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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,1,曲线运动与天体运动,曲线运动要点,一、曲线运动的发生条件,F,合外力方向与速度方向不在一直线,二、曲线运动的特点,速度方向一定变化,切向力改变速度大小,法向力改变速度方向,v,F,n,F,t,三、求解曲线运动问题的运动学基本方法,矢量的合成与分解,微元法,*,曲线运动的加速度,质点的瞬时加速度定义为,A,v,A,v,B,为求一般的做曲线运动质点在任一点的瞬时加速度，通常将其分解为法向加速度,a,n,与切向加速度,a,t,O,A,点曲率圆,A,点曲率圆半径,B,*,在离水面高度为,h,的岸边，有人用绳子拉船靠岸，若人收绳的速率恒为,v,0,，试求船在离岸边,s,距离处时的速度与加速度的大小各为多少？,例,1,解,:,依据实际运动效果分解船的运动：,v,0,A,v,v,n,h,s,v,t,船及与船相系的绳端,A,的实际运动是水平向左的，这可看作是绳之,A,端一方面沿绳方向向“前方”滑轮处“收短”，同时以滑轮为圆心转动而成，即将实际速度,v,分解成沿绳方向“收短”的分速度,v,n,和垂直于绳方向的转动分速度,v,t,;,注意到绳子是不可伸长的，人收绳的速率,v,0,也就是绳端,A,点沿绳方向移动速率,v,n,:,由图示,v,、,v,t,、,v,n,矢量关系及位置的几何关系易得：,求船的速度,续解,*,求船的加速度,在一小段时间,t,内,船头位置从,A,移,A,，绳绕滑轮转过一小角度,0:,A,v,v,0,v,t,v,0,读题,由加速度定义得：,由几何关系得：,*,解,:,质点沿圆周做速度大小、方向均变化的运动每个瞬时的加速度均可分解为切向加速度,a,t,与法向加速度,a,n,，前者反映质点速率变化快慢，后者反映质点速度方向变化快慢,如图所示，质点从,O,点由静止开始沿半径为,R,的圆周做速率均匀增大的运动，到达,A,点时质点的加速度与速度方向夹角为,，质点通过的弧,s,所对的圆心角为,，试确定,与,间的关系,例,2,v,A,a,A,O,s,a,t,a,n,由题给条件,而,又,*,如图所示，质点沿一圆周运动，过,M,点时速度大小为,v,，加速度矢量与圆相交成弦,MA,=,l,，试求此加速度的大小,练习题,1,解,:,将,M,点加速度沿切向与法向进行分解,!,v,a,M,A,l,O,a,t,a,n,法向加速度,*,如图所示，曲柄,OA,长,40 cm,以等角速度,=,0.5rad/s,绕,O,轴反时针方向转动由于曲柄的,A,端推动水平板,B,而使滑杆,C,沿竖直方向上升，求当曲柄与水平线夹角,=30,时，滑杆,C,的加速度,练习题,2,解,:,杆,A,与,B,板接触点有相同沿竖直方向的加速度,!,杆上,A,点加速度,O,A,B,C,a,A,a,Ay,a,C,此即滑杆,C,的加速度,代入数据得滑杆,C,的加速度,*,有一只狐狸以不变的速度,v,1,沿着直线,AB,逃跑，一猎犬以不变的速率,v,2,追击，其运动方向始终对准狐狸某时刻狐狸在,F,处，猎犬在,D,处，,FD,AB,，且,FD,L,，如图试求此时猎犬的加速度的大小,练习题,3,解,:,设,t,时间内，,v,2,方向变化, ,0,时,:,F,L,A,B,D,v,1,v,2,v,2,v,2,v,2,由加速度定义，猎犬 