数字图像处理第9章数学形态学原理1

,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数字图像处理学第9章 数学形态学原理第一讲,9.1 数学形态学的开展,“数学形态学Mathematical Morphology是一种应用于图像处理和模式识别领域的新的方法。形态学是生物学的一个分支,常用它来处理动物和植物的形状和构造。,“数学形态学的历史可追溯到十九世纪的Eular.steiner.Crofton和本世纪的 Minkowski。,1964年，法国学者J.Serra对铁矿石的岩相进展了定量分析，以预测铁矿石的可轧性。几乎在同时，G.Matheron研究了多孔介质的几何构造、渗透性及两者的关系，他们的研究成果直接导致“数学形态学雏形的形成。,随后，J.Serra和 G.Matheron在法国共同建立了枫丹白露Fontainebleau数学形态学研究中心。在以后的几年的研究中，他们逐步建立并进一步完善了“数学形态学的理论体系，此后，又研究了基于数学形态学的图像处理系统。,“数学形态学是一门建立在严格的数学理论根底上的科学。G.Matheron 于1973年出版的Ensembles aleatoireset geometrie integrate一书严谨而详尽地论证了随机集论和积分几何，为数学形态学奠定了理论根底。1982年，J.Serra出版的专著Image Analysis and Mathematical Morphology是数学形态学开展的里程碑，它说明数学形态学在理论上已趋于完备，在实际应用中不断深入。,此后，经过科学工作者的不断努力，J.Serra主编的Image Analysis and Mathematical MorphologyVolume2、 Volume3相继出版，1986年，CVGIPComputer Vision Graphics and Image Processing发表了数学形态学专辑，从而使得数学形态学的研究呈现了新的景象。同时，枫丹白露研究中心的学者们又相继提出了基于数学形态学方法的纹理分析模型系列，从而使数学形态学的研究前景更加光明。,随着数学形态学逻辑根底的开展，其应用开场向边缘学科和工业技术方面开展。数学形态学的应用领域已不限于传统的微生物学和材料学领域，80年代初又出现了几种新的应用领域，,如：工业控制、放射医学、运动场景分析等。数学形态学在我国的应用研究也很快，目前，已研制出一些以数学形态学为根底的实用图像处理系统，如：中国科学院生物物理研究所和计算机技术研究所负责，由软件研究所、电子研究所和自动化所参加研究的癌细胞自动识别系统等。,数学形态学是一门综合了多学科知识的穿插科学，其理论根底颇为艰深，但其根本观念却比较简单。它表达了逻辑推理与数学演绎的严谨性，又要求具备与实践密切相关的实验技术与计算技术。它涉及微分几何、积分几何、测度论、泛函分析和随机过程等许多数学理论，其中积分几何和随机集论是其赖以生存的基石。总之，数学形态学是建立在严格的数学理论根底上而又密切联系实际的科学。,用于描述数学形态学的语言是集合论,因此,它可以提供一个统一而强大的工具来处理图像处理中所遇到的问题。利用数学形态学对物体几何构造的分析过程就是主客体相互逼近的过程。利用数学形态学的几个根本概念和运算，将构造元灵活地组合、分解，应用形态变换序列到达分析的目的。,利用数学形态学进展图像分析的根本步骤有如下几步：,1提出所要描述的物体几何构造模式，即提取物体的几何构造特征；,2根据该模式选择相应的构造元素，构造元素应该简单而对模式具有最强的表现力；,3用选定的构造元对图像进展击中与否HMT变换，便可得到比原始图像显著突出物体特征信息的图像。