傅立叶(Fourier)级数的展开方法

单辑母版标题样式击此处编,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,、傅立叶（,Fourier,）,级数的展开方法；,2,、傅立叶（,Fourier,）,积分的展开条件与展开方法；,3,、傅立叶谱的物理意义。,重点,傅里叶生平,1768,年生于法国,1807,年提出,“,任何周期信号都可用正弦函数的级数表示,”,1822,年发表,“,热的分析理论,”,，首次提出,“,任何非周期信号都可用正弦函数的积分表示,”,5.1,傅里叶（,Fourier,）,级数,一,.,周期函数的傅里叶展开,在工程计算中,无论是电学、力学、光学,经常要和随时间而变的周期函数,f,T,(,t,),打交道,.,例如,:,最常用的一种周期函数是三角函数,f,T,(,t,)=,A,sin(,t,+,),其中,=2,/,T,具有性质,f,T,(,t,+,T,)=,f,T,(,t,),的函数称为周期函数。,t,工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的线性组合来逼近,.,方波,4,个正弦波的逼近,100,个正弦波的逼近,数学表示为,则,函数,f,(,x,),可在,-,l,l,展为傅里叶级数,1,、 傅里叶级数,=,+,+,=,1,k,k,k,0,l,x,k,b,l,x,k,a,a,x,f,),sin,cos,(,),(,若函数,f,(,x,),以,2,l,为周期，即,f,(,x+2l,),=,f,(,x,),，,并在区间,-,l,l,上,满足狄里希利,(,Dirichlet,),条件,即在区间,-,l,l,上,1),连续,或只有有限个第一类间断点；,2),只有有限个极值点,.,（简称狄氏条件）,说明,1,、三角函数族是两两正交的,.,sin,.,2,sin,sin,.,cos,.,2,cos,cos,1,l,x,k,l,x,l,x,l,x,k,l,x,l,x,p,p,p,p,p,p,2,、可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；,称为傅里叶系数,3,、函数以傅立叶级数展开是在函数空间中以三角函数为基进行分解,基矢量,4,、第一类间断点和第二类间断点的区别,:,函数的间断点分为两类,第一类间断点：,x,0,是函数的间断点，且,左极限,右极限,存在,第一类间断点,第二类间断点,第二类间断点：不是第一类的间断点。,而在工程上所应用的函数,尤其是物理量的变化函数,全部满足狄氏条件,.,5,、傅立叶展开的意义：,理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示；,应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。,例,1,设,f,（,x,）,函数是周期为,2,周期函数，它在,，,表达式,将,f,（,x,）,展为傅立叶级数。,解,函数满足狄氏条件，它在,x=k,（,k,=0,，,1,，,-1,，,2,，,-2),点不连续,收敛于,在,连续点上收敛于,则,二、奇函数和偶函数的傅里叶展开,若,f,(,x,),是奇函数，则,a,k,为,0,，展开式为,叫做傅里叶正弦级数，,f,(,0,),=f,(,l,),=0,=,+,+,=,1,k,k,k,0,l,x,k,b,l,x,k,a,a,x,f,),sin,cos,(,),(,=,=,1,k,k,l,x,k,b,x,f,sin,),(,),(,d,sin,),(,L,2,1,k,l,k,f,l,2,b,l,0,k,=,=,若,f,(,x,),是偶函数，则,b,k,为,0,，展开式为,=,+,=,1,k,k,0,l,x,k,a,a,x,f,cos,),(,),2,1,(,d,),(,1,0,L,=,=,k,f,l,a,l,k,x,x,叫做傅里叶余弦级数,),2,1,(,d,cos,),(,2,0,L,=,=,k,l,k,f,l,a,l,k,x,px,x,例,2,设,f,（,x,）,是周期为,2,的周期函数，它在,-,，,上的表式为,f,（,x,）,=,x,。,将它展为傅立叶级数。,解,首先，所给函数满足狄氏条件，在,处,不连续，因此，,f,（,x,）,的傅立叶级数在,收敛于,在,连续点处收敛于,f,（,x,）。,不计点 函数是周期为,2,，,且是奇函数,。