电路分析拉普拉斯变换

单击以编辑母版标题样式,单击以编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,电路分析拉普拉斯变换,本章重点,.,常用函数的拉普拉斯变换,拉普拉斯变换的基本性质,.,复频域中的电路定律,.,运算阻抗和运算导纳,.,拉普拉斯变换法分析电路的动态响应,.,网络函数,.,返回目录,15.1 拉普拉斯变换,一、拉氏变换Laplace transformation的定义,Laplace transformation,inverse Laplace transformation,f(t)和F(s)是一对拉普拉斯变换Laplace pairs对 。,记号,f,(,t,),表示取拉氏变换。,-,1,F,(,s,),表示取拉氏反变换。,f(t) ，t 0,)称为原函数original function，属时 域time domain。原函数 f(t ) 用小写字母表示，如 i(t )， u(t )。,F(s) 称为象函数transform function，属复频域 complex frequency domain 。象函数F(s) 用大写字母 表示 ，如 I(s)，U(s)。,称为复频 率 （complex frequency）。,积分下限从0 开场，称为0 拉氏变换 。,积分下限从0+ 开场，称为0+ 拉氏变换 。,当,f,(,t,)含有冲激函数项时，,此项 0,0,+,拉氏变换和,0,拉氏变换的区别：,为了把0- 0+时冲激函数的作用考虑到变换中，以下拉氏变,换定义式中积分下限从 0- 开场。,二、拉氏变换存在条件,不同的,f,(,t,)，,0,的值不同，称,0,为复平面,s,内的收敛横坐标。,0,j,0,收敛坐标,收敛轴,收敛区,电工中常见信号为指数阶函数，即,由于单边拉氏变换的收敛问题较为简单，在下面的讨论,中一般不再写出其收敛范围。,返回目录,= 1,15.2 常用函数的拉普拉斯变换,1,f,1,(,t,),e,-,t,t,0,例 求图示两个函数的拉氏变换式,1,f,2,(,t,),e,-,t,t,0,解 由于定义的拉氏变换积分下限是0，两个 函数的拉氏变换式一样,当取上式的反变换时，只能表示出,区间的函数式,返回目录,-1,15.3 拉普拉斯变换的根本性质,一、线性linearity性质,例1,例2,例3,二、原函数的微分differentiation,例1,例2,三、原函数的积分integration,例,四、时域平移time shift,f,(,t),(,t,-,t,0,),t,t,0,0,t,f,(,t-t,0,),(,t,-,t,0,),t,0,0,f,(,t,),(,t,),t,0,f,(,t,),(,t,),f,(,t-t,0,),(,t,-,t,0,),平移,f,(,t),(,t,-,t,0,),不是平移,例1 求图示函数的拉氏变换式,例2 求图示函数的拉氏变换式,1,T,t,f(t,),0,T,T,f,(,t,),0,例3 周期函数periodic function的拉氏变换。,设,f,1,(,t,)为第一个周期的函数，,.,t,f,(,t,),1,T,/2,T,0,五、 复频域平移frequency shift,六、初值(initial-value)定理和终值(final-value)定理,初值定理,若,f,(,t,)=,F,(,s,)，且,f,(,t,)在,t,= 0处无冲激，,则,例1,例2,例3,终值定理,f,(,t,),及其导数,f,(,t,),可进行拉氏变换，且,，则,例1,例2,例3,返回目录,15.4 拉普拉斯反变换,一、由象函数求原函数,2经数学处理后查拉普拉斯变换表,象函数的一般形式：,二、将F(s)进展局部分式展开partial-fraction expansion,f,(,t,)=L,-1,F,(,s,),（1）利用公式,较麻烦,等式两边同乘(,s,-,s,1,),=0,k,i,也可用,分解定理,求,等式两边同乘（,s,-,s,i,）,应用洛比达法则求极限,例1,例2,用分解定理,例3,m,n,，用长除法，得,k,1,k,2,也是一对共轭复数。,假设只有两个根,可据前面介绍的两种方法求出,k,1,k,2,。,设,例,法一：,局部分式展开，求系数。,法二：,将,F,2,(s)改写为(,s,),2,+ ,2,等式两边乘,例1,例2,等式两边乘,一般多重根情况,返回目录,一、电路元件的运算形式operator form,电阻,R,u = R i,15.5 复频域中的电路定律、电路元件与模型,+ u,-,i,(,t,),R,+ U,(,s,),-,I,(,s,),R,取拉氏变换,电感,L,i,L,+,u,L,-,L,+,-,sL,U,L,(,s,),I,L,(,s,),-,+,取拉氏变换,sL,+,-,U,L,(,s,),I,L,(,s,),电容,C,+ u,C,-,i,C,I,C,(,s,),1,/,s,C,u,C,(0,-,),/s,U,C,(,s,),+,-,-,+,1,/,sC,Cu,C,(0,-,),I,C,(,s,),U,C,(,s,),-,+,取拉氏,变换,互感,M,取拉氏,变换,M,L,1,L,2,i,1,i,2,+,u,1,-,+,u,2,-,+,U,2,(,s,),-,+,-,I,1,(,s,),sL,1,sL,2,sM,+,-,+,+,-,-,U,1,(,s,),I,2,(,s,),+,-,受控电源,+,-,U,1,(,s,),+,-,R,I,1,(,s,),U,1,(,s,),+,-,U,2,(,s,),+,u,1,-,+,u,2,-,R,i,1,u,1,+,-,二、电路定律的运算形式,+,u,-,i,R,L,C,设电路无初始储能,+,U,(,s,),-,I,(,s,),R,sL,1,/sC,运算形式的欧姆定律,运算阻抗,（operational impedance）,运算导纳,（operational admittance）,三、运算电路模型,1电压、电流用象函数形式。