线方程为,y,f,(,x,0,),f,(,x,0,)(,x,x,0,),。,2.1.4函数的可导性与连续性的关系,定理2.1,如果函数yf(x)在点x0处可导，那么yf(x)在x0处连续。,注意：,定理,2.1,的逆命题并不成立，即函数,y,f,(,x,),在,x,0,处连续，但不一定在该点可导。,2.2导数的根本公式与运算法那么,2.2.1根本初等函数的导数,2.2.2函数的和、差、积、商的求导法那么,2.2.3初等函数的导数,至此，我们已经推导出所有根本初等函数的导数公式，为查阅方便，把这些公式汇总如下：,2.3殊函数求导法及高阶导数,2.3.1隐函数的导数,函数总是用自变量的一个表达式来表示因变量，即形如,y,f,(,x,),的形式。,变量间的函数关系隐含在一个方程,F,(,x,，,y,),0,之中，如,3,x,2,y,+5,0,，,e,x,+,y,x,y,等这种形式表示的函数。,显函数：,隐函数：,继续点击,2.3.2由参数方程所确定函数的求导法,圆的参数方程,椭圆的参数方程为,一般地，设,t,为参数，则参数方程,由参数方程确定的函数：,表示平面上一条曲线，当给定一个,t,值时，由参数方程确定了,x,和,y,的相应值。当,(,t,),满足一定条件时，以参数,t,为桥梁，参数方程可以确定,y,和,x,之间的函数关系的这种函数。若要求曲线上一点的切线斜率，也就是要求这个函数的导数,。,由参数方程确定的函数的导数：将,x,(,t,),的反函数,t,h,(,x,),代入,y,(,t,),中得复合函数,y,h,(,x,),，再用复合函数求导法求。,d,y,d,x,d,y,d,x,由反函数求导法知,因此，不必求出,x,(,t,),的反函数即可得,导数公式：,2.3.3高阶导数,函数,y,f,(,x,),的导数,y,f,(,x,),仍是,x,的函数，称为函数,y,f,(,x,),的一阶导数。如果一阶导数,f,(,x,),仍是可导的，则称,f,(,x,),的导数为,y,f,(,x,),的二阶导数，记为,即,二阶导数的导数为三阶导数，,，一般地，,(,n,1),阶导数的导数为,n,阶导数,。,三阶以上的导数依次记为：,即,y,(,n,1),与,y,(,n,),的关系正如,y,与,y,的关系一样。二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数。,2.4变化率问题实例,2.4.1物理学方面的变化率问题(导数问题),在引入导数概念时我们曾用变速直线运动的瞬时速度作为例子，就是物理学中的导数问题,(,变化率问题,),。,化学方面,在引入导数概念时我们曾用变速直线运动的瞬时速度作为例子，就是物理学中的导数问题,(,变化率问题,),。,生物学方面,2.4.4经济学方面,2.4.5其他科学领域,几乎所有的科学领域都有变化率的问题。地质学家希望知道浸入的融岩通过向周围的岩石进行热量传导而冷却的速度。都市地理学家要了解城市人口密度关于到市中心距离的变化率。气象学家则关心大气压力关于高度的变化率。心理学中对学习理论感兴趣的人会研究反映某种技艺学习过程中的学习成绩,p,与培训时间,t,之间关系的所谓学习曲线，特别想知道成绩随时间的提高率，即导数。,在社会学方面，导数可用于分析信息的传播、新方法的推广、服饰新款的流行等等问题。如果,p,(,t,),表示,t,时刻知道某信息的人口比例，那么导数表示信息的传播速度。,以上我们列举了物理学、化学、生物学、经济学等众多领域中变化率的例子，它们都是导数概念的各种具体表现形式，因此，对导数的进一步研究不仅是数学本身的需要，也是各门学科的共同要求。下一章将专门学习导数的应用。,d,p,d,t,d,p,d,t,2.5微分,2.5.1函数的线性逼近和微分,定义2.3,设函数yf(x)在点x有导数f(x)，那么称f(x)x为函数yf(x)在点x处的微分，记作dy，即dyf(x0)x。这时也称函数yf(x)在x处是可微分的，或简称函数yf(x)在点x处可微。,这个定义也可简述为：,函数的微分等于函数的导数与自变量增量的乘积。,微分具有如下特点：,(1),当,f,(,x,)0,，,|,x,|,1,时，微分是函数增量的主要部分，因此可用微分,d,y,来近似代替函数的增量,y,，即,d,y,y,；,(2)dy,是,x,的线性函数，用微分近似表示函数增量简便易求。,微商：,d,y,f,(,x,)d,x,改写为,d,y,/d,x,f,(,x,),，则左边是函数微分与自变量微分之商，所以导数也称为微商。,2.5.2微分的求法,由微分的定义可知：一个函数的微分就是它的导数与自变量微分的乘积.所以，只要会求导数，微分立即可得。,例求ysin x的微分。,解因为y(sin x)cos x，所以dyd sin xydxcos xdx。,由复合函数的求导法那么可知，复合函数yf(x)的微分是dyf(x)(x)dx。,由于u(x)的微分是du(x)dx，所以上式可写成：,dyf(u)du。,微分形式的不变性：尽管u是中间变量，不是自变量，仍然与u是自变量时函数的微分形式是一样的。,2.5.3微分在近似计算中的应用,当函数,y,f,(,x,),在,x,0,处可导，,f,(,x,0,)0,，且,|,x,|,1,时，可用微分近似代替其增量，即,y,d,y,f,(,x,0,),x,。,也可以用切线方程,y,f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,x,0,),来近似代替函数,y,f,(,x,),，即,f,(,x,),f,(,x,0,)+,f,(,x,0,)(,x,x,0,),。,2.6.1实验目的,1.,学习用,Mathematica,辅助理解导数概念；,2.,学习用,Mathematica,求函数的导数。,2.6演示与实验二,2.6.2原理与方法,由导数的定义知，,其几何意义是切线斜率，即割线斜率的极限。我们利用,Mathematica,可以通过数值演示、图形演示和动画演示等方式观察割线斜率的变化过程，或割线的运动过程。,2.6.3内容与步骤,1.用Mathematica 辅助理解导数概念,(1)数值演示,(2)图形演示,(3)动画演示,2.用Mathematica 求函数的导数和微分,(1)用Dfx,x语句求函数f的一阶导数,(2)用Dfx,x,n语句求函数f的n阶导,(3)假设已经自定义了函数f(x)，那么用fx也可以求其导数，其中的求导符号“用单引号键输入，这也符合我们的手写习惯。,(4)利用Dt命令求函数的微分,(5)求隐函数的导数,(6)求由参数方程所确定的函数的导数,Thank You!,后页,首页,前页,