解析几何课件(第四版)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,解析几何课件,(第四版),吕林根 许子道等编,第四章 柱面锥面旋转曲面与二次曲面,第五章 二次曲线的一般理论,第一章 矢量与坐标,第三章 平面与空间直线,第二章 轨迹与方程,第二章 轨迹与方程,平面曲线的方程, 曲面的方程, 空间曲线的方程,2.3,母线平行与坐标轴的柱面方程,第四章,柱面锥面旋转曲面,与二次曲面,柱面, 旋转曲面, 锥面,椭球面, 双曲面,第五章 二次曲线的一般理论, 二次曲线的切线, 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线,空间曲线的一般方程,曲线上的点都满足方程，不在曲线上的点不能同时满足两个方程.,空间曲线C可看作空间两曲面的交线.,特点,：,2.1 平面曲线的方程,下一页,返回,例1,方程组 表示怎样的曲线？,解,表示圆柱面，,表示平面，,交线为椭圆.,上一页,下一页,返回,例2,方程组,解,上半球面,圆柱面,交线如图.,表示怎样的曲线？,上一页,返回,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,2.2 曲面的方程,下一页,返回,以下给出几例常见的曲面.,解,根据题意有,所求方程为,特殊地：球心在原点时方程为,上一页,下一页,返回,得上、下半球面的方程分别是：,当,A,2,+,B,2,+,C,2,-4,D,0 时, 是球面方程.,由,由上述方程可得球面的一般式方程为：,反之，由一般式方程（*），经过配方又可得到：,x,2,+,y,2,+,z,2,+,Ax,+,By,+,Cz,+,D,= 0,（*）,(,x,+,A,/2),2,+(,y,+,B,/2),2,+(,z,+,C,/2),2,=(,A,2,+,B,2,+,C,2,-4,D,)/4,上一页,下一页,返回,解,根据题意有,所求方程为,上一页,下一页,返回,根据题意有,化简得所求方程,解,上一页,下一页,返回,例4,方程 的图形是怎样的？,根据题意有,图形上不封顶，下封底,解,以上方法称为,截痕法,.,上一页,下一页,返回,以上几例表明研究空间曲面有,两个基本问题,：,（2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面、二次曲面）,（1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程,上一页,返回,抛物柱面,平面,抛物柱面,方程：,平面方程：,2.3 母线平行与坐标轴的柱面方程,下一页,返回,从柱面方程看,柱面的特征,：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面，,双曲柱面 ，,抛物柱面，,母线/ 轴,母线/ 轴,母线/ 轴,上一页,下一页,返回,a,b,z,x,y,o,椭圆,柱面,上一页,下一页,返回,z,x,y,= 0,y,o,双曲,柱面,上一页,下一页,返回,z,x,y,o,抛物,柱面,上一页,返回,空间曲线的参数方程,一、空间曲线的参数方程,2.4 空间曲线的方程,下一页,返回,动点从,A,点出发，经过,t,时间，运动到,M,点,螺旋线的参数方程,取时间,t,为参数，,解,上一页,下一页,返回,螺旋线的参数方程还可以写为,螺旋线的重要,性质,：,上升的高度与转过的角度成正比,即,上升的高度,螺距,上一页,返回,水桶的表面、台灯的罩子面等,曲面在空间解析几何中被看成是点的几何轨迹,曲面方程的定义：,曲面的实例：,4.1 柱面,下一页,返回,观察柱面的形成过程:,定义,平行于定直线并沿定曲线移动的直线所形成的曲面称为,柱面,.,这条定曲线叫柱面的,准线,，动直线叫柱面的,母线,.,母线,准线,上一页,下一页,返回,柱面举例：,抛物柱面,平面,抛物柱面,方程：,平面方程：,上一页,下一页,返回,从柱面方程看,柱面的特征,：,（其他类推）,实 例,椭圆柱面，,双曲柱面 ，,抛物柱面，,母线/ 轴,母线/ 轴,母线/ 轴,上一页,下一页,返回,1.,椭圆柱面,x,y,z,O,2.,双曲柱面,上一页,返回,定义,通过一定点且与定曲线相交的一族直线所产生的曲面叫做,锥面,.,这些直线都叫做锥面的,母线,.,那个定点叫做锥面的,顶点,.,锥面的方程是一个三元方程.,特别当顶点在坐标原点时：,4.2 