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,高等数学电子教案,武汉科技学院数理系,(导数与微分),第二章 导 数 与 微 分,我们已经研究了函数即变量之间相互依存关系,现在我们进一步研究当自变量变化时，函数变化的,快慢程度，即变化率问题.这就产生导数和微分的,概念。,第一节 导 数 概 念,1.速度的概念,某一质点沿直线作变速运动,质点所经过的路程S和时间,t的函数关系为S=f(t), 现在我们研究质点在某一时刻t,0,的瞬,时速度.取t,0,到t,0,+,t这一段时间间隔,在这段时间内，质点,走的路程为 s=f(t,0,+ t)- f(t,0,) 这一段时间的平均速,度为,当,t0时,对两边取极限,如果极限存在,我们称为时刻 t,0,的,瞬时速度,在高等数学中把瞬时速度称为路程对时间的导数。,一、引例,2 切线问题,有很多实际问题与曲线的切线有关, 例如有关运动的方,向问题, 有关光线的入射角和反射角问题等. 我们知道圆的,切线可定义为“与圆只有一个交点的直线，对于更复杂的,曲线, 我们把曲线的切线定义为“与曲线只有一个交点的直,线就不适宜. 过p点的直线L是曲线C上的切线, 但不符合,上面的 定义. 下面我们给出切线的定义.,c,p,L,L,设曲线C 是函数y=f(x)的图形, M,0,(x,0,y,0,),是曲线C上的一点 y,0,=f(x,0,)，在曲线C上,任取一点M(x,y), 连接这两点的直线称,为曲线的割线, 此割线的斜率为,M,0,M,x,0,x,C,令M点沿曲线C趋向M,0,点,这时xx,0,如果极限存在,我们把过点M,0,而以k为斜率的直线称为曲线C在点M,0,的切线.,3. 现在我们来研究收益对销售量的变化率-边际收益,假设某商品的总收入(收益)R是销售量q的函数, 即 R=R(q),(q0) ，求当销售量为q0个单位时总收益的变化率？,假设销售量q由q0改变到q0+q,那么总收益R取得相应的改变量,存在,那么称此极限值为销售量是q0个单位时总收入的变化率.,类似地, 假设某产品的总本钱C是产量q的函数C(q), 那么在产,量为q0时的边际本钱为,于是总收入的平均变化率为,若极限,二、 导数的定义,由此，我们可以归纳出导数的定义,定义1 设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义, 点,x0+x也在该邻域内，当自变量在 x0 处取得增量x时,相应地函数获得增量y=f(x0+x)-f(x0), 如果增量之比,y/ x, 当x0时的限存在, 那么称函数y=f(x)在点x0处,可导, 或称为f(x)在点x0存在导数, 并称此极限值为函数,y=f(x)在点,x0处的导数,记为,即,如果上述极限不存在, 就说函数在点x,0,处不可导, 或说没,有导 数，,如果上述极限为无穷大, 虽然也是极限不存在，但有时说,函数 f(x) 在点x,0,的导数为无穷大, 即有,广义导数,。,相应地, 如果将上述极限过程为,x0,+, 就是单侧导数,点x,0,的,右导数与左导数,分别为,显然, 存在的,充分必要条件,是,都存在, 且,都可导(在I的端点上为单侧可导),那么称f(x)在区间I上可导。,此时，在I上每一个确定的x值，都有函数f(x)的一个确定的,导数值与它相应, 这样构成的新函数叫做原函数f(x)在区间,I上的导函数，有时称为f在 I 上的导数,记作,如果函数y=f(x)在某区间I上的每一点,即有,可见,函数在x,0,处的导数值f(x,0,)就是导函数f(x)在点x=x,0,的,函数值,有了导数的定义后,可以说变速运动,的瞬时速度v 是路,程函数 s=f(t)对于时间的导数,即v=ds/dt, 导数的实质是,平均变化率的极限, 它反映当自变量变化时,函数变化的,快慢程度，导数大，函数的变化 快；导数小，函数的,变化慢。,例1 试按定义取函数 的导数。,解: 一般由定义求导数按下面三个步骤进展;,(1)求出函数y的增量y;,(2)写出增量比y/ x;,(3)使x0,求增量比的极限.,在理解导数的概念和用导数的定义来求导数时，我们通,过上述例子应该明确下面几点.,(1) 函数y=f(x)的改变量y=f(x+x)-f(x); 当x固定时, y,是随x的变化而变化的，即是x的函数,当x发生变化,时, y也是x的函数，故y是x, x两者的函数。同样,它们的变化率一般说来也是两者的 函数， 这说明函,(2) 假设函数y=f(x)在x0点处连续，那么当x0时,y0。,这样求增量 比y/x的极限过程，也就是研究两个,无穷小量y， x之比 y/x的过程，,数在不同点的变化率也不同.,函数f(x)在点x0处可导即表示y和x是同价无 穷小量,或者y比x高价的无穷小量.