24.2.2垂径分弦

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,义务教育课程标准实验教科书,九年级 下册,上海科学技术出版社,24.2.2,圆的基本性质,“,一切立体图形中最美的是球，一切平面图形中最美的是圆”。这是古希腊的数学家毕达哥拉斯一句话。,圆也是一种和谐、美丽的图形，无论从哪个角度看，它都具有同一形状。,经过圆心的弦（如图中的,AB,）叫做,直径,C,O,A,B,连接圆上任意两点的线段（如图,AC,）叫做,弦,，,与圆有关的概念,弦,注意,:,1,、弦和直径都是线段。,2,、直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径。,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做,半圆,C,O,A,B,弧,圆上任意两点间的部分叫做,圆弧,，简称,弧,以,A,、,B,为端点的弧记作,AB,，读作“圆弧,AB,”,或“弧,AB,”,C,O,A,B,劣弧与优弧,小于半圆的弧叫做,劣弧,.,大于半圆的弧叫做,优弧,.,（如图中的,AC,）,(,用三个字母表示,如图中的,ABC),等圆与等弧,能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等。,在同圆或等圆中，,能够互相重合的弧叫等弧。,想一想,判断下列说法的正误：,(1),弦是直径；,(2),半圆是弧；,(3),过圆心的直线是直径；,(4),半圆是最长的弧；,(5),直径是最长的弦；,练 习,由此你能得到圆的什么特性？,你能证明,圆是轴对称图形,吗？,活动一,不借助任何工具，你能找到一张圆形纸片的圆心吗,?,?,活动二,在,O,上，,你能找到关于直线,CD,的一对对称点,A,、,B,吗？,?,由此，我们能发现,垂直于弦的直径有什么特殊的性质,？,已知：在,O,中,，,CD,是直径,，,AB,是弦，,CDAB,。,求证：,AE,BE,，,AC,BC,，,AD,BD,。,证明我们发现的结论,活动三,垂径定理,三种语言,定理,:,垂直,于弦的,直径,平分弦,并且平分弦所对的两条弧,.,O,A,B,C,D,M,CDAB,如图,CD,是直径,AM=BM,AC =BC,AD=BD.,我们是否还可以得到结论：,平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,O,A,B,C,D,E,活动四,A,B,C,D,O,平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,定理：,O,A,B,C,D,M,AM=BM,如图,CD,是直径,CDAB,AC =BC,AD=BD.,根据垂径定理与推论：对于一个圆和一条直线来说，如果具备：,那么，由五个条件中的任何两个条件是否都可以推出其他三个结论？,探究规律, 经过圆心, 垂直于弦, 平分弦, 平分弦所对的优弧, 平分弦所对的劣弧,条件,结论,命 题,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧,.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧,.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧,.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧,.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦,.,CD,是直径,AM=BM,CDAB,AC=BC,AD=BD.,.,O,A,E,B,D,C,课堂讨论,弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。,定理：,O,A,B,C,D,M,如图 ,A,M=BM,CDAB,CD,经过圆心是直径,AC =BC,AD=BD.,课堂小结,1、本节课我们学习了,;,2、回顾本节课的学习历程，,我们是怎样探究垂径分弦的定理的？,不经历风雨，怎么见彩虹,没有人能随随便便成功,!,再见,问题 ：你知道赵州桥吗,?,它是,1300,多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度,(,弧所对的弦的长,),为,37.4m,拱高,(,弧的中点到弦的距离,),为,7.2m,，,你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少,？