如果赋予相应的变量，那么可得到该构造模式的定量描述；,4经过形态变换后的图像突出了我们需要的信息，此时，就可以方便地提取信息；,数学形态学方法比其他空域或频域图像处理和分析方法具有一些明显的优势。如：在图像恢复处理中，基于数学形态学的形态滤波器可借助于先验的几何特征信息利用形态学算子有效地滤除噪声，又可以保存图像中的原有信息；,另外，数学形态学算法易于用并行处理方法有效的实现，而且硬件实现容易；基于数学形态学的边缘信息提取处理优于基于微分运算的边缘提取算法，它不象微分算法对噪声那样敏感，同时，提取的边缘也比较光滑；利用数学形态学方法提取的图像骨架也比较连续，断点少。,数学形态学的核心运算是击中与否变换HMT，在定义了HMT及其根本运算膨胀Dilation和腐蚀(Erosion)后，再从积分几何和体视学移植一些概念和理论，根据图像分析的各种要求，构造出统一的、一样的或变化很小的构造元素进展各种形态变换。在形态算法设计中，构造元的选择十分重要，其形状、尺寸的选择是能否有效地提取信息的关键。,一般情况，构造元的选择本着如下几个原那么进展：,1构造元必须在几何上比原图像简单，且有界。中选择性质一样或相似的构造元时，以选择极限情况为益；,2构造元的凸性非常重要，对非凸子集，由于连接两点的线段大局部位于集合的外面，故而用非凸子集作为构造元将得不到什么信息。,总之，数学形态学的根本思想和根本研究方法具有一些特殊性，掌握和运用好这些特性是取得良好结果的关键。,9.2 数学形态学的根本概念和运算,在数学意义上，我们用形态学来处理一些图像,用以描述某些区域的形状如边界曲线、骨架构造和凸形外壳等。另外,我们也用形态学技术来进展预测和快速处理如形态过滤，形态细化，形态修饰等。而这些处理都是基于一些根本运算实现的。,用于描述数学形态学的语言是集合论。数学形态学最初是建立在集合论根底上的代数系统。它提出了一套独特的变换和概念用于描述图像的根本特征。这些数学工具是建立在积分几何和随机集论的根底之上。这决定了它可以得到几何常数的测量和反映图像的体视性质。,集合代表图像中物体的形状，例如：在二进制图像中所有黑色像素点的集合就是对这幅图像的完整描述。在二进制图像中，当前集合指二维整形空间的成员，集合中的每个元素都是一个二维变量，用,(,x,，,y,),表示。,按规那么代表图像中的一个黑色像素点。灰度数字图像可以用三维集合来表示。在这种情况下，集合中每个元素的前两个变量用来表示像素点的坐标，第三个变量代表离散的灰度值。在更高维数的空间集合中可以包括其它的图像属性，如颜色和时间。,形态运算的质量取决于所选取的构造元和形态变换。构造元的选择要根据具体情况来确定，而形态运算的选择必须满足一些根本约束条件。这些约束条件称为图像定量分析的原那么。,9.2.1 数学形态学定量分析原那么,9.2.2 数学形态学的根本定义及,根本算法,平移兼容性：,设待分析图像为 X，表示某种图像变换或运算，(X) 表示 X 经变换或运算后的新图像。设 Xh 为一矢量，表示将图像X 平移一个位移矢量 h 后的结果，那末，平移兼容性原那么可表示为：,(91),此式说明,图像,X,先平移然后变换的结果与图像先变换后平移的结果是一样的,。,尺度变换兼容性：,设缩放因子 是一个正的实常数，X 表示对图像 X 所做的相似变换，那么尺度变换兼容性原那么可表示如下：,(92),如果设图像运算 为构造元 B 对X 的腐蚀 ，那么 为构造元 B 对X 的腐蚀，那么上式可具体化为：,(93),局部知识原理：,如果 Z 是一个图形“闭集，那么相对于 Z 存在另一个闭集 Z ，使得对于图形 X 有下式成立：,(94),在物理上，可以将 Z 理解为一个“掩模。在实际中，观察某一个对象时，每次只能观察一个局部，即某一掩模覆盖的局部 XZ 。