,则,1,、定义在,-,l,l,上的函数,f,(,x,),展开；,三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开,工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的,.,方法,将函数,f,（,x,）解析延拓到,-,，,区间，构成的周期函数,g,（,x,），其周期为,2,l,仅在,-,l,，,l,上，,g,(,x,),f,(,x,).,例,3,在（,-1,，,1,）上定义了函数,f,（,x,）为：,将函数展为傅立叶级数,解,函数曲线如图,将函数做周期为,2,的解析延拓，如图。,将延拓后的函数做傅立叶展开,所以,2,、定义在,0,l,上的函数,f,(,x,),展开；,方法,将函数,f,（,x,）解析延拓到,-,l,，,l,区间，再将,-,l,，,l,区间的函数再延拓到,区间上，构成周期函数,g,（,x,），其周期为,2,l,例,4,定义在（,0,，,l,）上的函数,f,（,x,）,=,a,（,1-,x,/,l,），将,该函数展开为傅立叶级数。,解,函数曲线如图,延拓到（,- l,，,l,）后再周期延拓，如图做偶延拓：,所以,如图做奇延拓：,延拓的方式有无数种，因而展开式也有无数种，但他们,在,(0,l,),上均代表,f,(,x,),，且函数值相等。,有时，对函数,f,(,x,),边界的限制就决定了延拓的方式。如要,求,f,(0)=,f,(,l,)=0,，,则应延拓成奇周期函数，,如要求,，,则应延拓成偶的周期函数。,四 复数形式的傅立叶级数,而利用三角函数的指数形式可将级数表示为,:,有些时候利用三角函数和复指数函数的关系，将函数以复指数函数展开讨论函数的性质更方便。,设,-,k=k,所以，复数形式的傅立叶级数是以,为基展开的级数。,例,5,把锯齿波,f,（,x,）在（,0,，,T,）这个周期上可表示,为,f,（,x,）,=,Hx,/T,，试把它展为复数形式的傅立叶,级数。,解,函数曲线如图,周期为,五、 周期函数的频谱,周期函数,基频,谐频,n,次谐波的频率,波函数,振幅,在实数形式中,在复数形式中,n,次谐波的频率,波函数,振幅,的振幅随频率变化的分布情况。,它清楚地表明了一个非正旋,周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅,的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛,.,所谓频谱,图，通常是指频率和振幅的关系图。,的,振幅频谱（简称为频谱）,.,它描述了各次谐波,称为,举例,矩形脉冲函数,频谱图,频谱图,A,O,它清楚地表明了一个非正旋,周期函数包含了哪些频率分,量及各分量所占的比重,（如振幅的大小）,5.2,傅立叶积分与傅立叶变换,一、复数形式的傅立叶积分,对任何一个非周期函数,f,(,x,),都可以看成是由某个周,期函数,g,(,x,),当,2,l,时转化而来的。,1,、问题,函数,f,（,x,）定义在,-,上，无周期，研究函数的性质，怎么办？,2,、方法,O,O,作周期为,2,l,的函数,f,(,x,),使其在,-,l,l,之内等于,f,2l,(,x,),在,-,l,l,之外按周期,2,l,延拓到整个数轴上,则,l,越大,g,(,x,),与,f,(,x,),相等的范围也越大,这就说明当,2,l,时,周期函数,g,(,x,),便可转化为,f,(,x,),即有,改为对称形式,复数形式的傅立叶积分,复数形式的傅立叶变换,3.,结论,-Fourier,积分定理,4,、频谱,注意：这是一个连续频谱，因为 是连续变化的。,称为函数,f,（,x,）的频谱函数。,称为函数,f,（,x,）的振幅频谱函数。,记为,称作,f,(,t,),的,象函数,f,(,x,),称作 的,原函数,.,象函数,F,(,w,),和象原函数,f,(,t,),构成了一个傅氏变换对,.,例,1,：,作图中所示的单个矩形脉冲,的频谱图,E,解：,O,t,f,(,t,),),(,.,e,),(,一个函数,是工程技术中常碰到的,衰减函数,叫做指数,这个,其中,其积分表达式,的傅氏变换及,求函数,例,t,f,t,t,t,f,t,0,0,0,0,2,=,-,b,b,A,A,t,f,解,如果,令,b,=1/2,就有,可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数,因此有,钟形脉冲函数的积分表达式：,因此,二、实数形式的傅立叶积分,1,、积分和变换形式,实数形式的傅立叶积分,实数形式的傅立叶变换,例,4,把单个锯齿脉冲,f,(,x,),展为傅立叶积分,解,f,（,x,）是无界的非周期函数，可展为傅立叶积分。,2,、讨论：,的傅立叶正弦变换。,称为,其中,称为傅立叶正弦积分,分为,为奇函数，则傅立叶积,若,),(,),(,x,f,x,f,1,）,d,sin,),(,),(,f,B,=,0,2,x,wx,x,p,w,sin,),(,),(,xd,B,x,f,=,0,w,w,w,其中,称为傅立叶余弦积分,的傅立叶余弦变换。