锥面,下一页,返回,n,次齐次方程,F,(,x,y,z,),=,0,的图形是以原点为顶点的锥面,；,方程,F,(,x,y,z,),=,0,是,n,次齐次方程,：,准线,顶点,F,(,x,y,z,),=,0.,反之，以原点为顶点的锥面的方程是,n,次齐次方程,锥面是直纹面,x,0,z,y,锥面的准线不唯一，和一切母线都相交的每一条曲线都可以作为它的母线.,上一页,下一页,返回,请同学们自己用截痕法,研究其形状.,椭圆锥面,上一页,下一页,返回,解,圆锥面方程,或,上一页,返回,定义,以一条曲线绕其一条定直线旋转一周所产生的曲面称为,旋转曲面,或称,回旋曲面,.,这条定直线叫旋转曲面的,旋转轴,这条曲线叫旋转曲面的,母线,4.3 旋转曲面,下一页,返回,曲线,C,C,y,z,o,绕,z,轴,上一页,下一页,返回,曲线,C,x,C,y,z,o,绕,z,轴,.,上一页,下一页,返回,曲线,C,旋转一周得,旋转曲面,S,C,S,M,N,z,P,y,z,o,绕,z,轴,.,f (y,1,z,1,)=0,M,(,x,y,z,),.,x,S,上一页,下一页,返回,曲线,C,旋转一周得,旋转曲面,S,x,C,S,M,N,z,P,.,绕,z,轴,.,.,f (y,1,z,1,)=0,M,(,x,y,z,),f (y,1,z,1,)=0,f,(,y,1,z,1,)=0,.,y,z,o,S,上一页,下一页,返回,建立旋转曲面的方程：,如图,将 代入,得方程,上一页,下一页,返回,方程,上一页,下一页,返回,例1,将下列各曲线绕对应的轴旋转一周，求生成的旋转曲面的方程,旋转双叶双曲面,y,z,o,x,y,z,o,x,上一页,下一页,返回,x,y,o,z,x,y,o,z,旋转单叶双曲面,上一页,下一页,返回,旋转椭球面,x,y,z,x,y,z,上一页,下一页,返回,旋转抛物面,x,y,z,o,x,y,z,o,上一页,下一页,返回,几种 特殊旋转曲面,1,双叶旋转曲面,2,单叶旋转曲面,3,旋转锥面,4,旋转抛物面,5,环面,上一页,下一页,返回,x,0,y,1,双叶旋转双曲面,绕,x,轴一周,上一页,下一页,返回,x,0,z,y,.,绕,x,轴一周,1,双叶旋转双曲面,上一页,下一页,返回,x,0,z,y,.,1,双叶旋转双曲面,.,绕,x,轴一周,上一页,下一页,返回,a,x,y,o,2,单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕,y,轴一周,上一页,下一页,返回,a,x,y,o,z,.,上题双曲线,绕,y,轴一周,2,单叶旋转双曲面,上一页,下一页,返回,a,.,x,y,o,z,.,.,2,单叶旋转双曲面,上题双曲线,绕,y,轴一周,上一页,下一页,返回,3,旋转锥面,两条相交直线,绕,x,轴一周,x,y,o,上一页,下一页,返回,.,两条相交直线,绕,x,轴一周,x,y,o,z,3,旋转锥面,上一页,下一页,返回,x,y,o,z,.,两条相交直线,绕,x,轴一周,得旋转锥面,.,3,旋转锥面,上一页,下一页,返回,y,o,z,4,旋转抛物面,抛物线,绕,z,轴一周,上一页,下一页,返回,y,o,x,z,.,抛物线,绕,z,轴一周,4,旋转抛物面,上一页,下一页,返回,y,.,o,x,z,生活中见过这个曲面吗？,.,4,旋转抛物面,抛物线,绕,z,轴一周,得旋转抛物面,上一页,下一页,返回,5,环面,y,x,o,r,R,绕,y,轴,旋转所成曲面,上一页,下一页,返回,5,环面,z,绕,y,轴,旋转所成曲面,y,x,o,.,上一页,下一页,返回,5,环面,z,绕,y,轴,旋转所成曲面,环面方程,.,生活中见过这个曲面吗？,y,x,o,.,.,上一页,下一页,返回,二次曲面的定义：,三元二次方程所表示的曲面称之为,二次曲面,相应地平面被称为,一次曲面,讨论二次曲面形状的,截痕法,：,用坐标面和平行于坐标面的平面与曲面相截，考察其交线（即截痕）的形状，然后加以综合，从而了解曲面的全貌,以下用截痕法讨论几种特殊的二次曲面,二次曲面,4.4 椭球面,下一页,返回,截痕法,用,z = h,截曲面,用,y = m,截曲面,用,x = n,截曲面,a,b,c,y,x,z,o,椭球面,上一页,下一页,返回,椭球面的方程,椭球面与三个坐标面的交线：,椭球面,上一页,下一页,返回,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为,椭圆,同理与平面 和 的交线也是,椭圆,.,上一页,下一页,返回,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,旋转椭球面,与,椭球面,的,区别,：,方程可写为,与平面 的交线为圆.,上一页,下一页,返回,球面,截面上圆的方程,方程可写为,上一页,返回,单叶双曲面,（1）用坐标面 与,曲面相截截得中心在原点,的,椭圆,一、单叶双曲面,4.5 双曲面,下一页,返回,与平面 的交线为椭圆.,当 变动时，这种椭圆的,中心,都在 轴上.,（2）用坐标面 与曲面相截,截得中心在原点的双曲线.,实轴与 轴相合，虚轴与 轴相合.,上一页,下一页,返回,单叶双曲面图形,x,y,o,z,（3）用坐标面 ，与曲面相截,均可得双曲线.,上一页,下一页,返回,二、双叶双曲面,双叶双曲面,x,y,o,z,上一页,下一页,返回,单叶,：,双叶,：,.,.,.,y,x,z,o,在平面上，双曲线有渐进线。