,该原那么要求对每种确定的变换或运算 ，当掩模 Z 选定以后，都能找到一个相应的模板Z ，使得通过 Z 所观察到的局部性质，即,与整体性质 相一致。,半连续原理：,在研究一幅图像时，常采用逐步逼近的方法，即对图像,X,的研究往往需 要 通 过 一 系 列 图 像 的研究实现，其中诸个,X,n,逐步逼近,X,。半连续原理要求各种图像变换后应满足这样的性质：对真实图像,X,的处理结果应包含在对一系列图像,X,n,的处理结果内。,形态运算的根本性质：,除了一些特殊情况外，数学形态学处理一般都是不可逆的。实际上，对图像进展重构的思想在该情况下是不恰当的。任何形态处理的目的都是通过变换去除不感兴趣的信息，保存感兴趣的信息。在形态运算中的几个关键性质如下：,递增性：,反扩展性：,幂等性：,(95),(96),(97),其中,： 表示形态变换， 表示,Euclidean,空间 的幂集。,9.2.1 数学形态学定量分析原那么,9.2.2 数学形态学的根本定义及,根本算法,集合论是数学形态学的根底，在这里我们首先对集合论的一些根本概念作一总结性的概括介绍。对于形态处理的讨论,我们将从两个最根本的模加处理和模减处理开场。它们是以后大多数形态处理的根底。,一些根本的定义,1集合：具有某种性质确实定的有区别的事物的全体。如果某种事物不存在，称为空集。集合常用大写字母 A,B,C, 表示，空集用 表示。,设 为一自由空间， 是由集合空间 所构成的幂集，集合 ，那么集合 和 之间的关系只能有以下三种形式：,、集合B包含于X表示为 ,、集合B击中X表示为 ，即：,、集合B相离于X表示为 ，即：,图,91,击中,X,， 相离于,X,， 包含于,X,2元素：构成集合的每一个事物称之为元素，元素常用小写字母 表示，应注意的是任何事物都不是空集的元素。,3平移转换：,设,A,和,B,是两个二维集合，,A,和,B,中的元素分别是,定义 ，对集合的平移转换为,:,(98),4子集：当且仅当A集合的所有元素都属于B时，称A为B的子集。,5补集：定义集合A的补集为:,(99),6差集：定义集合A和B的差集为,(910),(911),8并集：由A和B的所有元素组成的集合称为A和B的并集。,9交集：由A和B的公共元素组成的集合称为A和B的交集。,7映像：定义集合B的映像为,(912),图92解释了刚刚几个定义，图中的黑点为集合的原点。图92(a)显示集合A；图92(b)表示A被 平移，注意平移是在A的每个元素上加上 。图92(c)表示集合B；图92(d)显示了B关于原点的反转。最后，图92(e)显示了集合A及其补，图92(f)显示了图92(e)的集合A与图92(f)中的集合B的差。,图,92,(a),集合,A,；,(b),用,x,平移集合,A,后的结果；,(c),集合,B,；,(d),B,的反转；,(e),集合,A,和它的补集；,(f),两个集合的差集,(,如阴影所示,),。,前四幅图的黑点表示了每个集合的起点。,膨胀,为 中的集合， 为空集， 被 的膨胀，记为 ， 为膨胀算子，膨胀的定义为：,= |( ) ,(912),该式说明的膨胀过程是B首先做关于原点的映射，然后平移x。A被B的膨胀是 被所有x平移后与A至少有一个非零公共元素。,根据这个解释，公式,(912),可以重写如下：,同在其他的形态处理中一样，集合B在膨胀操作中通常被称为构造元素。,= |( ) ,(913),公式(912)不是现在形态学文献中膨胀的唯一定义。然而，前面这个定义有一个明显的优势，因为当构造元素B 被看为卷积模板时有更加直观的概念。尽管膨胀是基于集合的运算，而卷积是基于算术运算，但是B关于原点的“映射及而后连续的平移使它可以滑过集合(图像)A 的根本过程类似于卷积过程。