加速度,*,y,解,:,质点的运动是质点相对槽的运动及与槽一起转动两者之合运动,如图所示，圆盘半径为,R,，以角速度,绕盘心,O,转动，一质点沿径向槽以恒定速度,u,自盘心向外运动，试求质点的加速度,例,3,科里奥利加速度,A,O,本题讨论中介参考系以,匀速转动时，质点加速度的构成,u,设某一瞬时质点沿槽运动到与,O,相距,r,的位置,A,y,B,x,O,A,u,r,u,经,t,时间，质点沿槽运动到与盘心,O,相距,r,+,ut,的位置,B,，盘转过了角度,t,，故质点实际应在位置,B,在,t,时间内，质点沿,y,方向速度增量为,在,t,时间内，质点沿,x,方向速度增量为,注意到,t,0,时,续解,*,读题,方向与,x,成,牵连加速度,科里奥利加速度,矢量图示,中介参考系以,匀速转动时，质点加速度的构成,相对中介参考系的加速度,牵连加速度,科里奥利加速度,y,x,O,A,由于参考系转动及质点对参考系有相对运动而产生的，方向指向,u,沿,方向,转过,90,的方向,返回,试手,*,如图所示,一等腰直角三角形,OAB,在其自身平面内以等角速度,绕顶点,O,转动，某一点,M,以等相对速度沿,AB,边运动，当三角形转了一周时，,M,点走过了,AB,，如已知,AB,b,，试求,M,点在,A,时的速度与加速度,练习题,4,解,:,求质点的速度,O,A,B,M,引入,中介参照系,-,三角形,OAB,质点对轴,O,的速度（相对速度,）,三角形,A,点对轴的速度（牵连速度）,质点对轴,O,的速度（绝对速度）,v,M,v,MA,v,A,三速度关系为,v,M,方向与,AB,夹角,续解,*,求质点的加速度,相对中介参考系的加速度,牵连加速度,科里奥利加速度,O,A,B,M,a,A,a,科,a,M,方向与,AO,夹角,规律,*,曲线运动轨迹的曲率,曲线的弯曲程度用曲率描述,曲线上某点的曲率定义为,圆周上各点曲率相同,:,曲线上各点对应的半径为该点曲率倒数,1/,K,的圆称为曲率圆,该圆圆心称曲线该点的曲率中心,!,*,M,1,物理方法求曲率,(,半径,),用矢量分解法求椭圆长轴与短轴端点的曲率半径,已知长半轴与短半轴为,a,和,b,.,例,4,设质点在,M,平面内沿椭圆轨道以速率,v,运动，这个运动在,M,1,平面的一个分运动轨道恰成半径为,b,的圆，则两平面间,夹角,对椭圆长轴端的,A,点,:,A,1,a,A,1,对,A,点投影,A,1,点,:,椭圆短轴端,B,点的曲率半径由,B,1,v,v,M,A,a,A,B,v,a,B,a,B,*,旋转半径为,r,、螺距为,h,的等距螺旋线，曲率半径处处相同试用运动学方法求解曲率半径,值,练习题,5,解,:,设物体以,v,0,做匀速率的圆周运动、同时以,v,h,沿垂直于,v,0,方向做匀速直线运动，每前进一个螺距，完成一次圆周，即有,设螺旋线上任一点的曲率半径为,h,r,*,受恒力作用,平抛运动规律,力与初速度垂直,轨迹为半支抛物线,匀变速曲线运动,物体在时刻,t,的位置,物体在时刻,t,的速度,水平方向匀速运动与竖直方向自由落体运动的合成,返回,*,平抛初速大小不同,落在斜面上时速度方向相同,!,H,变换坐标描述平抛运动,v,0,g,空中飞行时间,距斜面最大高度,沿斜面方向的匀加速运动与垂直斜面方向的上抛运动之合成,!,*,如图所示，小冰球从高为,H,的光滑坡顶由静止开始下滑，这个坡的末端形如水平跳板当跳板高,h,为何值时，冰球飞过的距离,s,最远？它等于多少？,练习题,6,H,h,A,B,解,:,物体从坡末端,B,水平飞出后做平抛运动,:,由基本不等式性质,*,两个质点以加速度,g,在均匀重力场中运动开始时两个质点位于同一点，且其中一个质点具有水平速度,v,1,3.0 m,s,；另一个质点水平速度,v,2,4.0 m,s,，方向与前者相反求当两个质点的速度矢量相互垂直时，它们之间的距离,练习题,7,解,:,当两质点速度互相垂直时，速度矢量关系如图示,:,v,1,v,y,v,1,t,v,2,t,v,2,v,y,由矢量图得,*,如图，一仓库高,25 m,，宽,40 m,今在仓库前,l m,、高,5 m,的,A,处抛一石块，使石块抛过屋顶，问距离,l,为多大时，初速度,v,0,之值最小？