,学以致用,解得,R,27.9.,O,D,A,B,C,R,解决求赵州桥拱半径的问题：,在,Rt,OAD,中，由勾股定理，得,即,R,2,=18.7,2,+,（,R,7.2,）,2,因此，赵州桥的主桥拱半径约为,27.9,m.,OA,2,=,AD,2,+,OD,2,AB,=37.4 m,，,CD,=7.2 m,，,OD=OC,CD,=,R,7.2,在图中,如图，用弧,AB,表示主桥拱，设弧,AB,所在圆的圆心为,O,，半径为,R,经过圆心,O,作弦,AB,的垂线,OC,，,D,为垂足，,OC,与弧,AB,相交于点,C,.,根据前面的结论可知，,D,是弦,AB,的中点，,C,是弧,AB,的中点，,CD,就是拱高,1,如图，在,O,中，弦,AB,的长为,8,cm,，圆心,O,到弦,AB,的距离为,3,cm,，求,O,的半径,O,A,B,E,练 习,解：,答：,O,的半径为,5,cm.,在,Rt,AOE,中，,2,如图，在,O,中，,AB,、,AC,为互相垂直且相等的两条弦，,OD,AB,于,D,，,OE,AC,于,E,，求证：四边形,ADOE,是正方形,O,A,B,C,D,E,证明：,四边形,ADOE,为矩形，,又,AC=AB,，,AE=AD.,四边形,ADOE,为正方形,.,例,2,已知：如图，在以,O,为圆心的两个同心圆中，大圆的弦,AB,交小圆于,C,，,D,两点。,求证：,AC,BD,。,则,AE,BE,，,CE,DE,。,AE,CE,BE,DE,。,所以，,AC,BD,E,.,A,C,D,B,O,例题,2,证明：过,O,作,OEAB,，垂足为,E,，,例,3,已知：,O,中弦,ABCD,。,求证：,AC,BD,ABCD,，,MNCD,。则,AM,BM,，,CM,DM,（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）,AM,CM,BM,DM,AC,BD,.,M,C,D,A,B,O,N,例题,3,证明：作直径,MNAB,。,试一试,P,93,11,驶向胜利的彼岸,挑战自我,画一画,如图,M,为,O,内的一点,利用尺规作一条弦,AB,使,AB,过点,M.,并且,AM=BM.,O,M,2,、如图,4,，在,O,中，,AB,为,O,的弦，,C,、,D,是直线,AB,上两点，且,AC,BD,求证：,OCD,为等腰三角形。,E,3,、,如图,，两个圆都以点,O,为圆心，小圆的弦,CD,与大圆的弦,AB,在同一条直线上。你认为,AC,与,BD,的大小有什么关系？为什么？,G,挑战自我,垂径定理的推论,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗,?,老师提示,:,这两条弦在圆中位置有两种情况,:,随堂练习,P,92,10,驶向胜利的彼岸,O,A,B,C,D,1.,两条弦在圆心的同侧,O,A,B,C,D,2.,两条弦在圆心的两侧,垂径定理的推论,圆的两条平行弦所夹的弧相等,.,垂径定理的推论,如果圆的,两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗,?,老师提示,:,这两条弦在圆中位置有两种情况,:,O,A,B,C,D,1.,两条弦在圆心的同侧,O,A,B,C,D,2.,两条弦在圆心的两侧,垂径定理的推论,圆的两条平行弦所夹的弧相等,.,M,M,已知：,O,中弦,ABCD,。,求证：,AC,BD,证明：作直径,MNAB,。,ABCD,，,MNCD,。则,AM,BM,，,CM,DM,（垂直平分弦的直径平分弦所对的弦）,AM,CM,BM,DM,AC,BD,.,M,C,D,A,B,O,N,讲解,如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？,圆的两条平行弦所夹的弧相等,如何找圆心？,当未知一个圆或一条弧的圆心时，如何把它找出来？,试一试,P,93,12,挑战自我,填一填,1,、判断：,垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对,的两条弧,.,（ ）,平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所,对的另一条弧,.,（ ）,经过弦的中点的直径一定垂直于弦,.,（ ）,圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行,.,弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧,.,（ ）,2.,已知：如图,O,中,弦,ABCD,AB,CD,直径,MNAB,垂足为,E,交弦,CD,于点,F.,图中相等的线段有,:,.,图中相等的劣弧有,:,.,3,、已知：如图，,O,中，,AB,为 弦，,C,为,弧,AB,的中点，,OC,交,AB,于,D,，,AB = 6cm,，,CD = 1cm.,求,O,的半径,OA.,4.,如图,圆,O,与矩形,ABCD,交于,E,、,F,、,G,、,H,EF=10,HG=6,AH=4.,求,BE,的长,.,A,B,C,D,0,E,F,G,H,M,N,已知：,AB,和,CD,是,O,内的两条平行弦，,AB=6cm,，,CD=8cm,，,O,的半径为,5cm,，,思考题：,（,1,）请根据题意画出符合条件的图形,（,2,）求出,AB,、与,CD,间的距离。,（,1,）,（,2,）,学生练习,已知：,AB,是,O,直径，,CD,是弦，,AECD,，,BFCD,求证：,EC,DF,.,A,O,B,E,C,D,F,小结,:,解决有关弦的问题，经常是过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，连结半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件。,.,C,D,A,B,O,M,N,E,.,A,C,D,B,O,.,A,B,O,垂径定理的几个基本图形,