,图93(a)表示一个简单的集合，图93(b)表示一个构造元素及其“映射。在此图情况下，因为构造元素B关于原点对称，所以，构造元素B及其映射 一样。图93(c)中的虚线表示作为参考的原始集合，实线示出假设 的原点平移至x点超过此界限，那么 与A的交集为空。,这样实线内的所有点构成了A被B的膨胀。图93(d)表示预先设计的一个构造元素，其目的是为了得到一个垂直膨胀比水平膨胀大的结果。图93(e)显示为用此构成元素膨胀后得到的结果。,图,93,膨胀操作的例子,腐蚀,为 中的集合， 被 腐蚀，记为 ，其定义为：,(914),也就是说 被 的腐蚀的结果为所有使 被,x,平移后包含于 的点,x,的集合。与膨胀一样，公式,(914),也可以用相关的概念加以理解。,图94表示了类似于图93的一个过程。集合A在图94(c)用虚线表示作为参考。实线表示假设B的原点平移至x点超过此界限，那么A不能完全包含B。这样，在这个实线边界内的点构成了A被B的腐蚀。,图94(d)画出了伸长的构造元素，图94(e)显示了A被此元素腐蚀的结果。注意原来的集合被腐蚀成一条线了。,图,94,腐蚀操作的例子,膨胀和腐蚀是关于集合补和反转的对偶,。也就是,(915),关于上式的正确性可证明于下：,从腐蚀的定义可知：,如果集合,( ),包含于集合 ，那么,( ),=,，在这种情况下，上式变为,( ) = |( ) = ,但是满足,( ) =,的集合 的补集是使,( ),的 集合。这样,( ) = |( ) ,=,命题得证。,膨胀和腐蚀运算的一些性质对设计形态学算法进展图像处理和分析是非常有用的，下面列出几个较重要的性质：,、交换性：,(916),、结合性：,(917),、递增性：,(918),、分配性：,(919),(920),(921),(922),这些性质的重要性是显而易见的。如分配性，如果用一个复杂的构造元素对图像作膨胀运算，那么可以把这个复杂构造元分解为几个简单的构造元素的并集，然后，用几个简单的构造元素对图像分别进展膨胀运算，最后将结果再作并集运算，这样一来就可以大大简化运算的复杂性。,开运算Opening和闭运算(Closing),如前边所见，膨胀扩大图像，腐蚀收缩图像。另外两个重要的形态运算是开运算和闭运算。开运算一般能平滑图像的轮廓，削弱狭窄的局部，去掉细的突出。闭运算也是平滑图像的轮廓，与开运算相反，它一般熔合窄的缺口和细长的弯口，去掉小洞，填补轮廓上的缝隙。,设 A 是原始图像，B 是构造元素图像，那么集合A 被构造元素 B 作开运算，记为 AB ，其定义为：,(923),A,被,B,开运算就是,A,被,B,腐蚀后的结果再被,B,膨胀。,设 A是原始图像，B 是构造元素图像，那么集合 A 被构造元素 B 作闭运算，记为 ，其定义为：,A,被,B,开运算就是,A,被,B,膨胀后的结果再被,B,腐蚀。,(924),图95图释了集合A 被一个圆盘形构造元素作开运算和闭运算的情况。图95(a)是集合 A ， 95(b)示出了在腐蚀过程中圆盘构造元素的各个位置，当完成这一过程时，形成分开的两个图形示于图95(c)。,注意，A 的两个主要局部之间的桥梁被去掉了。“桥的宽度小于构造元素的直径；也就是构造元素不能完全包含于集合 A 的这一局部，这样就违反了公式(914)的条件。由于同样的原因 A 的最右边的局部也被切除掉了。,图95(d)画出了对腐蚀的结果进展膨胀的过程，而图95(e)示出了开运算的最后结果。同样地，图95(f)-95(i)示出了用同样的构造元素对 A 作闭运算的结果。结果是去掉了A 的左边对于 B 来说较小的弯。注意，用一个圆形的构造元素对集合 A 作开运算和闭运算均使A 的一些局部平滑了。,图,95,开运算和闭运算的图示,开运算和闭运算有一个简单的几何解释。