（,g,取,10 m/s,2,）,练习题,8,h,S,v,0,l,v,B,A,H,解,:,B,过,B,点时速度方向与水平成,45,时，可以最小的,v,B,越过,40m,仓库顶,!,从,A,到,B,竖直方向分运动有,从,A,到,B,水平方向分运动有,*,x,岸,木排停泊在河上，到岸的距离,L,60 m,流水速度同离岸的距离成比例地增大，在岸边,u,0,=0,，而在木排边流速,u,L,=2 m/s,小汽船离开岸驶向木排船对水的速度,v,=7.2 km/h,问驾驶员在起航前应该使船指向何方，使以后无须校正船速就能靠上与起航处正对面的木排？这时船航行多少时间？,练习题,9,解,:,V,0,=,v,流水速度为,船的合速度为,在岸边船的合速度大小,V,0,=,v,方向如示,!,中间时刻船合速度沿,x,方向,航线如,示,v,u,中,V,V,v,u,L,通过,L,的时间,*,如图所示，一个完全弹性小球自由下落，经,5m,碰到斜面上的,A,点同时斜面正以,V,10m,s,在水平面上做匀速运动，斜面与水平面的倾角为,45,问在离,A,点多远处，小球将与斜面发生第二次碰撞？,练习题,12,解,:,球以,v,=10 m/s,入射，与斜面的,接近速度,v,A,V,球与斜面的,分离速度,球从与斜面分离到再次碰撞历时,g,注意到球沿斜面体方向初速度为零，加速度,g,sin45,球再与斜面碰撞处距,A,*,如图所示，一人站在一平滑的山坡上，山坡与水平面成角度,他与水平成,仰角扔出的石子落在斜坡上距离为,L,，求其抛出时初速度,v,0,及以此大小初速度抛出的石子在斜坡上可以达到的最大距离,练习题,10,解,:,v,0,g,石子沿山坡方向做匀加速运动,石子沿垂直山坡方向做匀加速运动,设抛出石子的仰角为,*,小球以恒定速度,v,沿水平面运动，在,A,点坠落于半径为,r,和深为,的竖直圆柱形井中小球速度,v,与过,点井的直径成,，俯视如图问,v,、,H,、,r,、,之间关系如何，才能使小球与井壁和井底弹性碰撞后，能够从井里“跳出来”（不计摩擦）,练习题,11,v,A,r,解,:,小球运动轨迹的俯视图如示,小球两次与壁相碰点间水平射程为,历时,从进入至与底碰撞历时,为使小球与井壁和井底弹性碰撞后，能够从井里,“,跳出来,”,(,n,、,k,均为正整数,),小球在竖直方向做自由下落或碰底上抛至速度为零,小球在水平方向以,v,匀速运动,碰壁,“,反射,”,*,如图，一位网球运动员用拍朝水平方向击球，第一只球落在自己一方场地上后弹跳起来刚好擦网而过，落在对方场地,处第二只球直接擦网而过，也落在,处球与地面的碰撞是完全弹性的，且空气阻力不计，试求运动员击球高度为网高的多少倍？,练习题,12,解,:,B,A,C,O,H,设,C,点高度为,h,，由题意球,1,运动时间为,由题意球,2,运动时间为,水平射程相同,x,*,初速度为,v,0,的炮弹向空中射击，不考虑空气阻力，试求出空间安全区域的边界的方程,练习题,13,解,:,这个问题可抽象为一个求射出炮弹在空中可能轨迹的包络线方程问题，包络线以外即为安全区域,如图，在空间三维坐标中，设初速度方向与,xy,平面,成,角，由抛体运动规律可建立时间,t,的三个参数方程,x,z,y,O,v,0,v,x,v,y,v,z,续解,*,这是发射角,各不相同的炮弹的空间轨迹方程,此方程式有解时，必满足,包络线方程为,这里我们运用了曲线簇的包络线的数学模型处理了一个有实际应用背景的物理问题,整理该包络线方程为所求安全区域的边界方程,读题,*,机车以等速率,v,0,沿直线轨道行驶机车车轮半径为,r,如车轮只滚动不滑动，将轮缘上的点,M,在轨道上的起点位置取为坐标原点，并将轨道取为,x,轴，如图所示，求,M,点的运动轨迹方程以及轨迹的曲率半径，并求当,M,点所在的车轮直径在水平位置时，该点的速度与加速度,练习题,17,解,:,y,x,O,M,A,M,点的两个分运动,与轮心相同的匀速运动,对轮心的匀速圆周运动,O,y,x,续解,M,点的轨迹方程为,求轨迹方程：,*,M,读题,M,点速度矢量与加速度矢量关系如示,求轨迹的曲率半径,：,v,M,a,M,a,t,v,0,v,0,M,点加速度即,法向分量,续解,*,
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