,2元件用运算阻抗或运算导纳。,3电容电压和电感电流初始值用附加电源表示。,时域电路,R,R,L,C,i,1,i,2,E,(,t,),+,-,运算电路,R,R,sL,1,/sC,I,1,(,s,),I,2,(,s,),E,/s,+,-,u,C,(0,-,) = 25V,i,L,(0,-,) = 5A,时域电路,t,=0 时打开开关,例,5,2F,20,10,10,0.5H,50V,+,-,u,C,+,-,i,L,换路后 运算电路,0.5s,U,C,(,s,),20,-,+,+,1/2s,25/s,2.5,5,I,L,(,s,),+,-,-,解,返回目录,15.6 拉普拉斯变换法分析电路,步骤,1由换路前电路计算uC(0-) , iL(0-) ；,2画运算电路模型；,3应用电路分析方法求出待求变量的象函数；,4反变换求原函数。,t,= 0时闭合S，求,i,L,，,u,L,。,例1,200V,30,0.1H,10,-,u,C,+,1000,F,i,L,+,-,u,L,+,-,S,2画运算电路,200/s,30,0.1s,0.5,10,1000/s,100/s,I,1,(,s,),I,2,(,s,),+,+,+,-,-,-,解,200/s,30,0.1s,0.5,10,1000/s,100/s,I,1,(,s,),I,2,(,s,),+,+,+,-,-,-,4反变换求原函数,校核初值和终值,要考虑初值,思考：,u,L,是哪两端,的电压？,200/,s,30,0.1,s,0.5,10,1000/s,100/,s,I,1,(,s,),I,2,(,s,),+,+,+,-,-,-,U,L,(,s,),+,-,例2,求图示电路的单位冲激响应,u,C,(,t,)，,i,C,(,t,),。,R,C,u,C,(,t,),i,C,+,-,R,1,/sC,U,C,(,s,),1,I,C,(,s,),+,-,t,u,C,(V),0,返回目录,t,i,C,0,15.7 网络函数Network Function,一、定义,单个独立源作用的线性网络,零,状,态,e(t,),r,(,t,),E(s,),R(s,),转移函数transfer function,R,C,+,_,+,_,u,S,例,u,C,R,1,/sC,+,_,+,_,U,S,(,s,),U,C,(,s,),网络函数是由网络的结构和参数决定，与激励无关；,网络函数是实系数的有理函数。,1. 筹划点函数,筹划点阻抗,筹划点导纳,2. 转移函数传递函数,转移导纳,转移阻抗,转移电压比,转移电流比,二、网络函数的具体形式,U,(,s,),I,(,s,),+,-,U,2,(,s,),I,2,(,s,),U,1,(,s,),I,1,(,s,),+,-,+,-,三、单位冲激响应与网络函数的关系,零状态,(,t,),h,(,t,),e,(,t,),r,(,t,),假设单位冲激响应h(t)，那么任意鼓励e(t)产生的响应r(t)可求。,单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对。,返回目录,15.8 网络函数的极点Pole和零点Zero,一、复频率平面,j,在复平面上用“表示极点，,用“。表示零点。,极点,。,零点,j,。,2,-,3,例,绘出其极零点图。,pole-zero diagram,-,1,j,-,j,0,二、极点分布与冲激响应的关系,H,(,s,)在,s,平面上极点位置不同，冲激响应波形不同。,单位冲激响应与网络函数是一对拉氏变换对。,j,极点的位置决定冲激响应的波形。,极点和零点共同决定冲激响应的的幅值。,网络函数极点的位置决定了系统的稳定性stability。,全部极点在 s 左半平面的电路动态响应是稳定的；,有位于 s 右半平面极点的电路动态响应是不稳定的；极点,在 s 平面的虚轴上，且只有一阶，那么电路动态响应是临界,稳定的。,网络函数极点是该网络变量的固有频率。,R,(,s,)=,H,(,s,),E,(,s,),由网络函数极点形成的,自由分量,由激励函数极点形成的,强制分量,系数,A,i,和,A,j,是由零点和极点共同决定。,返回目录,设D(s) 和E(s)没有一样的极点,15.9 卷积Convolution定理,h,(,t,),r,(,t,),e,(,t,),H,(,s,),R,(,s,),E,(,s,),R,(,s,)=,E,(,s,),H,(,s,),零状态,证明,延时,去掉,积分上限改为,t,例 某电路的单位冲激响应 h(t)=2e-t (t)，求该电 路在鼓励为e(t)=5e- 2t V作用下的响应 r(t)。,解,由单位冲激响应得网络函数,H,(,s,) = 2 /(,s,+1),由卷积定理，得,时域响应为,r(t) = 10 (e-t - e-2 t )V t 0,返回目录,谢谢观赏,