假设我们把圆盘形构造元素 看作一个平面的“滚动球。 的边界为 在 内滚动所能到达的最远处的 的边界所构成。这个解释能从图95(a)得到图95(e)。,注意所有的朝外的突出角均被圆滑了，而朝内的那么没有影响。突出的不能容下这球的局部被去掉。这种开运算的几何拟合性得出了集合论的一个定理：,被 的开运算就是 在 内 的 平 移,(,保 证,( ) ),所得到的集合的并集。,这样开运算可以被描述为拟合过程，即：,(925),图96图释了这个概念，为了多样性这里我们用了一个非圆形的构造元素。,图,96,开运算的拟合特性,闭运算也有类似的几何解释。再次用滚动球的例子，只不过我们在边界外边滚动该球开运算和闭运算是对偶的，所以让小球在外面滚动是合理的。有了这种解释，图95(i)就很容易从图95(a)得到。,注意所有的朝内的突出角均被圆滑了，而朝外的那么保持不变。集合 的最左边的凹入被大幅度减弱了。几何上，点 为 的一个元素 ，当 且 仅 当 包 含 的 与 的交集非空，即 。图97解释了这一性质。,图 9,7 闭运算的几何解释,像膨胀和腐蚀一样，开运算和闭运算是关于集合补和反转的对偶。也就是,(9,26),开运算有以下性质,、 是集合 的子集(子图)；,、如果 C 是 D 的子集，那么 是,的子集；,、,同样，闭运算有以下性质:,、 是集合 的子集(子图)；,、如果 C 是 D 的子集，那么 是 的子集；,、,这些性质有助于对用开运算和闭运算构成的形态滤波器时所得到的结果的理解。例如，用开运算构造一个滤波器。我们参考上面的性质：,i结果是输入的子集；(ii)单调性会被保持；(iii)屡次同样的开运算对结果没有影响。最后一条性质有时称为幂等性。同样的解释适合于闭运算。,图,9,8,形态学滤波,考虑图9,8(,a),的简单的二值图像，它包含一个被噪声影响的矩形目标。这里噪声用暗元素(阴影)在亮的背景表示，而光使暗目标为空的。注意集合 包含目标和背景噪声，而目标中的噪声构成了背景显示的内部边界。目的是去除噪声及其对目标的影响，并对目标的 影 响 越 小 越 好 。,形 态“ 滤 波 器 可以用来到达此目的。图98(c)显示了用一个比所有噪声成分都大的圆盘形构造元素对 进展开放运算的结果。注意这步运算考虑了背景噪声但对内部边界没有影响。,因为在这个理想的例子中，所有的背景噪声成分的物理大小均小于构造元素，背景噪声在开运算的腐蚀过程中被消除。腐蚀要求构造元素完全包含于被腐蚀的集合内。而目标内的噪声成分的大小却变大了(图98(b)，,这在意料之中，原因是目标中的空白事实上是内部边界，在腐蚀中会变大。最后，图98(,e),图98(,c),示出了形态闭运算的结果。内部的边界在闭运算后的膨胀运算中被消除了，如图98(,d),所示。,击中Hit击不中(Miss)变换HMT,形态学中击中Hit击不中(Miss)变换是形状检测的根本工具。我们通过图99引入这个概念。图中集合A包含三个局部子集，记为 。图99(a)-(c)中的图形为原始集合，而图99(d)和(e)中的阴影为形态运算的结果。目标是找到一个图形X的位置。,图 99 击中Hit击不中(Miss)变换图例,让每个图形的原点位于它的重心。如果用一个小窗口W包含X，X关于W的本地背景是图99(b)中的集合差(W-X)。图99(c)为集合A的补。图99(d)示出A被X腐蚀的结果。A被X的腐蚀在X中只有X的原点，这样X才能完全包含于A。图99(e)表示集合A的补被本地背景集合(W-X)的腐蚀；外围阴影区域也是腐蚀结果的一局部。,从图99(d)和(e),可以看出集合X在集合A中的位置是A被X的腐蚀和 被(W-X)的腐蚀的交集，如图99(f)所示。这个交集正是我们所要找的。