这表示导数必须依赖于极限.,(3) 导数f(x)是x的函数,它和x没有关系.,(4) 令x0+x=x,那么x=x0-x,当x0时,xx0,导数有如下,的表示法.,例2 设 存在,求下列各极限,解： 解题思路就是应用公式,例3 设f(x)在x=1处连续,且,求f,(1),导数不存在,例4 设f(x)在(-,+)内有定义，对任意x，恒有,f(x+1)=2f(x),当0x1时,f(x)=x(1-x,2,),试判断在x=0处,f,(x)是否存在.,(1) 常数y=C的导数,常数的导数为0，常数在任意一点的变化率为0.,1. 求导数举例:,在下一讲中我们可以知道这个导数公式对于任意实数,也是成立的，有,(2) 幂函数y=x,n,(n,N)的导数,3指数函数y=ax(a0,a1)的导数,P68例7，证明如下,下面证明,上面我们讨论了导数的定义,从定义上看导数是两个无,穷小之比的极限.如果导数存在,那么y和x这两个无穷小分,别是等阶, 同阶的，低阶的。,从上面导数的举例中,我们得到以下的求导公式,4 正(余)弦函数的导数,设y=sinx那么,(1)常数C的导数. ( C ),=0.,(2)幂函数f(x)=x,n,(x,n,),=nx,n-1,(3)指数函数f(x)=a,x,(a,x,),= a,x,lna,特别是f(x)=e,x,(e,x,),= e,x,(4)对数函数f(x)=log,a,x (log,a,x),=1/(xlna).,特别是f(x)=lnx (lnx),=1/x,(5)三角函数f(x)=sinx (sinx),=cosx,f(x)=cosx (cosx),= - sinx.,在今后的计算中我们不用定义求导数而直接使用上面的公式.,例5 下面的求导验算正确否？如有错误，那么改正之。,解：1,0,第二项是常数， 常数的导数为0,2,0,ln2的导数是0,且1/x不是简单的倒数问题.,有些抽象函数如果在某点可导,只能用定义计算该函数,在该点 的导数. 例如,例6 设f(x)=(x3-a3)(x),其中(x) 在x=a处连续,求f(x)的导数.,解: 因不知道f(x)在x=a处可导,只能用定义求,证明: 因f (x)为偶函数,f(x)=f(-x),由导数定义,有,例7 如果f(x)为偶函数且 存在, 证明 =0,用导数定义求可导函数的差值与其自变量为无穷小之比,的极限,解：如果此函数极限存在,那么它的倒数为,那么原极限等于1,例8 已知f(x,0,)= -1,求,三. 导 数 的 几 何 意 义,设M,0,(x,0,y,0,) 是曲,线 y=f(x)上的一点，,在M,0,的邻域内取一,点M(x,0,+,x,y,0,+y),固定M,0，,当,x0时，割线MM,0,绕M,0,转动到极限位M,0,T，,称M,0,T为曲线在点M,0,的切线,x,M,0,M,0,T,y,x,x,0,x,0,+,x,y,y,MM,0,的斜率,导数的几何意义是曲线在该点的切线的斜率,.,由点斜式方程可知 曲线,y=f(x) 在M,0,(x,0,y,0,)的切线方程,是,我们知道,法线和切线相互垂直,它们斜率的乘积为-1,平面曲线的法线方程为,如果函数在x,0,点处的导数为无穷大，这时切线垂直于x轴，法线平行于x轴，切线方程为 x = x,0,，法线方程为 y = y,0.,例9 求曲线 y=x,2,在点 (3,9) 处的切线方程和法线方程,四、 函数可导性与连续性的关系,设函数y=f(x)在点x处可导，即存在极限,这说明函数y=f(x)在点x连续，即,可导必连续，但函数 连续不一定可导,。我们可举出反例来.,例10 函数 y=|x|在(-,+ )内处处连续,但它在x=0处却不可导.,导数为曲线的斜率，在图中,可见当x=0时它的左右极限不,相等。所以函数在该点不可,导，就是在该点没有切线。,y,y=|x|,例11 函数,在(-,+ )内处处连续，但它在,x=0处却不可导,解：在x=0处,表示在x=0处的极限为无穷大，,即该点的切线垂直于x轴。,可导的函数一定连续，连续的函数一定有极限，,所以f(x) 在x,0,处可导就一定有极限.,可导,连续,有极限,不一定,不一定,例12 讨论,函数,f(x) =,在点x=0，x=1及x=2处的,连续性和可导性,解,: (1)在x=0点处,(2)在x=1点处,例12 讨论,函数,f(x)=,在点x=0，x=1及x=2处的,连续性和可导性,(3)在点x=2处,例12 讨论,函数,f(x)=,在点x=0，x=1及x=2处的,连续性和可导性,X-1,2x,X,2,+1,X/2+1,x,y,1,2,-1,例12 讨论,函数,f(x)=,在点x=0，x=1及x=2处的,连续性和可导性,
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