,相仿，,单叶双曲面,和,双叶双曲面,有,渐进锥面,。,用z=,h,去截它们，当|,h,|,无限增大时，,双曲面,的截口椭圆与它的,渐进锥面,的截口椭圆任意接近，即：,双曲面和锥面任意接近。,渐进锥面：,双曲面及其渐进,锥,面,上一页,返回,第五章 二次曲线的一般理论,在平面上，由二元二次方程,所表示的曲线，叫做二次曲线。在这一章里，我们将讨论二次曲线的几何性质，以及二次曲线的化简，最后对二次曲线进行分类。,下一页,返回,为了方便起见，特引进一些记号：,上一页,下一页,返回,上一页,返回,1.二次曲线的渐近方向,定义,满足条件,(,X,Y,)=0的方向,X,:,Y,叫做二次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向.,定义,没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆型的，有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物线型的，有两个实渐近方向的二次曲线叫做双曲型的.,即1)椭圆型：I,2,0 2)抛物型： I,2,0 3)双曲型： I,2,0,5.2 二次曲线的渐近方向、中心、渐近线,下一页,返回,2. 二次曲线的中心与渐近线,定义5.2.3,如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫做二次曲线的中心.,定理,点C(,x,0,y,0,)是二次曲线(1)的中心，其充要条件是：,推论,坐标原点是二次曲线的中心，其充要条件是曲线方程里不含,x,与,y,的一次项.,上一页,下一页,返回,二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定：,如果I,2,0，则2)有唯一解，即为唯一中心坐标,如果I,2,0，分两种情况：,上一页,下一页,返回,定义5.2.4,有唯一中心的二次曲线叫,中心二次曲线,，没有中心的二次曲线叫,无心二次曲线,，有一条中心直线的二次曲线叫,线心二次曲线,，无心二次曲线和线心二次曲线统称为,非中心二次曲线.,定义5.2.5,通过二次曲线的中心，而且以渐近方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线.,定理5.2.2,二次曲线的渐近线与这二次曲线或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线,上,成为二次曲线的组成部分.,上一页,返回,定义,如果直线与二次曲线相交于相互重合的两个点，那么这条直线就叫做二次曲线的,切线,，这个重合的交点叫做,切点,，如果直线全部在二次曲线上，我们也称它为二次曲线的,切线,，直线上的每个点都可以看作,切点,.,定义,二次曲线(1)上满足条件,F,1,(,x,0,y,0,)=,F,2,(,x,0,y,0,)=0的点(,x,0,y,0,)叫做二次曲线的奇异点，简称奇点；二次曲线的非奇异点叫做二次曲线的正常点.,5.3 二次曲线的切线,下一页,返回,定理,如果(,x,0,y,0,)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(,x,0,y,0)的切线方程是 (,x,-,x,0,),F,1,(,x,0,y,0,)+,(,y,-,y,0,),F,2,(,x,0,y,0,)=0， (,x,0,y,0,)是它的切点. 如果(,x,0,y,0,)是二次曲线(1)的奇异点，那么通过(,x,0,y,0,)的切线不确定，或者说过点(,x,0,y,0,)的每一条直线都是二次曲线(1)的切线.,推论,如果(,x,0,y,0,)是二次曲线(1)的正常点，那么通过(,x,0,y,0,)的切线方程是：,上一页,下一页,返回,例1 求二次曲线,x,2,-,xy,+,y,2,+2,x,-4,y,-3=0在点(2,1)的切线方程,解：因为,F,(2,1)=4-2+1+4-4-3=0,且,F,1,(2,1)=5/20,F,2,(2,1)=-2 0,所以(2,1)是二次曲线上的正常点，因此得在,点(2,1)的切线方程为：,5/2 (,x,-2)-2(,y,-1)=0,即：5,x,-4,y,-6=0,上一页,返回,谢谢大家！,