换句话说，如果B记为由X和其背景构成的集合，B在A中的匹配，记为 ，那么,(9-27),可以这样来概括这种表示法,让 , 其中 是由和,目标相关,的,B,的元素形成的集合，而 是由和,相应的背景相关,的,B,的元 素 集 合。根 据 前 面 的 讨 论 ， 。用这种表示法，公式(9,27)变为,(928),用集合差的定义及膨胀和腐蚀的对偶关系，也可以把公式(928)写为,(929),这样集合 包括所有的点，同时， 在A中找到了一个匹配“击中， 在 中找到了匹配“击中。,9.3 一些根本形态学算法,在前面讨论的背景知识根底之上，我们可以探讨形态学的一些实际应用。当处理二值图像时，形态学的主要应用是提取表示和描述图像形状的有用成分。特别是用形态学方法提取某一区域的边界限、连接成分、骨骼、凸壳的算法是十分有效的。,此外，区域填充、细化、加粗、裁剪等处理方法也经常与上述算法相结合在预处理和后处理中使用。这些算法的讨论大局部采用的是二值的图像，即只有黑和白两级灰度，1表示黑，0表示白。,集合A的边界记为 (A)，可以通过下述算法提取边缘：设B是一个适宜的构造元素，首先令A被B腐蚀，然后求集合A和它的腐蚀的差。如下式所示：,(930),9.3.1边缘提取算法,图910解释了边缘提取的过程。它表示了一个简单的二值图像，一个构造元素和用公式(930)得出的结果。图910(b)中的构造元素是最常用的一种，但它决不是唯一的。如果采用一个55全“1的构造元素，可得到一个二到三个像素宽的边缘。应注意的是，当集合B的原点处在集合的边界时，构造元素的一局部位于集合之外。这种条件下的通常的处理是约定集合边界外的值为0。,图,9,10,边缘提取算法示意图,9.3.2,区域填充算法,下面讨论的是一种基于集合膨胀，取补和取交的区域填充的简单的算法。在图911中，A表示一个包含一个子集的集合，子集的元素为8字形的连接边界的区域。从边界内的一点P开场，目标是用1去填充整个区域。,假定所有的非边界元素均标为0，我们把一个值1赋给P开场这个过程。下述过程将把这个区域用1来填充：,(931),其中， ，B为对称构造元素，如图911(c)所示。当 k 迭代到 时，算法终止。集合 和 A 的并集包括填充的集合和边界。,如果公式(931)的膨胀过程一直进展，它将填满整个区域。然而，每一步与AC的交把结果限制在我们感兴趣的区域内这种限制过程有时称为条件膨胀。图911剩下的局部解释了公式(931)的进一步技巧。尽管这个例子只有一个子集，只要每个边界内给一个点，这个概念可清楚地用在任何有限个这样的子集中。,图,9,11,区域填充算法,9.3.3 连接局部提取算法,在实际应用中，在二值图像中提取相连接局部是许多自动图像分析应用所关注的问题。Y表示一个包含于集合A相连接局部，假设Y内的一个点P。那么下述迭代表达式可得到Y中的所有元素：,(932),其中 ，B为一适宜的构造元素，如图912所示。如果 那么算法收敛，并使 。,公式(932)在形式上与(931)相似。唯一的不同是用A代替了AC ，这是因为所提取的全部元素也就是，相连组成局部的元素均标记为1。每一迭代步和A求交集可除去以标记为0的元素为中心的膨胀。图912图释了公式(932)的操作技巧。这里，构造元素的形状是8连接的，与区域填充算法一样，以上讨论的结果可以应用于任何有限的包含在集合A中的连接局部。,图 912 连接局部提取算法,图中a集A包含一个连接局部Y和初始点P；(b)是构造元；(c)第一次迭代结果；(d)第二次迭代结果；(e)最终结果。,9.3.4,凸壳算法,集合的凸壳是一个有用的图像描述工具。在此，我们提出一种获得集合A凸壳C(A)的简单形态学算法。设 Bi ， i= 1,2,3,4,代表四个构造元素。这个处理过程由下述公式实现：,(933),其中 。现令 ,下标“conv表示当时收敛。