,称为,),(,x,f,分为,为偶函数，则傅立叶积,若,),(,2,）,x,f,d,cos,),(,2,),(,0,f,A,=,x,wx,x,p,w,cos,),(,),(,0,xd,A,x,f,=,w,w,w,例,5,矩形函数为,f,(,t,),-,T,t,T,o,h,将矩形脉冲,解：,f,（,x,）是偶函数，可展为余玄傅立叶积分,展为傅立叶积分,.,o,A(,),2hT/,/T,2,/T,3,/T,4,/T,频谱图是连续谱，含有一切频率。,傅立叶变换为,傅立叶积分为,例,6,解,:,求其傅立叶逆变换,。,已知象函数,),(,w,w,j,F,2,=,f,(,t,)=,F -,1 ,F,(,),时,当,0,t,时,当,0,+,=,b,w,b,w,w,),(,i,i,F,的傅氏逆变换。,：,求,例,0,3,+,=,b,w,b,w,w,),(,i,i,F,解,例,4,求,解：根据能量积分性质,运用傅氏变换的微分性质以及积分性质,可以把线性常,系数微分方程转化为代数方程,通过解代数方程与求傅,氏逆变换,就可以得到此微分方程的解,.,另外,傅氏变,换还是求解数学物理方程的方法之一,.,例,5.,求微分积分方程,的解,其中,t,+,a,b,c,均为常数,.,根据傅氏变换的微分性质和积分性质,且记,F,x,(,t,)=,X,(,),F,h,(,t,)=,H,(,).,在方程两边取傅氏变换,可得,x,(,t,) = F,-1,X,(,) ,在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数,.,因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流,;,在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等,.,研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数,.,5.3,函数,一、,函数引入的必要性,在原来电流为零的电路中,某一瞬时,(,设为,t,=0),进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流,i,(,t,).,以,q,(,t,),表示上述电路中的电荷函数,则,由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即,所以,当,t,0,时,i,(,t,)=0,由于,q,(,t,),是不连续的,从而在普,通导数意义下,q,(,t,),在这一点是不能求导数的,.,如果我们形式地计算这个导数,则得,这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示,这样的电流强度,.,为了确定这样的电流强度,引进一称为,狄拉克,(,Dirac,),的函数,简单记成,-,函数,.,有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热,源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决,.,二、,-,函数的定义及性质,1,）定义,区域不包围,0,区域不包围,x,0,2,、性质,（,1,）,奇偶性,(,-x),=,(x),/,（,-x),=-,/,(x),-,-,=,=,=,x,x,x,x,x,x,x,H,x,x,x,H,),0,(,0,),0,(,1,d,),(,),(,d,),(,),(,（,2,）,d,d,是阶跃函数,+,-,=,-,),(,d,),(,),(,（,3,）,0,0,x,f,x,x,f,x,x,d,挑选性,三、,-,函数的傅立叶变换,-,函数的傅氏变换为,:,w,w,d,w,d,e,F,t,t,i,-,=,),(,),(,例,6,、 求正弦函数,f,(,t,)=sin,0,t,的傅氏变换,),(,),(,2,),(,2,),(,2,4,1,d,e,e,4,1,d,e,2,e,e,2,1,d,sin,e,2,1,),(,),(,0,0,0,0,),(,),(,0,0,0,0,0,w,w,d,w,w,d,w,w,pd,w,w,pd,p,p,p,w,p,w,w,w,w,w,w,w,w,w,-,-,+,=,+,-,-,=,-,=,-,=,=,=,+,-,+,-,-,-,+,-,-,-,+,-,-,i,i,t,i,t,i,t,t,t,f,F,t,i,t,i,t,i,t,i,t,i,t,i,F,如图所示,:,t,sin,t,1/2,1/2,-,w,0,w,0,O,w,|,F,(,w,)|,