,那么，A的凸壳为,(934),换句话说，这个过程包括对A和B1重复使用击中hit或击不中miss)变换；当没有进一步的变化发生时，求A和所谓的结果D1并集。对B2重复此过程直到没有进一步的变化为止。四个结果D的并构成了A的凸壳。,图913(a)示出了为提取凸壳的构造元素每个构造元素的原点位于它的中心。图913(b)给出了要提取凸壳的集合 A，从 开场，重复公式(933)四步后得到的结果如图913(c)所示。,然后令 再次利用公式(933)得到的结果示于图913(d)(注意只用两步就收敛了)。下两个结果用同样的方法得到。最后，把图913(c),(d),(e)和(f)中的集合求并的结果就为所求凸壳。每个构造元素对结果的奉献在图913(h)的合成集合中用不同加亮表示。,图913 凸壳算法例如,图913 凸壳算法例如,9.3.5,细化,集合A被构造元素的细化用 表示，根据击中hit(或击不中miss)变换定义：,(935),对称细化A的一个更有用的表达是基于构造元素序列：,(936),其中 是 的旋转。,根据这个概念，我们现定义被一个构造元素序列的细化为,) (937),换句话说，这个过程是用 细化A，然后用 细化前一步细化的结果等等，直到A被 细化。整个过程重复进展到没有进一步的变化发生为止。,图914(a)是一组用于细化的构造元素，图914(b)为用上述方法细化的集合A 。图914(c)示出用 细化A得到的结果，图914(d)-(k)为用其它构造元素细化的结果。当第二次通过 时收敛。图914(k)示出细化的结果。,图,9,14,细化处理,图,9,14,细化处理,9.3.6 粗化运算,粗化是细化的形态学上对偶，记为AB, 定义为,ABA (938),其中B是适合粗化的构造元素。象细化一样，粗化可以定义为一个序列运算：AB= ,(939),用来粗化的构造元素同细化的构造元素具有一样的形式。只是所有的0和1交换位置。然而，在实际中，粗化的算法很少使用。相反的，通常的过程是细化集合的背景，然后求细化结果的补而到达粗化的结果。换句话说，为了粗化集合A，我们先令 ，细化C，然后得到 即为粗化结果。图915解释了这个过程。,如图915(d)所示，这个过程可能产生一些不连贯的点，这取决于A的性质。因此，用这种方法粗化通常要进展一个简单的后处理步骤来去除不连贯的点。从图915(c)可以看出，细化的背景为粗化过程形成一个边界。这个有用的性质在直接使用公式(939)实现粗化过程中不会出现，这是用背景细化来实现粗化的一个主要原因。,图,9,15,粗化处理,9.3.7 骨骼化算法,利用形态学方法提取一个区域的骨骼可以用腐蚀和开运算表示。也就是，A的骨骼记为S(A)，骨骼化可以表示如下：,(940),和,(941),其中B是构造元素， 表示对A连续腐蚀k次；,就是：,共执行 k 次，K 是 A 被腐蚀为空集以前的最后一次迭代的步骤。即：,942,等式(940)和等式(941)明确说明集合A的骨骼S(A)可以由骨骼子集Sk(A)的并得到，以上等式同样说明可以通过等式942从这些子集中重构。,943,公式中 说明参数 k 是对子集,连续膨胀 k 次。正如前面所述，它相当于下式：,9-44,图916的解释说明了以上讨论的概念。第一列显示了原始集合顶部和通过构造元素B两次腐蚀的图形。由于再多一次对A的腐蚀将产生空集，所以选取K2。第二列显示了第一列通过B的开运算而得到的图形。,以上结果可以通过以前讨论过的开运算拟合性质加以解释。第三列仅仅显示出第一列与第二列的差异。第四列包含两个局部骨骼及最后的结果第四列的底部。最后的骨骼不但比所要求的更粗，而且相比较更重要，它是不连续的。形态学给出了就特定图形侵蚀和空缺的描述。,形态学给出了就特定图形侵蚀和空缺的描述。通常，骨骼必须最大限度的细化、相连、最小限度的腐蚀。第五列显示了 、 以,及 。最后一列显示了图像A的重构。由公式(942)可知，A就是第五列中膨胀骨骼子集的“并。,图 9,16 骨骼化处理结果,9.3.8 裁剪,由于图形细化和骨骼化运算法有可能残留需要在后续处理中去除的寄生成分，因而剪贴方法成为对图形细化、骨骼化运算的必要补充。下面将讨论裁剪问题，我们将运用已成熟的理论来说明如何通过融合现今已有的技术来解决这样的一个问题。,分析每个待识别字符的骨骼形状是自动识别手写字符的一种常见处理方法。由于对组成字符的笔画的不均匀腐蚀，字符的骨架常常带有“毛刺一种寄生成分。这里将提出一种解决这种问题的形态学方法。首先我们假设寄生成分“毛刺的长度不超过3个象素。,图917(a) 显示了手写字符“a的骨骼。在字符最左边局部的寄生成分是一种我们感兴趣的典型的待去除成分。去除的方法是基于不断减少该字符的终点，对寄生成分加以抑制。当然不可否认这样也不可防止的会消去或减少被处理字符其余必要的骨架，,但是缺少的构造信息是在我们最多不超过3个象素的假设前提下，即最多减少3个象素的字符构造信息的前提下。对于一个输入集合A，通过一系列用于检测字符端点的构造元素的细化处理，到达我们所希望的结果。即：,(9-45),等式(945)中B表示在图917(b)和(c)中的构造元序列。构造元素的序列包含两个不同的构造，每一个构造将对全部八个元素作90的旋转，图917(b)中的“表示一个“不用考虑的情况，在某种意义上，不管该位置上的值是0还是1都毫无关系。,许多图形学文献记载的结果都是基于类似于图917(b)中单一构造的运用根底之上的，不过不同的是，在第一列中多了“不用考虑的状态而已。这样的处理是不完善的。例如，这个元素将标识图917(a)位于第八排，第四列作为最后一点的点，如果减去该元素将破坏这一笔的连接性。,图 9,17 裁剪的例子,(a)是原像，(b)和(c)是构造元素，d细化三次的结果，e端点，(f)在a的条件下端点的膨胀，g裁剪后的图像。,图 9,17 裁剪的例子,连续对A运用等式(945)三次将生成图917(d)中的集合 。下一步将是把字符“恢复到最初的形状，同时将寄生的成分去除。这首先需要建立包含图917(e)所有边缘信息的集合 ，,(946),等式(946)中 是和前面一样的端点检测因子，下一步对边缘进展三次放大处理，集合A作为消减因子：,(947),等式(947)中H是一个值为1的33 的构造元素，类似局域填充和连接成分的提取的情况，这一类条件膨胀处理有效的防止了在我们感兴趣区域外值1元素的产生，正如图917(f)中显示的结果证实的一样。最后，X3 和 X1 的并生成了最后的结果：,(947),正如图917(g)中所示。,在更复杂的情况下，使用公式(946)有时可以捡拾一些寄生分枝的“尖端。如果分支端点离骨骼较近时，这种情况便会发生。尽管可以通过等式(944)减少，但是由于它们是A中的有效点而在膨胀处理中再次出现。,除非只有所有的寄生元素再次获得的情况下当这些寄生元素与字符笔画相比不够长时，这将是一种出现机率非常少的情况，如果寄生元素处在非连接区域，那末检测和减少寄生元素才会变得容易一些。,在这一点上一种自然而然的想法就是必须有一种方法来解决这个问题。例如，我们可以通过运用公式(944)，仅仅对被删除点进展跟踪和对所有的留下的端点进展再连接。这样的选择是正确的，它的优点是使用简单的形态构造来解决所有的问题。,表91总结了前边讨论的数学形态学算法及其结果，图9.18示出了所使用的根本构造元素。,表9,1 形态学结论和特性的总结,表91 形态学结论和特性的总结续,表91 形态学结论和特性的总结续,表91 形态学结论和特性的总结续,图918 根本形态学构造元素,